八年级数学利用轴对称设计图案教案(2)苏科版.doc

利用轴对称设计图案（2）
【基础知识精讲】
1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
2．欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计，体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值．

【重点难点解析】
充分利用轴对称的性质，会作出已知简单平面图形经过轴对称后的图形．学会根据实际生活需要设计出简洁明快的优美图案．
在现实生活中，要学会不断收集和整理一些成轴对称的优美图案和徽标，不断提高自己的设计水平和审美能力．使我们的生活更加丰富多彩．

【典型热点考题】
例1 如图7—63所示，直线是一个图案的对称轴，已经给出了这个图案的一半，请画出图案的另一半．

点悟：本题考查利用轴对称的性质，通过作出对应点画出轴对称的图案的能力．本题的关键是作出关键点A、B和半圆的圆心，即AB的中点C的对称点．
解：过点A、B、C分别作对称轴的垂线，垂足分别为.延长到，延长到，延长到，使，，.连结，必经过，以为圆心，AC为半径向外侧画半圆．如图7—64所示．

点拨：在对称轴左侧给出的一半图案中，半圆周上取许多点分别作出关于直线的对称点，将这些点连接出对称轴右侧的半圆周，应该也是一种正确的方法，但方法较繁，而且连接出的半圆周也不够准确．应该理解，成轴对称的图形是全等的．右侧的半圆周只需找出圆心的对应点，以为圆心画半径相等的半圆即可．

例2 已知，如图7—65，在小河(宽度为d)的两岸有村庄A、B，现要在小河上造一座桥(要求桥垂直于小河)，使从A村到B村所行路程最短．问小桥应建在哪里?(请在图中作出，并解释你的作法)．

点悟：这是一道现实生活中的决策性问题，很有实用价值．这就要巧妙应用轴对称的原理加以解决．
解：作，使BC＝d，连接AC交于点D，作，交于点E，则桥应建造在DE处．

例3 画出图7—66中四边形ABCD关于直线的轴对称图形，找出它的对应点、对应角和对应线段．

解：A与，B与，C与，D与分别是对应点．
∠B与，∠D与，∠BAD与，∠BCD与；
∠1与∠2，∠3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8分别是对应角.
AB与，BC与，AD与，CD与，AC与分别是对应线段．画图如图7—67．

例4 如图7—68所示，△ABC关于直线的轴对称图形是，已知点D在AB上，点E在上，点F在上，点G在上，请你作出△ABC和．

点悟：根据两点确定一线的原则，应先在每组对应边上找出两组对应点．
解：分别作出D、C、E、F、G关于直线的对应点．
分别过、及作直线；过F′、C及作直线；过、及、作直线；两两直线分别交点、及、，分别连结AB、BC、AC，则△ABC即为所求．同样也为所求如图7—69所示．

例5 如图7—70．两条平行直线和都是一个图案的对称轴，画出这个图案的其余部分．这个图案可以向、两侧画多长?共有多少条对称轴?

解：可以无限制画下去，有无数条对称轴．
画图如图7—71所示．因为一条对称轴关于另一条对称轴的对称直线仍为对称轴．

例6 如图7—72，两条相交直线与的夹角是45°，都是一个图形的对称轴，画出这个图案的其余部分．这个图案共有多少条对称轴?

点悟：过交点作、的垂线，也是两条图案的对称轴．
解：这个图案共有4条对称轴．所画图案如图7—73所示．

例7 已知，如图7—74，在△ABC中，∠ABC为锐角，且∠ABC＝2∠ACB，AD为BC边上的高，延长AB至点E，使BE＝BD，连结ED并延长交AC于F．求证：AF＝CF＝DF．

点悟：利用三角形中等角对等边的性质证之非常便捷．
证明：如图，在△BDE中，
∵ BE＝BD，∴ ∠BED＝∠BDE．
∴ ∠ABC＝∠E＋∠BDE＝2∠E
∵ ∠ABC＝2∠C，∴ ∠E＝∠C＝∠BDE＝∠FDC
∴ DF＝FC．
又∵ ∠C＋∠DAC＝90°，∠ADF＋∠FDC＝90°
∴ ∠ADF＝∠DAC，∴ DF＝AF，∴ DF＝AF＝CF．

【易错例题分析】
例 某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限)，并且使整个矩形场地成轴对称图形．请在矩形中画出你设计的方案．
(北京市西城区)
正解：(如图7—75)

警示：这个题目立足概念，解答开放，为学生创设了广阔的动手空间，有利于激发创新情感，形成创新的意识．应该根据所学知识，结合我国的民族文化，精心设计出对称、和谐、美观、大方、实用的优美图案．它要求我们抓住概念，简洁地画出图形，但千万要防止画蛇添足．