1、214二次函数的应用第1课时二次函数在面积最值问题中的应用1经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；(重点)2会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值(难点)一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米矩形ABCD的面积为S平方米当x为何值时，S有最大值？并求出最大值二、合作探究探究点：利用二次函数求最大面积【类型一】 利用二次函数求最大面积 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：
2、米)的变化而变化(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数(1)矩形一边长为x，则另一边长为，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标解：(1)根据题意，得Sxx230x.自变量x的取值范围是0x30；(2)Sx230x(x15)2225，因为a10，所以S有最大值，即当x15(米)时，S最大值是225(平方米)方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函
3、数关系【类型二】 利用二次函数判断面积取值成立的条件 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断解：(1)yx(16x)x216x(0x16)；(2)当y60时，x216x60，解得x110，x
4、26.所以当x10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y70时，x216x70，整理，得x216x700，由于256280240，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场方法二：当y70时，x216x70，整理，得x216x700，配方，得(x8)26，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程【类型三】 利用二次函数确定最大面积的条件 现有一块矩形场地，如图所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花(1)求出这块场
5、地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值解：(1)由题意知，B场地宽为(30x)m，yx(30x)x230x，自变量x的取值范围为0x30；(2)yx230x(x15)2225，当x15m时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m2.【类型四】 最大面积方案设计 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所
6、示)(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下解：(1)M(12，0)，P(6，6)；(2)设这条抛物线的函数关系式为ya(x6)26，因为抛物线过O(0，0)，所以a(06)260，解得a，所以这条抛物线的函数关系式为y(x6)26，即yx22x；(3)设OBm，则点A的坐标为(m，m22m)，所以ABDCm22m.根据抛物线的轴对称，可得OBCMm，所以BC122m，即AD122m，所以lABADDCm22m122mm22mm22m12(m3)215.所以当m3，即OB3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题
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