九年级数学下册 27.3 位似教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级下册数学教案.doc

27.3 位似 一、教学目标1核心素养 通过学习位似，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力2学习目标（1）理解位似图形的概念，掌握位似图形的性质（2）利用位似图形的性质，掌握作位似图形的方法，并学会对图形放大或者缩小（3）会用图形的坐标变化来表示图形的位似变化，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化规律（4）了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换3学习重点了解位似图形的概念、性质；位似与平移、轴对称、旋转的异同4学习难点利用位似将一个图形放大或缩小；运用四种变换解决问题二、教学设计（一）课前设计1预习任务任务1 阅读教材P47P48，思考：什么叫做位似图形？位似图形有什么特征？任务2 阅读教材P48P50，思考：如何画位似图形？直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律是什么？2.预习自测1.下列说法正确的是( )A.位似图形可以通过平移相互得到； B.位似图形的对应边平行且相等；C.位似中心到对应点的距离之比都相等； D.相似图形的位似中心不止一个。答案：C解析：略2.已知：ABCABC，下列图形中，ABC与ABC不存在位似关系的是( )答案：D解析：略3.如图，ABC与ABC是以点O为位似中心的位似图形，已知BB2OB，则ABC与ABC的面积比为( )A13 B14 C15 D19答案：D解析：略（二）课堂设计1知识回顾(1)相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例；对应边之比等于相似比；周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方.（2）前面我们已经学过的图形变换有：对称（轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对称图形）变换：对称轴，对称中心.平移变换：平移的方向，平移的距离.旋转变换：旋转中心，旋转方向，旋转角度.相似变换：相似比.2问题探究问题探究一 什么是位似图形？位似图形有什么性质？ 重点、难点知识活动1 情景导入构建新知 观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？ 归纳：如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.活动2 自主探究 位似图形的特征 下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形ABCD都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？对应边的关系（位置和数量）呢？ 每个图形中的两个四边形不仅相似，而且各对应点所在的直线都经过同一点，所以都是位似图形。位似中心可在形上、形外、形内.位似图形的特征：1位似图形必定是相似图形2位似图形的对应点连线必相交于同一点，对应边互相平行3位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.显然，位似图形是相似图形的特殊情形。活动3 合作探究 例题讲解例1.下列3个图形中是位似图形的有()A0个 B1个 C2个 D3个【知识点：位似图形】解析：根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行(或共线)，所以位似图形是第一个和第三个故选C.方法总结：判断两个图形是不是位似图形，首先要看它们是不是相似图形，再看它们对应顶点的连线是否交于一点例2.如图，DEF是由ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则DEF与ABC的面积比是()A12 B14 C15 D16【知识点：位似图形及性质，位似中心】解：ABC和DEF是位似图形，ABCDEF，E，F分别是OB，OC的中点，EF：BC=1：2，.故选B.活动4 应用练习1.如图，指出各组图形中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心(图中两个四边形都是矩形)【知识点：位似图形，位似中心】解：(1)、(2)、(3)中的两个图形都是位似图形，其中位似中心分别为A，A，P，而(4)中两个正方形就不是位似图形2.ABC与ABC是位似图形，且ABC与ABC的位似比是12，已知ABC的面积是3，则ABC的面积是() A3 B6 C9 D12【知识点：位似图形及性质，位似比】解：D问题探究二 如何画位似图形？ 重点、难点知识活动1 探究位似图形的画法1.自主探究 阅读教材P47页：把下图中的四边形ABCD缩小到原来的分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为12 画位似图形的方法：确定位似中心（任意选）；分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；根据位似比1:2，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大的图形作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A、B、C、D，使得；（4）顺次连接AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形ABCD，如图2.合作探究 此题目还可以如何画出图形？作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A、B、C、D，使得；（4）顺次连接AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形ABCD，如图 作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；（2）过点O分别作射线OA， OB，OC，OD；（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A、B、C、D，使得；（4）顺次连接AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形ABCD，如图活动2 例题讲解例1.如图，D，E分别是AB，AC上的点。（1）如果DEBC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？（2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DEBC吗？为什么？【知识点：位似图形】解：(1)DEBC，ADEABC，又它们的对应点的连线交于一点，ADE和ABC是位似图形.(2)ADE和ABC是位似图形,ADEABC，ADEABC，DEBC.点拨：位似图形的定义既是性质，又是位似图形的判定方法。第一题分两步进行，即先说明是相似图形，再说明对应点的连线交于一点。例2.如图，以点O为位似中心，将ABC放大为原来的3倍。【知识点：位似图形的画法】解：如图所示：点拨：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形活动3 应用练习1.画出所给图中的位似中心【知识点：位似中心】解：图中的O点即为位似中心 例2.已知ABC，把ABC放大为原来的2倍。【知识点：位似图形的画法】解：问题探究三 直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律是什么？ 重点、难点知识活动1 情境引入 合作探究你能利用平面直角坐标之间的关系来表示两个位似图形？探究1：在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.并观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?引导学生分两种情况进行:（1）与AB都在第一象限时。（2）与AB不在同一象限,在第三象限时。发现的结论:第一种情况（2,1），(2,0) ，即横、纵坐标都缩小2倍；第二种情况(-2，-1)，（-2，0），即横、纵坐标都缩小2倍.归纳：在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.探究2：在平面直角坐标系中, ABC三个顶点的坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0),以原点O为位似中心,相似比为2放大图形，观察对应点你有什么发现？还有其他办法吗?归纳：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么原图形上的点（x、y) 对应的位似图形上的点的坐标为（kx、ky)或（-kx、-ky)。活动2 例题讲解例 如图，ABC三个顶点坐标分别为A（2，2），B（4，5），C（5，2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍【知识点：平面直角坐标系中位似图形的画法】解：如图，放大后的三角形有两个，其顶点坐标如下：A（4，-4），B （8，-10），C （10，-4），A （-4，4），B （-8，10），C（-10，4）.点拨：新图形与原图形对应线段的比应等于位似比，此题的位似图形有两个.活动3 图形的变换探究：我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在如图所示的图案中，你能找到这些变换吗？1平移:平移是图形沿一定的方向移动一定的 距离 ,平移不改变图形的方向与 大小 ,所以本图案不包含 平移 ;2旋转:旋转是绕某个点按照某个 方向 ,旋转一定 角度 ,旋转不改变图形 大小 、改变图形的方向 ,所以本图案 包含 旋转;3轴对称:轴对称是图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能 完全重合 ,所以本图案 包含 轴对称;4位似:位似是在图形 相似 的前提下,过对应点的直线都经过 同一点 ,所以本图案 包含 位似.活动4 应用练习1.如图表示AOB和把它缩小后得到的COD，求它们的相似比【知识点：位似变换，相似比】解：点D的横坐标为2，点B的横坐标为5，相似比为.2.如图，ABO的坐标分别为A（2，4），B（2，0），C（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，与ABC相似比为2：3【知识点：平面直角坐标系中位似图形的画法】解：如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取A(-3,6)，B(-3,0)，O(0.0).顺次连接点A,B,O,所得ABO就是要画的一个图形。还有一个在第四象限。3课堂总结【知识梳理】（1）如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.（2）位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线必过位似中心位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对应线段之比相等两个图形位似，则两个图形必相似，其相似比等于位似比，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方（3）在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k(k0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.与原图上的点（x，y）对应的位似图形上的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）（4）常用的四种变换：平移、轴对称、旋转和位似.【重难点突破】（ 1）掌握位似图形概念，需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；两个位似图形的位似中心只有一个；两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；位似比就是相似比利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题作图时要注意:首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（6）利用坐标系作出位似图形.关键是是要确定位似图形各个顶点的坐标.根据归纳总结出的规律,找出各对应顶点4随堂检测一、选择题1.下列说法正确的是（ ）A.两个位似图形一定全等 B.两个位似图形不一定相似C.两个相似图形一定位似 D.两个位似图形一定相似【知识点：位似图形，全等形，相似形】答案：D解析：略2.下列每组图中的两个多边形，是位似图形的是（ ）【知识点：位似图形】答案：C解析：略3.下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（ ）A. 点E B. 点F C.点G D.点D【知识点：位似图形】答案：D解析：略4.已知上图中，AEED=54，则四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为（ ）A. 54 B. 45 C. 94 D. 95【知识点：位似图形，位似比；数学思想：数形结合】答案：C解析：略5.如图，在直角坐标系中有两点A(10，5)，B(10，0)，以原点O为位似中心，位似比为2：5，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则C的坐标为( )A(4，2) B(4，0) C(4，4) D(3，1)【知识点：位似图形，位似比；数学思想：数形结合】答案：A解析：略（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1.下列各组图形中，不是位似图形的是（ ）【知识点：位似图形】答案：B解析：略2.下列图形中位似中心在图形上的是( ) 【知识点：位似图形】答案：B解析：略3.如图，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点C（2，4）、D（4，0），B（10，0），则点A的坐标为（）A（4，10）B（6，10）C（5，10）D（6，12）【知识点：位似图形，相似三角形的判定和性质；数学思想：数形结合】答案：C解析：略二、填空题4.如图，五边形ABCDE与五边形是位似图形，且位似比为5：3.若五边形ABCDE的面积为75cm2，周长为60cm，那么五边形的面积为_cm2，周长为_cm【知识点：位似图形的性质；数学思想：数形结合】答案：27 36解析：略5.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为7：4，点A的坐标为（0，4），则点E的坐标是_【知识点：位似图形的性质，相似比；数学思想：数形结合】答案：（7，7）解析：略三、解答题6.如图，已知ABC和点O.以O为位似中心，画出ABC的位似图形，位似比为21.(1)使所画三角形与ABC在点O的同侧；(2)使所画三角形与ABC在点O的两侧【知识点：位似图形的作图，位似比】答案：略解析：略能力型 师生共研一、选择题1.图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A点M B点N C点P D点O 【知识点：位似图形】答案：C解析：略2.如图，大鱼与小鱼是位似图形则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（ ）A（a，2b）B（2a，2b）C（2b，2a）D（2a，b）【知识点：位似图形；数学思想：数形结合】答案：B解析：略二、填空题3.如图，在直角坐标系中，ABC的各顶点坐标为A（1，1），B（2，3），C（0，3）现以坐标原点为位似中心，作ABC，使ABC与ABC的位似比为则点A的对应点A的坐标为【知识点：位似图形，位似比；数学思想：数形结合、分类讨论】答案：（，）或（，）解析：略4.如图，以O为位似中心，将边长为512的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=【知识点：位似图形，正方形性质；数学思想：数形结合】答案：18 解析：由图形的变化规律可得探究型 多维突破一、选择题1.如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），ABx轴，矩形ABCD与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A，B分别是点A，B的对应点，已知关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形ABCD的边上，则kt的值等于（） A. B1 C D【知识点：位似图形，反比例函数，二元一次方程组；数学思想：数形结合、分类讨论】答案：A解析：解：矩形ABCD与矩形ABCD是位似图形，顶点A的坐标为(1,t)，点A的坐标为(k,kt)，关于x,y的二元次方程 (m,n是实数)无解,mn=3,且n.即 (m2).矩形ABCD是位似图形，O为位似中心，矩形ABCD关于点O成中心对称.根据反比例函数图象的性质和矩形ABCD的中心对称性，如果有交点落在矩形ABCD的边上，则至少有两个点落在矩形ABCD的边上.如图，以m,n为坐标(记为(m,n)的所有的点中,有且只有一个点落在矩形ABCD的边上，反比例函数的图象只经过点A或C.又反比例函数图象上所有点（除m=2的点外）都关于原点对称，反比例函数的图象经过C点，此时A点坐标为.故选A.二、填空题2.如图，A是反比例函数图象上一点，点B、D在y轴正半轴上，ABD是COD关于点D的位似图形，且ABD与COD的位似比是2：5，ABD的面积为4，则该反比例函数的表达式为【知识点：位似图形，反比例函数，相似三角形的判定和性质；数学思想：数形结合】答案：解析：过点A作AHx轴于H，易知，由，有，.自助餐一、选择题1.下列命题：相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；位似图形一定有位似中心；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比其中正确命题的序号是（）ABCD【知识点：位似图形及性质】答案：C解析：略2.下列图中的两个相似三角形不是位似图形的是()【知识点：位似图形】答案：D解析：略3.视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是( )A平移 B位似 C对称 D旋转【知识点：平移变换、旋转变换、对称变换、位似变换】答案：B解析：略4.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，6）、B（9，3），以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，则点A的对应点A的坐标是( )A.（1，2） B.（9，18）C.（9，18）或（9，18） D.（1，2）或（1，2）【考点：相似三角形，位似图形，位似变换；数学思想：数形结合、分类讨论】答案：D解析：方法一：ABO和ABO关于原点位似，ABOABO且. AEAD2，OEOD1.A（1,2）.同理可得A（1,2）.方法二：点A（3，6）且相似比为，点A的对应点A的坐标是（3，6），A（1,2）.点A和点A（1,2）关于原点O对称，A（1,2）.故选择D. 5.如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形，已知AC=，若点A的坐标为（2，5），则正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是（）A B C D【考点：位似图形，相似比；数学思想：数形结合】答案：A解析：在正方形ABCD中，AC=，BCAB7，延长AB交BC于点E，延长DC交BC于点F，点A的坐标为(2，5)， OE2，ECAE5， 因为O为AC的中点，且正方形ABCD与正方形ABCD都以O为位似中心，正方形ABCD与正方形ABCD都关于点O成中心对称，BC=EF=ECFC=ECOE=523，即正方形ABCD的边长为3.正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是.故选A. 6.如图，ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC的位似图形ABC，并把ABC的边长放大到原来的2倍设点B的对应点B的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）A B C D【考点：位似图形，位似变换，相似三角形判定和性质；数学思想：数形结合】答案：D解析：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为-1-x，间的横坐标的长度为a+1，ABC的边长放大到原来的2倍，2（-1-x）=a+1，解得.故选D.7.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形ABCDE，已知OA=16cm，OA=24cm，则五边形ABCDE的周长与五边形ABCDE的周长的比值是 【考点：位似图形及性质；数学思想：数形结合】答案：解析：略8.如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（6,0）、（4,6），ABO是ABO关于点A的位似图形，且O的坐标为（2，0），则点B的坐标为【考点：位似图形及性质，位似变换；数学思想：数形结合】答案：解析： 过点B作BEx轴于点E，B作BFx轴于点F，点A、B的坐标分别为（6，0）、（4，6），ABO是ABO关于点A的位似图形，且O的坐标为（2，0），, AE=2，EO=4，BE=6，.即，.则点B的坐标为.9.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为【考点：位似变换，坐标与图形性质，矩形的性质；数学思想：数形结合】答案：（，） 解析：在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，OA=2，OC=1，点B的坐标为（2，1），点B1的坐标为（2，1），将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，B2（2，1），Bn（2，1），矩形AnOCnBn的对角线交点（2，1），即（，），故答案为：（，）10.如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（2，1），B（1，4），C（3，2）（1）画出ABC关于y轴对称的图形A1B1C1，并直接写出C1点坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出ABC放大后的图形A2B2C2，并直接写出C2点坐标；（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标 【考点：对称变换，位似图形，位似变换；数学思想：数形结合】答案：见解析解析：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求，C1点坐标为：（3，2）；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求，C2点坐标为：（6，4）；（3）如果点D（a，b）在线段AB上，经过（2）的变化后D的对应点D2的坐标为：（2a，2b）11.如图，矩形ABCD与矩形是以A为位似中心的位似图形，已知矩形ABCD的周长为48，8，4，求AB，AD的长. 【考点：位似图形及性质，二元一次方程组；数学思想：数形结合】答案：见解析解析：设ABx，ADy，由矩形ABCD的周长为48，得：x+y24，又矩形ABCD与矩形是位似图形，解由组成的方程组得：，AB，AD的长分别为16，8.12.如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的EAB和EDC均是等腰三角形，且在BC同侧（1）AE和ED的数量关系为_；AE和ED的位置关系为_；（2）在图1中，以点E为位似中心，作EGF与EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图2和图3； 在图2中，点F在BE上，EGF与EAB的相似比1：2，H是EC的中点求证：GHHD，GHHD；在图3中，点F在的BE延长线上，EGF与EAB的相似比是k：1，若BC2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GHHD且GHHD（用含k的代数式表示） 【考点：等腰直角三角形，三角形全等，位似图形及性质，相似比；数学思想：数形结合】答案：见解析解析：（1）点E是线段BC的中点，分别以B、C为直角顶点的EAB和EDC均是等腰三角形，BEECDCAB，BC90，ABEDCE，AEDE，AEBDEC45，AED90，AEED，故答案为：AEED，AEED；（2）由题意，BC90，ABBEECDC，EGF与EAB的相似比1：2，GFEB90，GFAB，EFEB，GFEC，GFHCEC，GFHC，FHFE+EHEB+ECBCECCD，HGFDHC，GHHD，GHFHDC.HDC+DHC90，GHF+DHC90，GHD90，GHHD；如图，根据题意得出：当GHHD，GHHD时，FHG+DHC90，FHG+FGH90， FGHDHC，DCH=GFH，GFHHCD， CHFG.EFFG，EFCH，BC2，BEEC1，EGF与EAB的相似比是k：1，EFk，CH的长为k