九年级数学下册 3.9 弧长及扇形的面积教案1 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

课题：3.9.弧长及扇形的面积 教学目标：1经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程.培养学生的探索能力.2理解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题训练学生的数学应用能力.3.使学生了解计算公式的同时，体会公式的变式，使学生养成独立思考、合作交流的良好学习习惯,形成良好的数学品质.教学重点和难点：重点：会利用弧长及扇形面积公式解决问题难点：探索弧长及扇形面积计算公式；利用公式解决问题教具准备：老师制作多媒体课件教学过程： 一、创设情境，引入新课活动内容：回答下列问题.问题1：同学们，春天到了，春季运动会也将在近期举行很多同学是不是跃跃欲试呢在运动会中你认为最精彩，最让人兴奋的项目是什么？（赛跑、掷铅球、跳高等）问题2：在田径200米跑比赛中，为什么每位运动员的起跑位置不相同？这样的起点位置对每位运动员公平吗？（学生疑惑不解）带着这样的疑问，让我们一起走进今天的学习（教师板书课题:3.9弧长及扇形面积） 设计意图：从学生熟悉的200米运动员的起点位置引入本课，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步体会到生活处处有数学，数学来源于生活这一事实这也为新课的学习做好铺垫二、探究学习，感悟新知复习回顾：（多媒体出示问题） 1.已知O的半径为R，O的周长是多少？O的面积是多少？2.什么叫圆心角？圆的圆心角多少度？学生思考后回答：1.若圆的半径为R，则周长l2R，面积SR 2;2.圆的圆心角是360我们知道弧是圆周的一部分，扇形是圆的部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算呢?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?下面我们就来一起探索弧长及扇形的面积公式，并应用它们来解决一下简单的实际问题.探究活动1：弧长的计算公式（多媒体出示问题）如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米? (2)转动轮转1，传送带上的物品A被传送多少厘米?(3)转动轮转n，传送带上的物品A被传送多少厘米?（学生先独立思考，然后讨论交流,最后由各组的组代表展示讨论的成果教师予以鼓励和肯定.）解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长.所以，传送带上的物品A被传送21020cm (2) 因为圆的周长对应360的圆心角，所以转动轮转1，传送带上的物品A被传送圆周长的.所以，传送带上的物品A被传送cm (3) 转动轮转n，传送带上的物品A被传送转l时传送距离的n倍所以，传送带上的物品A被传送ncm 根据上面的计算，你能探讨出在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流学生讨论交流,各抒己见.然后总结得出：360的圆心角对应圆周长为2R，那么1的圆心角对应的弧长为，n的圆心角对应的弧长应为1的圆心角对应的弧长的n倍，即n也就是，在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：.我们发现，弧长公式与半径R、圆心角n有着密切的关系.现在，你能解释一下这节课开头关于“200米起跑位置不同”的原因吗？(学生讨论交流,然后尝试回答).因为处于外跑道同学所在圆的半径大，若在同一起点，则外跑道学生所跑的“弧长”大于内跑道学生所跑的“弧长”，因此，处于外跑道的学生起点要比内跑道学生的起点靠前.这样我们将“200米弯道跑”的问题就转化长为“弧长”的问题了，请同学们认真体会这种转化思想的应用.处理方式：学生讨论交流，在练习本上完成后再展示说明，学生之间互相补充教师适时予以引导，让学生通过自主探究、合作交流归纳总结出弧长的计算公式，并通过对问题情境例子的解释，加深对公式的理解.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对弧长计算公式从感性认识上升到理性认识先从一般到特殊，再从特殊到一般，利用圆的周长公式推导出弧长的计算公式，在这一过程中让学生再次感受弧长与圆的周长公式的密切关系下面我们来看弧长计算公式的运用（多媒体出示例1）例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到01 mm) 分析：要求管道的展直长度可以将实际问题转化成数学问题.管道的展直长度即弧AB的长，已知R40mm，n=110，因此根据弧长公式l，可求得弧AB的长（ 学生板书计算过程）解：R40mm，n=110弧AB的长l=R=40768 mm因此，管道的展直长度约为768 mm巩固训练一：1.在直径为24cm的圆中，150的圆心角所对的弧长等于（ ）A.24cm B.12cm C.10cm D.5cm2.若圆的半径为6cm，长为8的弧长所对的圆心角为_度.3.长为6.28cm的弧所对的圆心角是60，则该弧所在圆的半径为_.（取3.14）设计意图：让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切，熟练公式的应用实物投影展示解题过程的同时，规范学生的书写探究活动2：扇形面积计算公式（多媒体出示问题）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n角，那么它的最大活动区域有多大? （学生先独立思考，然后讨论交流,最后由各组的组代表展示讨论的成果教师予以鼓励和肯定.）解：(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9. (2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360的圆心角对应的圆面积是9，1的圆心角对应圆面积的，即9=，n的圆心角对应的圆面积为n= 由此实际问题，你能总结扇形的面积公式吗？学生讨论交流，总结出下面的结论：如果圆的半径为R，则圆的面积为R2，1的圆心角对应的扇形面积为，n的圆心角对应的扇形面积为n=因此扇形面积的计算公式为：S扇形=R2，其中R为扇形的半径，n为圆心角下面我们就来利用扇形的面积计算公式解决一些简单的问题. （多媒体出示例2）例2 扇形AOB的半径为12 cm，AOB120，求弧AB的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)（4分钟时间思考并板书，加强对公式的记忆与应用）安排学生独立在练习本上完成题目，并安排一名学生板演.学生完成后，老师予以讲评. 解：弧AB的长l=12=825.1cm： S扇形=122=48150.7 cm2因此，弧AB的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm2巩固训练二：1已知扇形的圆心角为120且半径为3，则弧长=_，扇形面积=_.2如图，纸扇的最大张角为120，尺寸如图所示，制作这样的纸扇至少要多少平方厘米的纸？（纸扇有两面，结果用表示）3如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是_.第4题第3题第2题 (2)题图 4如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60，此时点B到了点B，则图中阴影部分的面积是( )A6 B5 C4 D3处理方式：让学生先根据多媒体展示的例2解题过程，理解弧长及扇形面积计算公式.然后让四名同学板演巩固训练的题目，其余学生再练习本上完成完成后，让学生进行评价对于出现的问题及时强调，如：第2题纸扇有两面算时忘了乘以2了；弧长及扇形面积计算公式中n不带单位“度”了等设计意图：引导学生自己根据已有的知识推导公式通过引例初步掌握如何解决与扇形有关的实际问题，教师此时乘胜追击，再出示课本问题，让学生及时巩固解决实际问题的方法.并能积极进入探究过程探究活动3：扇形面积计算公式（多媒体出示问题）上面我们已经探讨了弧长及扇形面积的计算公式，在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式为lR，n的圆心角的扇形面积公式为S扇形R2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n和半径R，因此，l和S之间有什么关系吗?换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流（学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流） 解l=R，S扇形=R2，R2=RRS扇形=lR由此，你能发现扇形面积类似于三角形的面积的计算公式吗？（能）若已知圆心角和半径，选择S扇形R2，若知道弧长和半径，选择S扇形=lR在例2中，计算出弧AB的长后，我们还可以选择S扇形=lR计算扇形AOB的面积,即S扇形=lR =812150.7 cm2巩固训练3：(1)已知扇形的圆心角是150，弧长为20cm，则扇形的面积为 (2)已知扇形的弧长为20cm，面积是240cm2，则该扇形的圆心角为_.处理方式：让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流，通过整体代入的方法推导出扇形的第二个面积计算公式，并让学生类似于三角形的面积的计算公式加以记忆.对于巩固训练可以让两名同学板演，其余学生再练习本上完成完成后，让学生进行评价对于出现的问题及时予以强调设计意图：由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难，因此，在探讨公式后，让学生直接再利用公式确定问题的答案，这样可以让部分学生恢复解题的自信心，从而提高解题的积极性和主动性.五、回顾反思，提炼升华同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识 六、达标检测，反馈提高通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请迅速完成本节课的达标检测题（同时多媒体出示）A组：1已知扇形的圆心角为60，且半径为5，则扇形的弧长为（ ）A5 B C D2如果一个扇形的半径是2，弧长等，那么此扇形的圆心角的大小是（ ）A45B60 C90 D1203已知扇形的圆心角是150，弧长为20cm，则扇形的面积为 4.如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45，点A旋转到A的位置，则图中阴影部分的面积为（）AB2CD4 4题图 4题图 5题图5如图，在ABC中，CA=CB，ACB=90，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 .B组：6如图，在RtABC中，C=90，A=30，AB=2.将ABC绕顶点A顺时针方向旋转至ABC的位置，B，A，C三点共线，则线段BC扫过的区域面积为 .7题图DBACEO6题图7如图所示，与相切于点，线段交于点过点作交于点，连接，且交于点若（1）求的半径长；（2）求由弦与弧所围成的阴影部分的面积（结果保留）处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况学生根据答案进行纠错设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的 七、布置作业，课堂延伸 必做题：课本第102页，习题3.11 第1题 第2题 第3题 第4题选做题：如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的半径为4，则阴影部分的面积等于 【分析】先作出辅助线，即连接OD然后根据题意利用等积转化将ODF的面积转化为BCD的面积，将弓形DE的面积转化为弓形BC的面积，从而将阴影部分的面积转化为扇形BOD面积，然后利用扇形的面积公式即可求得阴影部分的面积解：连接OD，根据题意可知SODF=SBCD, S弓形DE=,S弓形BC,S阴影=S扇形BOD=【点评】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是利用等积转化将阴影部分的面积转化为扇形BOD面积，然后利用扇形的面积公式即可求得阴影部分的面积题目比较好，难度适中设计意图：必做题供全体学生巩固弧长及扇形面积公式；选做题供学有余力的学生完成，训练学生灵活运用公式解决实际问题的能力，拓宽学生的知识面板书设计：3.9 弧长及扇形的面积一、弧长的计算公式lR二、扇形的面积公式SR2例1例2学生板演区三、S扇形=lR学 生 板 演 区