资源描述
19.1 函 数
19.1.1 变量与函数
第1课时 常量与变量
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．认识变量、常量．
2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．
【过程与方法】
经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．
【情感态度与价值观】
培养学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．
二、重难点目标
【教学重点】
1．认识变量、常量．
2．用式子表示变量间关系．
【教学难点】
用含有一个变量的式子表示另一个变量．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P71的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在一个变化的过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
2．判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值是否发生变化．
3．每张电影票售价为10元，如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?
解：早场电影票房收入：150×10＝1500(元)，
日场电影票房收入：205×10＝2050(元)，
晚场电影票房收入：310×10＝3100(元)，
关系式：y＝10x.
4．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10 cm，每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？
解：挂1 kg重物时弹簧长度：1×0.5＋10＝10.5(cm)，
挂2 kg重物时弹簧长度：2×0.5＋10＝11(cm)，
挂3 kg重物时弹簧长度：3×0.5＋10＝11.5(cm)，
关系式：L＝0.5m＋10.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】分析并指出下列关系中的变量与常量：
(1)球的表面积S与球的半径R的关系式是S＝4πR2；
(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式是h＝gt2(其中g取9.8 m/s2)；
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x千克与所付款W元之间的关系式是W＝1.8x.
【互动探索】(引发学生思考)在一个变化的过程中，常量和变量怎样区分？
【解答】(1)S＝4πR2，常量是4，π，变量是S，R.
(2)h＝v0t－4.9t2，常量是v0,4.9，变量是h，t.
(3)h＝gt2(其中g取9.8 m/s2)，常量是，g，变量是h，t.
(4)W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.
【互动总结】(学生总结，老师点评)常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系是( C )
A．Q＝8x B．Q＝8x－50
C．Q＝50－8x D．Q＝8x＋50
2．甲、乙两地相距s千米，某人行完全程所用的时间t(时)与他的速度v(千米/时)满足vt＝s，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 ( A )
A．s是变量 B．t是变量
C．v是变量 D．s是常量
3．某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示y.
份数/份
1
2
3
4
5
6
7
100
价钱/元
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
40
x与y之间的关系是y＝0.4x，在这个变化过程中，常量是报纸的单价，变量是报纸的份数．
4．先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量：
(1)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；
(2)一个铜球在0 ℃的体积为1000 cm3，加热后温度每增加1 ℃，体积增加0.051 cm3，t ℃时球的体积为Vcm3；
(3)等腰三角形的顶角为x度，试用x表示底角y的度数．
解：(1)α＝90°－β.90°是常量，α、β是变量．
(2)V＝1000＋0.051t.其中1000,0.051是常量，t、V是变量．
(3)y＝ ＝90－(0＜x＜180°)．其中90， 是常量，x、y是变量．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
【互动探索】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系，再根据变量和常量的定义得出常量与变量．
【解答】由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝x cm.
∵∠BAC＝45°，
∴S阴影＝·AM·h＝AM2＝x2，
则y＝x2,0≤x≤10.
其中的常量为，变量为重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
常量与变量
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时 函 数
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．认识变量中的自变量与函数．
2．进一步掌握确定函数关系式的方法．
3．会确定自变量的取值范围．
【过程与方法】
1．经历回顾思考过程，提高归纳总结概括能力．
2．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．
【情感态度与价值观】
积极参与活动，提高学习兴趣，并形成合作交流意识及独立思考的习惯．
二、重难点目标
【教学重点】
1．进一步掌握确定函数关系的方法．
2．确定自变量的取值范围．
【教学难点】
认识函数、领会函数的意义．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
2．用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式．
3．对函数的理解，要抓住三点：(1)两个变量；(2)一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而发生变化；(3)自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的一个值与其对应．
4．使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．确定自变量取值范围的条件：(1)使函数解析式有意义；(2)使函数所代表的实际问题有意义．
5．对于自变量的取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，y＝b，函数有唯一的值b与之对应，则这个对应值b叫做x＝a时的函数值．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列变量间的关系不是函数关系的是( )
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边长与面积
D．圆的周长与半径
【互动探索】(引发学生思考)如何判断两个变量是否是函数关系？
【分析】长方形的宽一定，它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A选项是函数关系；正方形的面积＝，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B选项是函数关系；等腰三角形的面积＝×高×底，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C选项不是函数关系；圆的周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系，故D选项是函数关系．
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．
【例2】根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为，则输出的函数值y为( )
A． B．
C． D．
【互动探索】(引发学生思考)已知函数解析式，怎样求函数值？自变量的取值范围不同，对应的函数关系式不同，又怎样求函数值呢？
【分析】∵2<<4，
∴将x＝代入函数y＝，得y＝.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．
【例3】写出下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x－3； (2)y＝；
(3)y＝； (4)y＝.
【互动探索】(引发学生思考)怎样确定自变量的取值范围？
【解答】(1)全体实数．
(2)分母1－x≠0，即x≠1.
(3)被开方数4－x≥0，即x≤4.
(4)由题意，得 解得x≥1且x≠2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列变量之间的关系是函数关系的是( C )
A．水稻的产量与用肥量
B．小明的身高与饮食
C．球的半径与体积
D．家庭收入与支出
2．如图，△ABC底边BC上的高是6 cm，当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是BC，因变量是 △ABC的面积；
(2)如果三角形的底边长为x(cm)，三角形的面积y(cm2)可以表示为y＝3x；
(3)当底边长从12 cm变到3 cm时，三角形的面积从36cm2变到9cm2；
(4)当点C运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？
解：当点C运动到中点时，三角形的面积缩小为原来的一半．
3．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，它的原长为10 cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm；
(2)设一长方体盒子高为30 cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变．
解：(1)y＝10＋x(0＜x≤10)，其中x是自变量，y是自变量的函数．
(2)V＝30a2(a>0)，其中a是自变量，V是自变量的函数．
4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表：
时间
(秒)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
速度
(米/秒)
0
0.3
1.3
2.8
4.9
7.6
11.0
14.1
18.4
24.2
28.9
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？
(3)当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒时，v的增加量最大？
(4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？
解：(1)上表反映了时间和速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量．
(2)如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是v随着t的增大而增大．
(3)当t每增加1秒，v的变化情况不相同，在第9秒时，v的增加量最大．
(4) ＝≈33.3(米/秒)，由33.3－28.9＝4.4，且28.9－24.2＝4.7＞4.4，所以估计大约还需1秒．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升．
(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)7：55时，水箱内还有多少水？
(3)何时水箱内的水恰好放完？
【互动探索】(1)根据水箱内存有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)当7：55时，t＝55－30＝25，将t＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即可．
【解答】(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，
∴y＝200－2t.
∵y≥0，∴200－2t≥0，
解得t≤100，
∴0≤t≤100，
∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)．
(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，
∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，
∴7：55时，水箱内还有水150升．
(3)令y＝0，即200－2t＝0，解得t＝100.
100分＝1时40分，
7时30分＋1时40分＝9时10分，
故9：10水箱内的水恰好放完．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)已知函数解析式求函数值，就是将自变量x的值带入解析式，求代数式的值；(2)已知函数解析式并给出函数值，求相应的自变量x的值，实际上就是解方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
函数
练习设计
请完成本课时对应训练！
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