九年级数学下册 3.9 弧长及扇形的面积教案1 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

课题：3.9.弧长及扇形的面积
教学目标：
1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程.培养学生的探索能力.
2．理解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．训练学生的数学应用能力.
3.使学生了解计算公式的同时，体会公式的变式，使学生养成独立思考、合作交流的良好学习习惯,形成良好的数学品质.
教学重点和难点：
重点：会利用弧长及扇形面积公式解决问题．
难点：探索弧长及扇形面积计算公式；利用公式解决问题．
教具准备：老师制作多媒体课件．
教学过程：
一、创设情境，引入新课
活动内容：回答下列问题.
问题1：同学们，春天到了，春季运动会也将在近期举行．很多同学是不是跃跃欲试呢．在运动会中你认为最精彩，最让人兴奋的项目是什么？（赛跑、掷铅球、跳高等）
问题2：在田径200米跑比赛中，为什么每位运动员的起跑位置不相同？这样的起点位置对每位运动员公平吗？（学生疑惑不解）
带着这样的疑问，让我们一起走进今天的学习．（教师板书课题:3.9弧长及扇形面积）

设计意图：从学生熟悉的200米运动员的起点位置引入本课，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步体会到生活处处有数学，数学来源于生活这一事实．这也为新课的学习做好铺垫．
二、探究学习，感悟新知
复习回顾：（多媒体出示问题）
1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
2.什么叫圆心角？圆的圆心角多少度？
学生思考后回答：1.若圆的半径为R，则周长l＝2πR，面积S＝πR 2;2.圆的圆心角是360°．
我们知道弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算呢?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?下面我们就来一起探索弧长及扇形的面积公式，并应用它们来解决一下简单的实际问题.
探究活动1：弧长的计算公式（多媒体出示问题）
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．
．
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?
（学生先独立思考，然后讨论交流,最后由各组的组代表展示讨论的成果．教师予以鼓励和肯定.）
解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长.所以，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm．
(2) 因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的.所以，传送带上的物品A被传送cm．
(3) 转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的n倍．所以，
传送带上的物品A被传送n×cm．
根据上面的计算，你能探讨出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．
学生讨论交流,各抒己见.然后总结得出：360°的圆心角对应圆周长为2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×．也就是，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：.
我们发现，弧长公式与半径R、圆心角n有着密切的关系.现在，你能解释一下这节课开头关于“200米起跑位置不同”的原因吗？(学生讨论交流,然后尝试回答).
因为处于外跑道同学所在圆的半径大，若在同一起点，则外跑道学生所跑的“弧长”大于内跑道学生所跑的“弧长”，因此，处于外跑道的学生起点要比内跑道学生的起点靠前.
这样我们将“200米弯道跑”的问题就转化长为“弧长”的问题了，请同学们认真体会这种转化思想的应用.
处理方式：学生讨论交流，在练习本上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时予以引导，让学生通过自主探究、合作交流归纳总结出弧长的计算公式，并通过对问题情境例子的解释，加深对公式的理解.
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对弧长计算公式从感性认识上升到理性认识．先从一般到特殊，再从特殊到一般，利用圆的周长公式推导出弧长的计算公式，在这一过程中让学生再次感受弧长与圆的周长公式的密切关系．
下面我们来看弧长计算公式的运用（多媒体出示例1）．
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1 mm)．
分析：要求管道的展直长度．可以将实际问题转化成数学问题.管道的展直长度即弧AB的长，已知R＝40mm，n=110°，因此根据弧长公式l＝，可求得弧AB的长．（ 学生板书计算过程）
解：∵R＝40mm，n=110°．
∴弧AB的长l=πR=×40π≈76．8 mm．
因此，管道的展直长度约为76．8 mm．
巩固训练一：
1.在直径为24cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ）
A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.5πcm
2.若圆的半径为6cm，长为8π的弧长所对的圆心角为_______度.
3.长为6.28cm的弧所对的圆心角是60°，则该弧所在圆的半径为_______.（π取3.14）
设计意图：让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切，熟练公式的应用．实物投影展示解题过程的同时，规范学生的书写．
探究活动2：扇形面积计算公式（多媒体出示问题）
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．
(1)这只狗的最大活动区域有多大？
(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大?
（学生先独立思考，然后讨论交流,最后由各组的组代表展示讨论的成果．教师予以鼓励和肯定.）
解：(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π.

(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积是9π，1°的圆心角对应圆面积的，即×9π=，n°的圆心角对应的圆面积为n×=．
由此实际问题，你能总结扇形的面积公式吗？
学生讨论交流，总结出下面的结论：如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n·=．
因此扇形面积的计算公式为：S扇形=πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角．
下面我们就来利用扇形的面积计算公式解决一些简单的问题. （多媒体出示例2）
例2 扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)（4分钟时间思考并板书，加强对公式的记忆与应用）
安排学生独立在练习本上完成题目，并安排一名学生板演.学生完成后，老师予以讲评.
解：弧AB的长l=π×12=8π≈25.1cm：
S扇形=π×122=48π≈150.7 cm2．
因此，弧AB的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm2．
巩固训练二：
1．已知扇形的圆心角为120°且半径为3，则弧长=_____，扇形面积=_______.
2．如图，纸扇的最大张角为120°，尺寸如图所示，制作这样的纸扇至少要多少平方厘米的纸？（纸扇有两面，结果用π表示）
3．如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是_______.
第4题
第3题
第2题

(2)题图

4．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是( )
A．6π B．5π C．4π D．3π
处理方式：让学生先根据多媒体展示的例2解题过程，理解弧长及扇形面积计算公式.然后让四名同学板演巩固训练的题目，其余学生再练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时强调，如：第2题纸扇有两面算时忘了乘以2了；弧长及扇形面积计算公式中n不带单位“度”了等．
设计意图：引导学生自己根据已有的知识推导公式．通过引例初步掌握如何解决与扇形有关的实际问题，教师此时乘胜追击，再出示课本问题，让学生及时巩固解决实际问题的方法.并能积极进入探究过程．
探究活动3：扇形面积计算公式（多媒体出示问题）
上面我们已经探讨了弧长及扇形面积的计算公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n和半径R，因此，l和S之间有什么关系吗?换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流．（学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流）
解∵l=πR，S扇形=πR2，
∴πR2=R·πR．
∴S扇形=lR．
由此，你能发现扇形面积类似于三角形的面积的计算公式吗？（能）若已知圆心角和半径，选择S扇形＝πR2，若知道弧长和半径，选择S扇形=lR．
在例2中，计算出弧AB的长后，我们还可以选择S扇形=lR计算扇形AOB的面积,
即S扇形=lR =×8π×12≈150.7 cm2．
巩固训练3：
(1)已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为 ．
(2)已知扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则该扇形的圆心角为_______.
处理方式：让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流，通过整体代入的方法推导出扇形的第二个面积计算公式，并让学生类似于三角形的面积的计算公式加以记忆.对于巩固训练可以让两名同学板演，其余学生再练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时予以强调．
设计意图：由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难，因此，在探讨公式后，让学生直接再利用公式确定问题的答案，这样可以让部分学生恢复解题的自信心，从而提高解题的积极性和主动性.
五、回顾反思，提炼升华
同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
学生畅谈自己的收获！
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
六、达标检测，反馈提高
通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请迅速完成本节课的达标检测题．（同时多媒体出示）
A组：
1．已知扇形的圆心角为60°，且半径为5，则扇形的弧长为（ ）
A．5π B．π 　 C．π D．π
2．如果一个扇形的半径是2，弧长等π，那么此扇形的圆心角的大小是（ ）
A． 45° B． 60° C．90° D．120°
3．已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为 ．
4.如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
π
B．
2π
C．

D．
4π

4题图

4题图 5题图
5．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 .
B组：
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2.将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为 .
7题图
D
B
A
C
E
O

6题图
7．如图所示，与相切于点，线段交于点．过点作交于点，连接，且交于点．若．
（1）求的半径长；
（2）求由弦与弧所围成的阴影部分的面积．（结果保留）
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，课堂延伸
必做题：课本第102页，习题3.11 第1题 第2题 第3题 第4题．
选做题：如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于　　．

【分析】先作出辅助线，即连接OD．然后根据题意利用等积转化将△ODF的面积转化为△BCD的面积，将弓形DE的面积转化为弓形BC的面积，从而将阴影部分的面积转化为扇形BOD面积，然后利用扇形的面积公式即可求得阴影部分的面积．
解：连接OD，根据题意可知
S△ODF=S△BCD, S弓形DE=,S弓形BC,
∴S阴影=S扇形BOD=π．
【点评】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是利用等积转化将阴影部分的面积转化为扇形BOD面积，然后利用扇形的面积公式即可求得阴影部分的面积．题目比较好，难度适中．
设计意图：必做题供全体学生巩固弧长及扇形面积公式；选做题供学有余力的学生完成，训练学生灵活运用公式解决实际问题的能力，拓宽学生的知识面．
板书设计：
§3.9 弧长及扇形的面积
一、弧长的计算公式
l＝πR
二、扇形的面积公式
S＝πR2
例1

例2
学生板演区
三、S扇形=lR
学 生 板 演 区