资源描述
§12.3.1两数和乘以这两数的差
一、背景介绍及教学资料
本教材改变了传统教材乘法公式单独成章的模式，而是在学习了整式乘法的基本知识之后直接导入，显得贴切自然，使学生体会到从一般到特殊的思想。另一方面，新课标对乘法公式的要求是：会推导乘法公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。较之旧大纲，内容减少，要求降低。当然，乘法公式的推导是初中运用推理方法进行恒等变形的开端，在推导过程中使用了以特殊到一般的归纳推理方法，教学中不仅要求学生记住公式，理解公式，更要深入理解公式中字母的广泛含义。
二、教学设计
【教学内容分析】
本节课引导学生用所学过的多项式和多项式相乘的法则，动手运算两数和与两数差的积结果，从而让他们体会两数和与两数差的积的结果与这两数的关系，从而得出平方差公式，并通过做一做给出它的几何解释，即增加可信度和印象，也增强学生的学习兴趣。
【教学目标】
1、通过运算多项式乘法，来推导平方差公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力。
2、通过亲自动手、观察并发现平方差公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
3、初步学会运用平方差公式进行计算。
【教学重点、难点】
重点是平方差公式的推导及应用。
难点是对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用。
【教学准备】展示课件。
【教学过程】
教学过程
设计说明
一、知识复习:
多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+n)(b+m)= ab +am +nb +nm
计算下列各题:
（1） (a+2)(a-2)=________________
（2） (3-x)(3+x)=________________
（3） (a+b)(a-b )=________________
(4) (2m+n)(2m-n)=_______________
二、交流探索，归结公式
1、探索
引导学生对引例中的1,2,3，4进行研究，对探索发现的特点进行整理归纳。
并回答问题：1,2,3,4小题等式左边有哪些特点？
回答问题：1,2,3,4小题等式右边有哪些特点？
问题：观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？
2、归结
引导学生仔细而具体地观察题目特征，
比较等号两边的代数式,它们在系数和字母方面各有什么特点?两者有什么联系?( 用自己的语言叙述你的发现)
进而分析产生这些特点的原因，然后由特殊到一般寻找出规律，并用语言进行概括，得到：
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差。
平方差公式:
注意：公式中的a,b可以是数,还可以是单项式或多项式
三、例题分析，巩固公式
例1 运用平方差公式计算:
(1) ( x + 2)( x-2 )
解：(x＋2)(x－2) ＝ (x)2－(2)2＝x2－4
↓ ↓ ↓ ↓
（a＋b）（a－b）＝ a2 － b2
(2)(-2x-y)(2x-y)
解：(-2x-y)(2x-y)
＝（-y＋2x）（-y-2x）＝ y2－4x2
↓ ↓ ↓ ↓
（a＋b） （a－b）＝ a2 － b2
步骤：1、判断；2、调整；3、用公式。
在完成上述练习过程中，你发现了什么特点？（引导学生发现总结）
让学生仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点（老师可以引导学生：两个多项式的第一项相同，而第二项互为相反数）符合运用平方差公式的条件
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式．
解法二：(2)(-2x-y)(2x-y)
解：(-2x-y)(2x-y)
＝(-y)2－(2x)2
＝y2－4x2
练习：
1、口答下列各题：
⑴、(a＋3)(a－3)= _____
⑵、(2x＋y)(y－2x)=_______
⑶、(-1＋2c)(-1－2c )=_______
⑷、(-2a-3b)(2a－3b)= ________
2、计算:
⑴、(2x＋0.5 )(2x－0.5 )
(2)(-5x-3y)(-5x+3y)
(3) (3y − x)(− x − 3y)
例2．运用平方差公式计算:
1998×2002
解：1998×2002=（2000-2）×（2000+2）
=20002-22
=4000000-4
=3999996
可引导学生思考（1998×2002）与2000×2000比较
试一试：运用平方差公式计算:
（1）103×97
（2）59.8×60.2
四、几何解释平方差公式
做一做：展示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
（1）请计算图的阴影部分的面积（让学生用正方形的面积公式计算）。
（2）小明将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长与宽是多少？你能表示出它的面积吗？
图1
图2
让学生先思考小明的这种拼法对吗？图（2）中的阴影部分的面积是图（1）中的阴影部分的面积吗？并说明理由
比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
先请同学们阅读，然后独立完成，由学生板书：
S1=a2－b2；
（2）长为（a＋b），宽为（a－b），它的面积是：
S2=（a＋b）（a－b）。
（3）①②式相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
即a2－b2＝（a＋b）（a－b）。
例3：街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，北向要加长2米，而东向要缩短2米。问改造后的长方形草坪的面积是多少？
解:(a＋2)(a－2)
＝a2－4
答:改造后的长方形草坪的
面积是（a2－4）平方米.
练习：
1.运用平方差公式计算（口答）
3.填空：
(1) (2x-3y)( )= 4x2-9y2
(2)( +3a)( -3a)= 4-9a2
4、下列式子中哪些可以用平方差公式运算?
⑴ (ab-8)(ab+8) ⑵
(2) (2+a)(a-2) ⑷ (3a+2b)(3a-2b)
⑸ (-4k+3)(-4k-3) ⑹ (1-x)(-x-1)
⑺ (-x-1)(x+1) ⑻ (x+3)(x-2)
五、探究延伸，发展能力
2.运用平方差公式简便计算: 992 - 1
3.已知x2-y2=8，x-y=4，则x+y的值为___.
六、归纳小结，充实结构
1、今天学到了什么？
让学生口头表述平方差公式的内容，并用字母写出它的表达式。
2、应用平方差公式时要注意一些什么？
找出相同的“项”和符号相反的“项”
得到(相同项)2-(相反数项)2
七、知识留恋，课后韵味
作业：
1.课本第32页练习1.2.3
2.习题12.3第1题
承上启下作用，即复习了旧知识，又为新课埋下了伏笔。
学生在教师的引导下，自主探索问题。
学生是学习的主体，学生是在教师引导下，自主发现和认识问题，并且经过自主探索获得数学知识。学生获得知识的过程，实际上是学生在已有经验的基础上，在教师的指导下主动构建知识的过程。学生在教师的组织指导下，在获得数学知识的同时受到科学发现的熏陶，享受发现公式的乐趣，学习兴趣得到激发，思维能力得到发展，学习效率大大提高，同时还学会学习、交流、合作。
（1）（2）用来分辨公式的a，b。
（2）稍有综合，培养综合运用能力。
使学生进一步明确公式，认识到平方差公式在多项式乘法中的重要作用以及如何正确使用平方差公式。
起范例和巩固公式的作用，并使学生进一步体会平方差公式中a，b的含义，它们可以是数，也可以是整式。
通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，使学生对此公式有一个直观认识。
培养学生观察能力和发现问题的能力，以及运用所学的知识灵活解决问题的能力。
适当的提高、点拔，而起到分层次教学的作用，又使学生体会公式的运用。
【教学反思】
让学生实际参与，自主探索，自己总结，引发他们学习的兴趣，激发他们学习的动力，培养他们良好的学习习惯。
让学生由特殊值的计算规律推广到一般值的计算规律，培养了他们的归纳思想。
运用图形来解释和探究公式，显得直观贴切，同时领悟数形结合的数学思想。
教师从学生学习的传授者真正变为学生学生的合作者。在讲新知识时，只是起引导和提示的作用，真正的知识，则由学生自己得出。这样，即加深了学生对知识的印象，也增强了他们学习的兴
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