初三数学解直角三角形（锐角三角函数）知识精讲.doc

初三数学解直角三角形（锐角三角函数）【本讲主要内容】解直角三角形（锐角三角函数）包括锐角三角函数：角的正弦、余弦、正切，解直角三角形等。【知识掌握】【知识点精析】 1. 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA。 2. 在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA。 3. 在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA。 4. 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。 5. 特殊角的三角函数值：，； 6. 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形。 7. 解直角三角形的四种类型已知条件解法两条边两条直角边a和b一条直角边a和斜边c一条边和一个锐角一条直角边a和锐角A斜边c和锐角A依据：（1）；（2）；（3）；（4）。 8. 应用解直角三角形的知识解一些简单的实际问题。【解题方法指导】 例1. 选择题：在ABC中，C90，B2A，则tanA等于（ ）A. B. C. D. 分析：设法求出A的度数，再求值。解：RtABC中，AB90把B2A代入，得3A90A30故选B。评析：抓住直角三角形中两锐角互余，求出角的度数。 例2. （2002年四川）如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，设BCD，那么cos的值是（ ）A. B. C. D. 分析：由ACB90，CDAB，可知BCDA，而，故可解。解：在RtABC中，ACB90，CDAB，BCDA又故选D。评析：此题利用图中的等角关系，使cos转化为cosA，从而使问题得到解决。此题还可以利用BCDBAC，得出。 例3. （2005年 山西）如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD/AB，则的余弦值为_。分析：关键是由C30，COD90，求出的度数。由CD/AB，可知AOCC30，而AOB180，因此的度数可求出，至此思路已通。解：CD/AB，AOCC30COD90，AOB是一个平角，180AOCCOD 1803090 60评析：此题用到了平行线的知识，平角的知识，以及特殊角的余弦值，要善于观察图形。 例4. （2003年 北京）在RtABC中，C90，则sinB的值为（ ）A. B. C. D. 分析：由正切函数的定义可知，而，关键是求出c，可设参数加以解决。解：由设故应选B。评析：此题是由tanA转化为sinB，要从定义出发，通过设参数加以解决，这种方法很重要，要牢记。 例5. （2005年 海南）如图，在ABC中，A30，则AB_。分析：由于AB不是直角三角形的一条边，因此要设法使A、B分别是直角三角形的一个锐角，再应用三角函数去求。解：作CDAB于D（如图）在RtACD中，A30，在RtBCD中，评析：此题是解斜三角形，要回归定义，使图中出现直角三角形。因此作CDAB于D，分别解两个直角三角形即可。这种回归定义的思想很重要，要学会应用。【考点突破】【考点指要】解直角三角形的知识十分重要，在图形的计算以及解决实际问题中都有着广泛的应用，正因为如此，所以在中考试题中频频出现，但大多把有关三角函数及特殊角的三角函数值当作一个工具，用以解决其他问题，难度不是很大，应熟练加以掌握。对于解三角形的四种情况不要死记硬背，结合图形应用三角函数的定义去推导即可。【典型例题分析】 例1. 已知：如图，ABCBCD90，AB6，CD12，求D的三个三角函数值。分析：由于BCD90，CD12，欲求D的四个三角函数值，还需求出BC、BD的长，而BC又是RtABC的一条边长，可由AB6，求得BC的长。解：在RtABC中，ABC90，设BC4x，AC5x，则x2，x2（舍去负值）BC4x428，在评析：当给出后，一般利用设参数的方法去求出边长，而不要由，便得BC4，AC5。 例2. （2002年 天津）某片绿地的形状如图所示，其中A60，ABBC，ADCD，AB200m，CD100m，求AD、BC的长（精确到1m，）。分析：欲求AD、BC的长，若联结AC，则使60的角受到破坏；若联结BD，将使直角受到破坏，能否既构造出直角三角形，又不使60的角和直角受到破坏，可采取延长AD、BC，使它们交于E点，于是得到两个直角三角形，从而为应用三角函数的定义创造了条件。解：延长AD、BC，它们交于点E在RtABE中，AB200，A60，E30AE2AB400在RtCDE中，CD100，E30，DEC60CE2CD200；答：AD的长约为227m，BC的长约为146m。评析：构造直角三角形是一个目标，又是一种技巧，一定要根据题目的特点去添加辅助线，不可乱加。 例3. （2002年 黑龙江）曙光中学准备建一块三角形形状的花圃ABC，拟设计A，AC40米，BC25米，请你求出这块花圃的面积。分析：此题已知条件是“两边和其中一边的对角”，应先画图看ABC分几种情况，然后再作计算。解：分两种情况计算：（1）如图（1），当B是锐角时，作CDAB于D，则D点落在AB边上，在RtACD中，A30，AC40，图（1）在RtBCD中，（米2）（2）如图（2），当B是钝角时，作CDAB交AB的延长线于D，在RtACD中，在RtBCD中，（米2）图（2）答：这块三角形的面积为（）米2或（）米2。评析：根据所给的条件可知三角形分为B为锐角及B为钝角两种情况，进行分类讨论。 例4. 已知：ABC中，A120，AB5，AC3。求sinBsinC的值。分析：欲求sinBsinC的值，需分别求出sinB与sinC的值。但给出的三角形是钝角三角形，需添加辅助线，构造出直角三角形。解：如图，作CDBA，交BA的延长线于D，作BECA，交CA的延长线于E。BAC120，DE90DACEAB60，ACDABE30在RtACD中，在RtBDC中，在RtAEB中，在RtEBC中，评析：钝角三角形中，当给出120的角时，常作垂线，使直角三角形中出现60的角及30的角，从而为解直角三角形创造了条件。 例5. （2004年 苏州）如图，苏州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角BCA设计为12，求AC的长度。（精确到1cm）分析：欲求AC的长度，作BDAC直线于D，由AD60，只要求出CD的长即可。在RtCBD中，由BDC90，C12，BD60，可解。解：如图，作BDCA延长线于D在RtBCD中，C12，BD20360ACCDAD282.360222.3222答：AC的长度约为222cm。评析：构造出直角三角形是解题的关键，要注意台阶的高，深的含义，问题便转化为解直角三角形的问题了。【综合测试】 1. 如图，在ABC中，C90，如果BCAC，那么cosA与cosB的大小关系是_。 2. 在ABC中，C90，则cosB的值为（ ）A. B. C. D. 3. 在RtABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（ ）A. 扩大2倍B. 缩小2倍C. 扩大4倍D. 没有变化 4. 等于（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在ABC中，C90，B30，AD是BAC的平分线，已知，那么AD_。 6. 已知：如图，在ABC中，ADBC于D，B60，C45，BC6，求AD的长。 7. 已知直角三角形的面积为，斜边长为20，求这个直角三角形的两个锐角的度数。 8. 如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45，从地面B点测得C点的仰角为60。已知AB20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球的高度（结果保留根号）。参考答案http/ 1. 解：即 2. C解：故应选C。 3. D解：设A的对边为a，A的邻边为b则新三角形的A的对边为2a，A的邻边为2b，不变故应选D。 4. A解：故应选A。 5. 4解：RtABC中，B30，CAB60，AD平分CAB，CADDAB30ADDBRtACD中， 6. 解：ADBC，ADBADC90C45，DAC45，ADDC设CDx，则BD6x在RtADB中，即 7. 30，60解：设RtABC中，C90，斜边c20，两直角边为a，b又由、，得A60，B30或A30，B60因此两个锐角的度数为30，60 8. （）m解：作CDAB于D，设CDxm在RtACD中，CAD45，ADCDx在RtCBD中，CBD60又ABADBD