八年级数学上册16.1 平行四边形的性质华东师大版.doc

16.1平行四边形的性质
知识技能目标：
1．综合运用平行四边形的特征和识别方法，解决一些开放型的问题；
2．利用平行四边形和三角形的面积公式进行有关的计算．
过程性目标：
1．通过一题多变，在解决问题中培养创新意识和发散思维能力；
2．在“观察”、“猜想”中感受研究数学的乐趣；
3．探索同底等高的平行四边形和三角形的面积之间的关系．
教学过程：
一、创设情境
师 小学里，我们已学习了三角形和平行四边形的面积计算公式，哪位同学能回忆出这两个公式呢？
生 S△ABC = BC×AE；
SABCD = BC×AE = AD×CF．
二、探究归纳
师  如图，已知直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．
(1)请写出图中面积相等的三角形 ．
(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有 与△ABC的面积相等．
理由是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．

生 S△ABC = S△PAB、S△APC = S△BPC、S△AOC = S△BOP．
理由是△ABC和△PAB的底相同，高相等；△APC和△BPC的底相同，高也相等；
而S△ABC = S△PAB，∴S△ABC－S△AOB = S△PAB－S△AOB，
∴S△AOC = S△BOP．
师 当P点运动到某一位置且使BP∥AC时，△ABC的面积和四边形CABP的面积有何关系？
生 当P点运动到某一位置且使BP∥AC时，则四边形CABP是平行四边形,则S△ABC = S平行四边形CABP．
师  由此我们可以这样认为“同底(或等底)等高的三角形面积相等”，“三角形的面积等于与它同底等高平行四边形面积的一半” ．
三、实践应用
例1 设平行四边形的面积为S．
如图(1)AC为ABCD的对角线，试用S来表示△ABC和△CDA的面积．
如图(2)E为BC上任一点，试用S来表示△AED的面积．
如图(3)E为BC的中点，F为AB的中点，试用S表示△DEF的面积．

解 (1)S△ABC = S△CDA = S；
(2)S△AED = S；
(3)∵AF = BF = AB，BE = EC = BC，
∴S△AFD = S，S△DEC = S，S△BEF= S，
∴S△DEF = S．
例2 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上，如图(1)，此时，h3 = 0,可得出结论h1+h2+h3 = h．” 请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P在△ABC内(如图(2))、点P在△ABC外(如图(3))这两种情况时，上述结论是否仍成立？若成立，请给予说明；若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需说明．

解  当点P在△ABC内时结论h1+h2+h3 = h仍成立．
连结PA、PB、PC，设△ABC的边长为a．
∵S△ABC = BC×AM = ah，
又∵S△ABC = S△PAB+ S△PBC+ S△PAC
= AB×PD+ AC×PE + BC×PF
=ah1 +ah2 + ah3．
∴ah1+ ah2+ ah3 =ah，∴h1+h2+h3 = h．
当点P在△ABC外时结论h1+h2+h3 = h不成立．
连结AP、BP、CP，设△ABC的边长为a．
S四边形ABPC = S△ABC + S△PBC = ah + ah3．
又S四边形ABPC = S△PAB + S△PAC = ah1 +ah2．
∴ah + ah3 = ah1 +ah2．
∴h = h1+ h2－h3．
∴它们的关系是h = h1+ h2－h3． 
例3 如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵梨树，田村准备开始挖池塘建养鱼池，想使建后的鱼池面积为原来池塘面积的两倍，又想保持梨树不动，并要求建后的池塘成为平行四边形形状．请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由(画图保留痕迹，不写画法)．
能 连结AC、BA，分别过A、B、C 、D作BD、AC、BD、AC的平行线，相交于E、F、G、H．平行四边形EFGH就是所求的四边形．
四、交流反思
师 在研究同底等高的平行四边形和三角形的面积的联系问题中，应寻找平行四边形和三角形的底、平行四边形和三角形的高之间的关系，再利用面积公式进行有关的计算．
五、检测反馈
1.如图，点P为四边形的边CD上一个动点，当四边形ABCD满足什么条件时，△PAB的面积始终保持不变(只需补充你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的条件)?

2．如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，试说明AC、BD把平行四边形分成的四个三角形面积相等．若点E是AC上任意一点，可进一步得出哪些三角形的面积相等?

3．等腰△ABC中，D是BC上任一点，过点D作DE⊥AB于E、过点D作DF⊥AC于F、过点B作BG⊥AC于G，试说明BG = DF + DE．

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