九年级数学上册 24.3相似三角形教案 华东师大版.doc

24.3 相似三角形
24.3.1．相似三角形
教学目标：
　 1．知道相似三角形的概念；会根据概念判断两个三角形相似。
　 2．能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。
教学过程：
一、复习
　什么是相似形?识别两个多边形是否相似的标准是什么?
二、新课
1．相似三角形的有关概念：
由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似。
三角形是最简单的多边形。由此可以说什么样的两个三角形相似?
如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′＝＝ 那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′；“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两三角形相似就读作：“△ABC相似于△A′B′C′”。
由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点A的对应顶点是A′，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记＝＝＝K，那么这个K就表示这两个相似三角形的相似比．相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为K，即指＝K，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是，就不是K了，应为多少呢?同学们想一想?
2．△ABC中，D，E是AB、AC的中点，连结DE，那么△ADE与△ABC相似吗?为什么?如果相似，它们的相似比为多少?
如果点D不是AB中点，是AB上任意一点，过D作DE∥BC，交AC边于E，那么△ADE与ABC是否也会相似呢?
判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑。能否得对应角相等?根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢?目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算是否成比例?通过度量，计算发现＝＝．
所以可以判断出△ADE与△ABC会相似。
若是如图DE∥BC，与BA、CA延长线交于D、E，那么△ADE与△ABC还会相似吗?试一试看。如果相似写出它们对应边的比例式．
3．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比K＝1，你会发现什么呢? ＝＝＝1，所以可得AB＝A′B′,BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例，试问：
全等的两个三角形一定相似吗?
相似的两个三角形会全等吗?
全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别?
4．例：如果一个三角形的三边长分别是5、12、13，与其相似的三角形的最长．边是39，那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形的周长的比是多少?
分析：这两个三角形会相似，对应边是哪些边?相似比是多少?哪一个三角形较大?要计算出它的周长还需求什么?根据什么来求?
三、练习
判断下列两个三角形是否相似?简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例

四、小结
　1．填空。
＿＿＿＿＿＿＿的三角形叫做相似三角形。
2．两个相似三角形的相似比为1，这两个三角形有什么关系?
3、如果一条直线平行于三角形一边，与其它两边或其延长线相交截得的三角形与原三角形相似吗?指出它们的对应边。
五、作业
24.3.2．相似三角形的判定（1）
教学目标：
1．会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似。
2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。
教学过程：
一、复习
1．两个矩形一定会相似吗?为什么?
2．如何判断两个三角形是否相似?
根据定义：对应角相等，对应边成比例。
3．如图△ABC与△′B′C′会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相似的简便方法?本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。
二、新课讲解
同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，以及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样。这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索。
(1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。
(2)是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢?
这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。是这样吗?请同学们动手试一试：
1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。
画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等?为什么?
实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的。
2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?与同伴交流，是否有相同结果。
3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢?
这是由于三角形具有它特殊的性质。三角形有稳定性，而四边形有不稳定性。
于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两三角形相似。
同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢?
例题：
1．如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似。
2．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗?
3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC。
三、练习
1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形。

2．△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线，并说明理由。和你的同伴交流作法是否一样?
四、小结
本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法：有两个角对应相等的两个三角形相似。
五、作业
P64 1

24.3.2．相似三角形的判定（1）
教学目标
1．会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三条边对应成比例的两个三角形相似。
2．能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似。
教学过程
一、复习
1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法?
有两种方法，(1)是根据定义；(2)是有两个角对应相等的两个三角形相似。
2．如图△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点(即AD＝AB，AE＝AC)，那么△ADE与△ABC相似吗?你用的是哪一种方法?
由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么东西后可以判断它们能否相似?(可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例)无论哪一种，都应肯定他们，是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的。
二、新课讲解
同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC。从已知条件看，△ADE与△ABC有一对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD＝AB，AE＝AC，即是＝，＝；因此＝。△ADE的两条边 AD、AE与△ABC的两条边AB、AC会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗?我们再做一次实验。观察图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢?
图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝AC时，△ADE与△ABC相似。此时＝
同学们画两个三角形，△ABC与△A′B′C′，使之∠A＝∠A′，AB＝2A′B′,AC＝2A′C′,量一量BC与B′C′的长,计算BC:B′C′与同伴交流，是否与，相等?再量一量∠B与∠B′、∠C与∠C′，它们是否对应相等呢?这样的两个三角形相似吗?
于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简单地说；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似。你能画出有两边会对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗?(画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B＝∠B′，＝
例题：
1．(课本中例3)判断图中△AEB与△FEC是否相似?
2．如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：
解：因为AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，
故 AE＝6-2.1＝3.9
由于≠
所以△ADE与△ABC不会相似。
你同意小张同学的判断吗?请你说说理由。
小张同学的判断是错误的。
因为＝，＝＝　　所以＝
而 ∠A是公共角，∠A＝∠A，
所以△ADE∽△ACB．
请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三条边都成比例，那么这两个三角形是否相似?
看课本５８页“做一做”。
通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简单说成：三边成比例两三角形相似。
例:△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试判定它们是否相似，并说明理由。
三、练习
课本59页　练习1、2，3．
四、小结
到现在我们学习了识别两个三角形是否相似的三种较简便的方法，请同学回忆说出．
五、作业 ：P64　4
24.3.3 相似三角形的性质
教学目标
会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
教学过程
一、复习
1．识别两个三角形相似的简便方法有哪些?
2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′C′＝4cm，这两个三角形相似吗?说明理由。
如果相似，它们的相似比是多少?
二、新课讲解
上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为＝2 。
相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢?
一个三角形内有三条主要线段；高、中线、角平分线。如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢?我们先探索一下它们的对应高之间的关系。
同学画出上述的两个三角形，作对应边AB和A′B′边上的高，用刻度尺量一量CD与C′D′的长，等于多少呢?与它们的相似比相等吗?得出结论：
相似三角形对应高的比等于相似比。我们能否用说理的方法来说明这个结论呢?同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗?
两个相似三角形的面积之间有什么关系呢?
看如图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍，(3)的各边长分别是(1)的3倍，所以它们都是相似的，填空：

(2)与(1)的相似比为( )，(2)与(1)的面积比为( )，
(3)与(1)的相似比为( )，(3)与(1)的面积比为( )
(3)与(2)的相似比为( )，(3)与(2)的面积比为( )。
以上可以看出当相似比为K时，面积比为K2。对于一般相似的三角形都具有这种关系，可以得出结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
三、练习
1.△ABC∽△A′B′C′，相似比为3:2，则对应中线的比等于( )。
2．相似三角形对应角平分线比为0.2，则相似比为( )，周长比为( )，面积比为( )
3．△ABC∽△A′B′c′，相似比为，已知△A′B′C′的面积为18cm2，那么 △ABC的面积为( )。
四、小结
（填空形式，同学回答）相似三角形（ ）相等，（ ）的比等于相似比，面积的比等于（ ）。
五、作业

24.3.4 相似三角形的应用
教学目标
会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度。
教学过程
一、复习
1、相似三角形有哪些性质?
2．如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF，
(1) △DEF与△ABC相似吗?为什么?
(2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少?
二、例题讲解
第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长。人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。
例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝l，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB。
这实际上与上述问题是一样的。
例2．我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一岸上选点B和C，使AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用眼睛测视确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，就能算出两岸间的大致距离AB。
例2：如图24．3．13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
解 ∵　∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴　△ABD∽△ECD （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），
∴　，
解得
（米）．
答：　两岸间的大致距离为100米．

这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法．
例3：如图24．3．14，已知：　D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠C．求证：　AD·AB＝AE·AC．
证明 ∵　∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴　△ADE∽△ACB（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）．
∴　，
∴ AD·AB＝AE·AC．

三、练习
1．到操场上用例1的方法测量旗杆的高，并与同伙交流看看计算结果是否大致上一样。
2．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得高为1.8米的竹竿的影长为3米，此时某高楼影长为60米，那么高楼的高度为多少米?
四、小结
本节课学习应用相似三角形的性质，测量计算物体的高度，在应用时要分清转到数学上是哪两个三角形会相似，它们对应的边是哪一边，利用比例的性质求证答案。
五、作业