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第4课时 二次函数
一、导航图
1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质
顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
5.二次函数与一元二次方程的关系。
6.抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系。毛
二、知识梳理
1.二次函数的图象
在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+)2+ 的形式,先确定顶点(-,),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.
2.理解二次函数的性质
抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-时,y最小值=;反之当a<0时,简记左增右减,当x=-时y最大值=.
3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法
一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y的值)可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解.
4.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实根.
5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定
a的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下;c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;简记左同右异.
6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.
三、题型例析
1. 二次函数解析式的确定
例1 求满足下列条件的二次函数的解析式
(1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);
(2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;
(3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.
分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.
(1)解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得
解得
∴解析式为y=x2+2.
(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).
设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8.
把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2.
即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.
解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,
把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,
∴解析式为y=2x2-4x-6.
解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.
∵函数有最小值-8.
∴=-8.
又∵a≠0,∴a=2.
∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.
(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,
又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.
由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),
设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),
将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.
点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2).
2. 二次函数的图象
例2 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
分析:由图可知:
抛物线开口向上a>0.
bc<0.
∴点M(a,bc)在第一象限.
答案:A.
点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.
例3 已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).
分析:一次函数y=ax+c,当a>0时,图象过一、三象限;当a<0时,图象过二、四象限;c>0时,直线交y轴于正半轴;当c<0时,直线交y轴于负半轴;对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来讲:
解:可用排除法,设当a>0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;当a<0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B.
答案:D.
3. 二次函数的性质
例4 对于反比例函数y=-与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:①_________,②_________;再说出它们的两个不同点:①________,②_________.
分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.
解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);
不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值.
点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点.
4. 二次函数的应用
例5 已知抛物线y=x2+(2k+1)x-k2+k,
(1)求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x22=-2k2+2k+1.
①求抛物线的解析式.
②设点P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称.
求m+m的值.
分析:(1)欲证抛物线与x轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可.
(2)①根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式;②由P、Q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0可求得m1+m2=-1.
解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k2+k)
=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.
∵8k2+1>0,
即△>0,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)①由题意得x1+x2=-(2k+1), x1· x2=-k2+k.
∵x12+x22=-2k2+2k+1,
∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1,
即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1,
4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.
∴8k2=0,∴k=0,
∴抛物线的解析式是y=x2+x.
②∵点P、Q关于此抛物线的对称轴对称,
∴n1=n2.
又n1=m12+m1,n2=m22+m2.
∴m12+m1=m22+m2,
即(m1-m2)(m1+m2+1)=0.
∵P、Q是抛物上不同的点,
∴m1≠m2,即m1-m2≠0.
∴m1+m2+1=0
即m1+m2=-1.
点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.
四、能力自测习题讲解
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