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《一元二次方程复习》教案
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第 课
教学课题
教学
目标
会用各种方法解一元二次方程，会解一元二次方程应用
课前检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________
过
程
知识网络
一元 二次方程
1．一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式：是常数，。其中分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。
例题：
（1）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A ＋x 2＝1 B －＝1
C x 2－＋1＝0 D 2x 3－5xy－4y2＝0
（2） 将方程x2+=x+x化成一般形式是____________，二次项系数是____________，一次项系数是____________，常数项是____________。
（3）关于x的方程m－3x=－mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？
（4）已知关于x的一元二次方程（m－2）+3x+－4=0，有一个解是0，求m的值。
习题：
作业：
（1）若是一元二次方程，则m= 。
（2）一元二次方程化成一般形式为，试求（2a+b）·3c的值。
（3）（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.
2．一元二次方程的解法
（1）直接开平方法
例题：
（1）方程=1 的实数根的个数是 。
（2）用直接开平方法解下列方程
① 9－25=0 ②
思考：
若方程，试说明方程根的情况。
（2）因式分解法
例题：
（1） 方程－1=0的根是 。
（2）用因式分解法解下列方程：
① 3－6x=0 ② x(x+1) －5x=0
思考：
（1）小明在解=3x时，将方程两边同除以x，得到原方程的解为x=3，这种做法对吗？为什么？
作业：
（1）解方程
① ②x(2x－1)=3(1－2x)
（2）已知一元二次方程+bx+c=0的两个根分别是，则二次三项式－bx+c可分解为（ ）
A ﹙x＋2﹚﹙x－3﹚ B ﹙x－2﹚﹙x－3﹚
C ﹙x＋2﹚﹙x＋3﹚ D ﹙x－2﹚﹙x＋3﹚
（3）配方法
例题：
（1）填空
①+3x+（ ）=（x+）
②+2x+5=（x+ ）+4
③－x+=（x－）+（ ）
④ （ ）+6x+1=3（x+1）－2
（2）用配方法解下列方程
①－6x－7=0 ②＋3x+1=0
（3）用配方法说明－3+12x－16的值恒小于0。
练习：
（1）用配方法解一元二次方程时，配方有错误的是 （ ）
A －2x－99＝0化为 ＝100
B 2－7x－4＝0化为 ＝
C ＋8x＋9＝0化为＝25
D 3－4x－2＝0化为＝
（2） 已知三角形的两边长分别是4和7，第三边是方程－16x＋55＝0的根，则第三边长是（ ）
A 5 B 11 C 5或11 D 6
（3）已知长方形的面积是8，周长是12，求这个长方形的长与宽。
作业：
（1）已知x－4x+y+6y+13=0，求x+2y的值。
（2）已知a,b,c是△ABC的三边，且满足a+b+c－ab－bc－ca=0，试判断△ABC的形状。
（4）公式法
3．一元二次方程的判别式，
当时，方程有两个不等的实根。
当时，方程有两个相等的实根。
当时，方程没有实数根。
例题：
（1）用公式法解方程
① x－6x+1=0 ② 2x－x=6
③ 4x－3x－1=x－2 ④ 3x﹙x－3﹚=2﹙x－1﹚﹙x＋1﹚
（2）方程x－3x+2－m=0有实根，则m的取值范围是（ ）
A m＞－ B m≥ C m≥－ D m＞
（3）方程中一根为0，另一根不为0，则m、n应满足（ ）
A m=0,n=0 B m=0,n≠0 C m≠0,n=0 D m≠0, n≠0
练习：
（1）如果关于x的方程3ax2－2（a－1）x+a=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A a<且a≠0 B a≥ C a≤且a≠0 D a≤
（2）若方程2x（kx－4）－x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
（3）已知关于x的方程ax+ bx + c = 0的一个根是1，则a + b + c =
作业：
（1）将方程x2+=x+x化成一般形式是____________，二次项系数是____________，一次项系数是____________，常数项是____________，= ，方程的根为 。
（2）已知关于x的方程x－(k+2)x+2k=0，①试说明：无论k取任何实数值，方程总有实数根。②若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b,c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。
（3）已知x= –5是方程x+mx–10=0的一个根，求x =3时，x+mx–10的值。
（4） “十字相乘法”法
一、用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解
例1计算
解：
反过来我们就得到 因式分解的结果： 。
我们把这个过程用以下划十字的形式来反映：把二次项拆成，分别写在十字交叉的左边上下两角，把常数项4拆成，写在右边上下两角。上下两数可适当换位，使交叉相乘的和等于一次项！
∴
练习一 用“十字相乘法” 把以下多项式分解因式：
（1） = （2）=
（3）= （4）
（5） （6）
（7） （8）
总结：（1）当二次项系数是正数时，如果常数项是正数，必须拆成同号两个数相乘：一次项系数为正则拆成两个数同为正，一次项系数为负则拆成两个数同为负。
（2）当二次项系数是1时，如果常数项是负数，拆成异号两个数相乘：这两个数绝对值之差的绝对值正好是一次项系数的绝对值。
（3）不是所有二次三项式都能“十字相乘法” 进行因式分解，只是对某些特殊的多项式较为方便。如不能用“十字相乘法” 进行分解。
二、用“十字相乘法”解某些特殊的一元二次方程
例2 解方程：
解：
∴
练习二 解下列一元二次方程：
（1） （2） （3）
(4)6x2－11x+3=0； (5 )10x2－21x+2=0； (6)4x2+15x+9=0
4．一元二次方程的应用
（1）增长（降低）率问题
例题：
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
练习：
制造某种药品，计划经过两年使成本降低到81%，则平均每年降低的百分率是________。
作业：
某镇产粮大户，2000年粮食产量为50吨，由于加强了经营和科学种田，2002年粮食产量上升到60.5吨．求平均每年增长的百分率。
（2）数字问题
例题：
已知三个连续奇数的平方和是365，求这三个奇数。
练习：
一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9。如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数少27，求原来两位数。
作业：
有一个两位数，两个数字的和为6，数字积等于这个两位数的，求这个两位数。
（3）面积问题
例题：
如图在一个长为35米，宽为26米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直道路，其它部分种花草，要使花草为850㎡，问道路应为多宽？设道路宽为x，得方程如下：
（1）（35－x）（26－x）＝850； （2）850＝35×26－35x－26x＋x ；
（3）35x＋x(26－x) ＝850－35×26； （4）35x＋26 x＝850－35×26
你认为符合题意的方程有 ( )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
练习：
有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？
作业：
在长方形钢片上冲去一个小长方形，制成一个四周宽相等的长方形框，已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm，要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框图边宽。
5．韦达定理：
例题：
（1）一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是（ ）
A x－6x－7=0 B x－6x+7=0
C x+6x－7=0 D x+6x+7=0
（2）若，是方程2x－7x+4=0的两根，则+的值为____________。
（3）已知关于x的方程x+ax+1－a=0的两根之和等于3a－8，则两根之积等于___________。
练习
一、填空题（每小题3分，共8小题24分）
二、选择题（第小题3分，共8小题24分）
1、请判别下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A、 B、 C、 D、
2、请检验下列各数哪个为方程的解（ ）
A、3 B、 C、1 D、
3、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A、若； B、；
C、；D、的值为零，则。
4、，则（ ）
A、 B、3 C、 D、
5、将方程的形式，指出分别是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、已知方程 的两根分别为a,, 则方程 的根是( )
A、 B、 C、 D、
7、若（ ）
A、 B、 C、 D、
8、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A、 B、 C、 D、
三、选择适当的方法解一元二次方程（每小题5分，共8个小题40分）
1） 2） 3）
4） 5） 6）
7） 8）
四、列方程解应用题（每小题8分，共16分）
1、将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，就会少销售10个。为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个。
2、如图，在的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于?
附加题（20分）
（1）方程
；
（2）方程
；
（3）方程
；
由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能说明你的猜想吗？
课
后
记
配合需求：
家长：
学管师：督促作业完成
备注：
签字
教学组长签字： 教研主任签字:
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