山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学上册 1.4 角平分线教案（1） 北师大版.doc

1.4角平分线（1）
学习目标：
1、角平分线的性质定理、判定定理的证明．
2、用尺规作已知角的角平分线．
3、进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．
教学重点、难点
重点
1、角平分线的性质和判定定理的证明．
2、用尺规作已知角的角平分线并说明理由．
难点
正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．
教法及学法指导：
启迪诱导－自主探究
课前准备：
制作课件.
教学过程：
一、创设情境，呈现问题
我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎么得到的？你能证明它吗?
二、合作探究
（一）探究角平分线的性质定理
生:自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．
师：对有困难的学生要给以指导后板书
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
师：(用多媒体演示)
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
符号语言：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，垂足为点D
PE⊥OB，垂足为点E．
∴PD=PE
（二）探究角平分线的判定定理
师：你能写出这个定理的逆命题吗?
生1：如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
生2：（质疑）“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”
师：肯定这位同学思考问题很仔细．并加以解释。只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．
再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。
生3：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
师：（多媒体展示）在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
问：它是真命题吗? 你能证明它吗?
生：自己动手作图，写出已知、求证并尝试证明
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，
D、E为垂足且PD=PE
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
师：巡视指导学生
多媒体展示证明过程
板书：角平分线的判定定理
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB
PD=PE
∴点P在∠AOB的角平分线上
（三）探究角平分线的作法
师：你能用什么办法平分一个已知角呢?
学生思考，小组内交流后由代表发言
生1：用量角器平分已知角
生2：用三角板平分已知角
生3：用分角仪平分已知角
_
E
_
D
_
B
_
O
_
A
_
1
_
2
师：能用直尺和圆规平分一个已知角吗？
生：尝试完成
C
师：已知：∠AOB(如图)
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．
作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．
2．分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，
两弧在∠AOB内交于点C．
3．作射线OC
OC就是∠AOB的平分线．
师：OC为什么是∠AOB的平分线，与同伴交流．
生：板书
证明：在△OCE和△OCD中
∵OD=OE，CE=CD，OC=OC，
∴△OCE≌△OCD(SSS)．
∴∠1=∠2，即OC是∠AOB的角平分线．
三、典例导航
如图,在△ABC中,∠CAB平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM ⊥ AB于点M，DN ⊥ AC延长线于点N
求证：BM=CN
A
分析：添加辅助线构造全等三角形
连接BD,CD

M

B
C
N
E

D
四、巩固体验，深化提高
1.如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？
解：∵AD平分∠CAB．
∴又∠1=∠2=∠CAB
又∵AE平分∠CAF．
∠CAB+∠CAF=180°，
∴∠3=∠4= ∠CAF
∵∠CAB+∠CAF=180°
∴∠1+∠3= （∠CAB+∠CAF）=×180°=90°，
C
即AD⊥AE．
2.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
P
B
O
求证:(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.

D
五、作业
习题1.8 第2,3题
六、教学反思
教学时，主要运用启发诱导，学生自主探究的方法，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．在探究角平分线的性质和判定时，为保证学生在运用时不再证明全等，所以在教学中对本节课的两个定理出示符号语言并作强调.在探究角平分线的做法时，让学生回忆已有的方法，进而巩固所学知识，同时让学生进一步明确什么是尺规作图。本节课所选用的例题是线段垂直平分线和角平分线的性质定理的综合应用，通过该题的讲解让学生体会添加辅助线的技巧，增强学生分析问题、解决问题的能力.