初三数学解直角三角形（锐角三角函数）知识精讲.doc

初三数学解直角三角形（锐角三角函数）
【本讲主要内容】
解直角三角形（锐角三角函数）
包括锐角三角函数：角的正弦、余弦、正切，解直角三角形等。

【知识掌握】
【知识点精析】
1. 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。
2. 在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。
3. 在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA。
4. 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
5. 特殊角的三角函数值：
，；
；

6. 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形。
7. 解直角三角形的四种类型
已知条件
解法
两条边
两条直角边a和b

一条直角边a和斜边c

一条边和一个锐角
一条直角边a和锐角A

斜边c和锐角A

依据：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。

8. 应用解直角三角形的知识解一些简单的实际问题。

【解题方法指导】
例1. 选择题：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则tanA等于（ ）
A. B. C. D.
分析：设法求出∠A的度数，再求值。
解：Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°
把∠B＝2∠A代入，得
3∠A＝90°
∴∠A＝30°

故选B。
评析：抓住直角三角形中两锐角互余，求出角的度数。

例2. （2002年四川）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，，设∠BCD＝α，那么cosα的值是（ ）
A. B. C. D.

分析：由∠ACB＝90°，CD⊥AB，可知∠BCD＝∠A＝α，而，故可解。
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠A＝α
又

故选D。
评析：此题利用图中的等角关系，使cosα转化为cosA，从而使问题得到解决。此题还可以利用△BCD∽△BAC，得出。

例3. （2005年 山西）如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD//AB，则∠α的余弦值为_________。

分析：关键是由∠C＝30°，∠COD＝90°，求出∠α的度数。由CD//AB，可知∠AOC＝∠C＝30°，而∠AOB＝180°，因此∠α的度数可求出，至此思路已通。
解：∵CD//AB，
∴∠AOC＝∠C＝30°
∵∠COD＝90°，∠AOB是一个平角，
∴∠α＝180°―∠AOC―∠COD
＝180°―30°―90°
＝60°

评析：此题用到了平行线的知识，平角的知识，以及特殊角的余弦值，要善于观察图形。

例4. （2003年 北京）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.
分析：由正切函数的定义可知，，而，关键是求出c，可设参数加以解决。
解：由
设

故应选B。
评析：此题是由tanA转化为sinB，要从定义出发，通过设参数加以解决，这种方法很重要，要牢记。

例5. （2005年 海南）如图，在△ABC中，∠A＝30°，，则AB＝_________。

分析：由于AB不是直角三角形的一条边，因此要设法使∠A、∠B分别是直角三角形的一个锐角，再应用三角函数去求。
解：作CD⊥AB于D（如图）
在Rt△ACD中，
∵∠A＝30°，

在Rt△BCD中，

评析：此题是解斜三角形，要回归定义，使图中出现直角三角形。因此作CD⊥AB于D，分别解两个直角三角形即可。这种回归定义的思想很重要，要学会应用。

【考点突破】
【考点指要】
解直角三角形的知识十分重要，在图形的计算以及解决实际问题中都有着广泛的应用，正因为如此，所以在中考试题中频频出现，但大多把有关三角函数及特殊角的三角函数值当作一个工具，用以解决其他问题，难度不是很大，应熟练加以掌握。对于解三角形的四种情况不要死记硬背，结合图形应用三角函数的定义去推导即可。

【典型例题分析】
例1. 已知：如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝6，，CD＝12，求∠D的三个三角函数值。

分析：由于∠BCD＝90°，CD＝12，欲求∠D的四个三角函数值，还需求出BC、BD的长，而BC又是Rt△ABC的一条边长，可由AB＝6，求得BC的长。
解：在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，
设BC＝4x，AC＝5x，则

∴x＝2，x＝－2（舍去负值）
∴BC＝4x＝4×2＝8，
在

评析：当给出后，一般利用设参数的方法去求出边长，而不要由，便得BC＝4，AC＝5。

例2. （2002年 天津）某片绿地的形状如图所示，其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长（精确到1m，）。

分析：欲求AD、BC的长，若联结AC，则使60°的角受到破坏；若联结BD，将使直角受到破坏，能否既构造出直角三角形，又不使60°的角和直角受到破坏，可采取延长AD、BC，使它们交于E点，于是得到两个直角三角形，从而为应用三角函数的定义创造了条件。
解：延长AD、BC，它们交于点E
在Rt△ABE中，AB＝200，∠A＝60°，∠E＝30°
∴AE＝2AB＝400

在Rt△CDE中，CD＝100，∠E＝30°，∠DEC＝60°
∴CE＝2CD＝200

；

答：AD的长约为227m，BC的长约为146m。
评析：构造直角三角形是一个目标，又是一种技巧，一定要根据题目的特点去添加辅助线，不可乱加。

例3. （2002年 黑龙江）曙光中学准备建一块三角形形状的花圃ABC，拟设计∠A＝，AC＝40米，BC＝25米，请你求出这块花圃的面积。
分析：此题已知条件是“两边和其中一边的对角”，应先画图看△ABC分几种情况，然后再作计算。
解：分两种情况计算：
（1）如图（1），当∠B是锐角时，作CD⊥AB于D，则D点落在AB边上，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝40，

图（1）

在Rt△BCD中，
（米2）
（2）如图（2），当∠B是钝角时，作CD⊥AB交AB的延长线于D，
在Rt△ACD中，

在Rt△BCD中，

（米2）

图（2）
答：这块三角形的面积为（）米2或（）米2。
评析：根据所给的条件可知三角形分为∠B为锐角及∠B为钝角两种情况，进行分类讨论。

例4. 已知：△ABC中，∠A＝120°，AB＝5，AC＝3。求sinB·sinC的值。
分析：欲求sinB·sinC的值，需分别求出sinB与sinC的值。但给出的三角形是钝角三角形，需添加辅助线，构造出直角三角形。
解：如图，作CD⊥BA，交BA的延长线于D，作BE⊥CA，交CA的延长线于E。

∵∠BAC＝120°，∠D＝∠E＝90°
∴∠DAC＝∠EAB＝60°，∠ACD＝∠ABE＝30°
∵在Rt△ACD中，
∴在Rt△BDC中，

∵在Rt△AEB中，，
∴在Rt△EBC中，

评析：钝角三角形中，当给出120°的角时，常作垂线，使直角三角形中出现60°的角及30°的角，从而为解直角三角形创造了条件。

例5. （2004年 苏州）如图，苏州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度。（精确到1cm）

分析：欲求AC的长度，作BD⊥AC直线于D，由AD＝60，只要求出CD的长即可。
在Rt△CBD中，由∠BDC＝90°，∠C＝12°，BD＝60，可解。
解：如图，作BD⊥CA延长线于D
在Rt△BCD中，∵∠C＝12°，BD＝20×3＝60

∵AC＝CD－AD＝282.3－60＝222.3222
答：AC的长度约为222cm。
评析：构造出直角三角形是解题的关键，要注意台阶的高，深的含义，问题便转化为解直角三角形的问题了。

【综合测试】
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，如果BC>AC，那么cosA与cosB的大小关系是_________。

2. 在△ABC中，∠C＝90°，，则cosB的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（ ）
A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 扩大4倍 D. 没有变化
4. 等于（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，已知，那么AD＝_________。

6. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B＝60°，∠C＝45°，BC＝6，求AD的长。

7. 已知直角三角形的面积为，斜边长为20，求这个直角三角形的两个锐角的度数。
8. 如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°。已知AB＝20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球的高度（结果保留根号）。

[参考答案]
http//

1. <
解：

即
2. C
解：

故应选C。
3. D
解：设∠A的对边为a，∠A的邻边为b
则新三角形的∠A的对边为2a，∠A的邻边为2b
，不变
故应选D。
4. A
解：

故应选A。
5. 4
解：Rt△ABC中，∵∠B＝30°，
∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB＝30°
∴AD＝DB
Rt△ACD中，

6.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°
∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°，∴AD＝DC
设CD＝x，则BD＝6－x
在Rt△ADB中，

，即
7. 30°，60°
解：设Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝20，两直角边为a，b
①
又 ②
由①、②，得

∴∠A＝60°，∠B＝30°
或
∴∠A＝30°，∠B＝60°
因此两个锐角的度数为30°，60°
8. （）m
解：作CD⊥AB于D，设CD＝xm
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x
在Rt△CBD中，∠CBD＝60°

又AB＝AD－BD