资源描述
教案
教师：__________ 科目： __________ 学生：________ 上课时间：________
第三讲 一元一次方程
【本将教学内容】
一元一次方程的解法、应用
知识点：
1．等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.
2．方程：含未知数的等式，叫方程.
3．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！
4．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.
5．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
6．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.
7．一元一次方程的最简形式： ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.
8．一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… （检验方程的解）.
9．列一元一次方程解应用题：
（1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
（2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.
10．列方程解应用题的常用公式：
（1）行程问题： 距离=速度·时间 ， ， ；
（2）工程问题： 工作量=工效·工时， ， ；
（3）比率问题： 部分=全体·比率， ， ；
（4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度-水流速度；
（5）商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本， ；
（6）教育储蓄问题：
利息=本金×利率×期数；
本息和=本金＋利息=本金×（1＋利率×期数）；
利息税=利息×税率； 贷款利息=贷款数额×利率×期数
（7）周长、面积、体积问题：
C圆=2πR， S圆=πR2， S环形=π(R2-r2)， V圆柱=πR2h ， V圆锥=πR2h.
C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， V长方体=abc ， C正方形=4a， S正方形=a2，, V正方体=a3，
【例题精讲】
考点：方程概念
【例1】下列各式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；
（8）.哪些是一元一次方程？
解析：（6）、（8）是一元一次方程.（1）不是等式，更不是方程；（2）不含未知数；（3）化简后的系数为0；（4）在分母上出现，也不是一元一次方程；（5）未知数的最高次数是2，不是一次；（6）是；（7）是方程，但不是一元一次方程；（8）是.
【例2】已知方程是关于的一元一次方程，求满足的条件.
解析：（1）且，所以
【例3】已知是关于的一元一次方程，求的值.
解析：由题意可知该方程是一元一次方程，二次项的系数必为0，则，所以，而一次项系数不为0，则，所以.
考点：方程解法
【例4】求关于的一元一次方程的解.
解析：由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，有两种情况：
（1）当，即时，原方程可化为：，解得；
（2）当且时，即时，原方程可化为，
解得，综上所得或者.
【例5】已知关于的方程的解为，
求：的值.
解析：方程的解为，则有，求得，
.
【例6】已知方程的解为,则 .
解析：根据方程解的意义，把代入原方程，得，解这个关于的方程，得.
【例7】已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数=_______.
考点：解一元一次方程
(1)解基本类型的一元一次方程
解下列方程：
【例8】
解析：
【例9】
解析：从外到内逐渐去分母，同时消去括号可得：.
【例10】
解析：，则；即.
解析：去掉小括号，得：，，
，
（3）.用整体思想解一元一次方程
【例11】
解析： 原方程可化为：，
，
.
【例12】解方程：
解析：.
【例13】解方程：
解析：将方程同时扩大10倍，可得：，而后分别将原式的第一个式子分子、分母同时扩大100倍，第2个式子分子、分母同时扩大10倍，将系数变成整数 ，而后求解
(2)解含多层括号的一元一次方程
【例14】解方程：
解析：原方程可变为：，即，又，所以，即.
【例15】方程的解是_______．
解析：原方程可化为：，注意在运算过程中把视为一个整体，解得.
【例16】（北京市中考模拟试题）解方程
解析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，应用整体思想求解
去括号，移项，可解得 .
（4）.奇思妙想
【例17】解方程：
解析 ：
，
即有.
考点：一元一次方程解法综合
【例18】已知关于的方程，和方程有相同的解，求这个相同的解.
解析：由方程得到；
由方程得到；
则，得到，代入得到.
【例19】若关于的方程的解与方程的解相同，求的值.
解析：由得，所以.
【例20】 若是方程的解，
求代数式的值.
解析：
【精选练习】
、选择题
(6404)方程2x+1=0的解是（ ）
A． B． C． 2 D．－2
(6249)已知关于的方程的解是，则的值是（ ）．
Ａ.2 Ｂ．-2 Ｃ． Ｄ．-．
(5272)如果,那么等于:（ ）
(A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45
(5227)一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是（ ）
A、106元B、105元C、118元 D、108元
(4918)一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元。设这件上衣的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A.600×0.8-x=20 B.600×8-x=20 C.600×0.8=x-20 D.600×8=x-20
(2477)某商店选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克，混合成杂拌糖后出售，则这种杂拌糖平均每千克售价是（ ）
(A)２０元 (B)19.6元 (C)18.4元 (D)18元
(2476)甲、乙二人同时从A地出发，步行15千米到B地，甲比乙每小时多走1千
米，结果甲比乙早到半小时，则甲用了（ ）
(A)3小时 (B)2.5小时 (C)3.5小时 (D)2小时
(2475)某商店第一天售出全部货物的20％，第二天又售出余下货物的30％，结果还
剩下1.2万的货物，如果设原有货物价值x元，根据题意列方程，正确的是（ ）
(A)20%x-30%×(1-20%)x=1.2 (B)x-20%x-30%=1.2 (C)x-20%x-(1-30%)x=1.2 (D)x-20%x-(1-20%)×30%x=1.2
(2474) 一个正方体的棱长都增加2cm，这个正方体的体积就增加728cm3那么，原正方体的棱长是（ ）
(A)10cm (B)12cm (C)8cm (D)14cm
(2473) 一批电器原价每件60元，经过两次长涨价后，每件销售价72.6元，那么平均每次涨价（ ）
(A)８％ (B)９％ (C)１０％ (D)１２％
(2472) 一些同学外出照像，预计共需花费180元，后来又有5位同学参加进来，总费用不变，这样每人平均可以少分摊6元，那么原来有（ ）
(A)８个 (B)１０个 (C)１１个 (D)１５个
(2471) 一次测验，共有25道题目，评分标准是做对一道题得4分，做错一道题要倒扣1分，张宏做了全部试题，一共得了75分，那么张友做对了（ ）
(A)18题 (B)19题 (C)20题 (D)21题
(2349)若│x+1│+(y-2)2=0，则下列各式的值正确的是（ ）
(A)yx=2 (B)xy=-1 (C)y-x=1 (D) x·y=-2
(2312)以x=1为根的方程是（ ）
(A)x(x-1)-1=0 (B)x-2=3-2x
(C)3-2(x-1)=x-4 (D)3+2(x-1)=x+2
(1750)关于 x 的方程 2(x-1)-a=0 的根是3，则 a 的值为（ ）
（A）4 （B）-4 （C）5 （D） -5
二、填空题
(4592)已知关于y的方程的解y=3，则的值为_________。
(4591)已知与的值相等时，x=__________。
(6033)某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为 ．
(4549)一个篮球需要m元，买一人排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要 _______元.
(6441)苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克 元．
三、简答题
(5963)某石油进口国这几个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%。求这个月的石油价格相对上个月的增长率。
(1906) 若使关于x的方程m-2(x+1)=1的根是负数，求m的取值范围。
(2515)一次数学测验，共有20道选择题，评分办法是做对一道题得5分，答错一道题扣1分，不答不扣分，某同学有两道题没有答，问这位同学至少答对了多少题，成绩才能在80分以上？
(2516)要完成生产1188个零件的任务，如果按原计划的定额由16名工人来做则不能完成，如果每人多做2个，就可以超额完成任务，问原计划每人的定额是多少？
(5419)农科所向农民推荐渝江Ⅰ号和渝江Ⅱ号两种新型良种稻谷.在田间管理和土质相同的条件下，Ⅱ号稻谷单位面积的产量比Ⅰ号到谷低20%，但Ⅱ号稻谷的米质好，价格比Ⅰ号高.已知Ⅰ号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.
（1）当Ⅱ号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、图纸和面积相同的两块田丽分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同？
（2）去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷，且进行了相同的田间管理.收获后，小王把稻谷全部卖给国家.卖给国家时，Ⅱ号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克，Ⅰ号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖Ⅱ号稻谷比卖Ⅰ号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？
(5990)京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
(6426)我国政府从2007年起对职业中专在校学生给予生活补贴．每生每年补贴1500元．某市预计2008年职业中专在校生人数是2007年的1.2倍，且要在2007年的基础上增加投入600万元．2008年该市职业中专在校生有多少万人，补贴多少万元？
【中考回顾】
1. （2009年台湾） 动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元。某日动物园售出门票700张，共得29000元.设儿童票售出x张，依题意可列出下列哪一个一元一次方程式？( )
A．30x+50(700-x)=29000 B．50x+30(700-x)=29000
C．30x+50(700+x)=29000 D．50x+30(700+x)=29000 。
【关键词】列一元一次方程
【答案】A
2. （2009年台湾）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2、100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，求甲的容积为何？
A．1280cm3 B．2560cm3 C．3200cm3 D．4000cm3
【关键词】一元一次方程应用
【答案】C
甲
乙
3. （2009年吉林省）种饮料种饮料单价少1元，小峰买了2瓶种饮料和3瓶种饮料，一共花了13元，如果设种饮料单价为元/瓶，那么下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【关键词】一元一次方程
【答案】A
4. （2009年深圳市）班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（ ）
A．45元 B．90元 C．10元 D．100元
【关键词】一元一次方程的应用
【答案】B
5. (2009年安顺)已知关于的方程的解是，则的值是______________。
【关键词】方程的解
【答案】2
6. (2009年陕西省)一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润______元．
【关键词】打折销售
【答案】60
7. （2009年牡丹江）五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了 折优惠．
【关键词】一元一次方程的应用
【答案】九
8. (2009宁夏)某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为 元．
【关键词】一元一次方程
【答案】120
9. （2009年重庆）某公司销售A、B、C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的40%．由于受国际金融危机的影响，今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加 %．
【关键词】一元一次方程的应用
【答案】30．
10. （2009年宜宾） 2009年全国教育计划支出1980亿元，比2008年增加380亿元，则2009年全国教育经费增长率为 .
【关键词】增长率
【答案】23.75%.
11. （2009年衢州）据《衢州日报》2009年5月2日报道：“家电下乡”农民得实惠．村民小郑购买一台双门冰箱，在扣除13%的政府财政补贴后，再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元，实际只花了1 726.13元钱，那么他购买这台冰箱节省了 元钱．
【关键词】一元一次方程的应用
【答案】372.87
12. (2009年牡丹江市)五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了 折优惠．
【关键词】一元一次方程的应用
【答案】九
13. （2009年泸州）某商店一套服装的进价为200元，若按标价的80％销售可获利72元，则该服装的标价为 _ 元．
【关键词】一元一次方程。
【答案】340
14. (2009年安顺)在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
（1） 小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2） 请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由。
【关键词】一元一次方程的应用
【答案】（1）设成人人数为x人，则学生人数为(12-x)人. 则
35x + （12 –x）= 350
解得：x = 8
故：学生人数为12 – 8 = 4 人, 成人人数为8人.
（2）如果买团体票，按16人计算，共需费用：
35×0.6×16 = 336元
336﹤350 所以，购团体票更省钱。
答：有成人8人，学生4人；购团体票更省钱。
15. （2009年日照）为了贯彻落实国务院关于促进家电下乡的指示精神，有关部门自2007年12月底起进行了家电下乡试点，对、冰箱（含）、手机三大类产品给予产品销售价格13%的财政资金直补．企业数据显示，截至2008年12月底,试点产品已销售350万台（部），销售额达50亿元，与上年同期相比，试点产品家电销售量增长了40%．
（1）求2007年同期试点产品类家电销售量为多少万台（部）？
（2）如果销售家电的平均价格为：彩电每台1500元，冰箱每台2000元，手机每部800元，已知销售的冰箱（含冰柜）数量是彩电数量的倍，求彩电、冰箱、三大类产品分别销售多少万台（部），并计算获得的政府补贴分别为多少万元？
【关键词】一元一次方程的应用
【答案】（1）2007年销量为a万台，则a(1+40%)=350，a =250（万台）．
（2）设销售彩电x万台，则销售冰箱 x万台，销售手机(350- x-x)万台．由题意得：
1500x+2000·x +800·(350- x-x)=500000． 解得x＝88．
所以，彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品分别销售88万台、132万台、130万部．
∴ 88×1500×13%=17160（万元），132×2000×13%=34320（万元），
130×800×13%=13520（万元）．
获得的政府补贴分别是17160万元、34320万元、13520万元．
16. （2009年福州）整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作。假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
【关键词】一元一次方程的应用
【答案】设先安排整理的人员有x人，依题意得，
.
解得x＝１０．
答：先安排整理的人员有１０人．
17. （2009年宜宾）某城市按以下规定收取每月的水费：用水量不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费。如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？
【关键词】一元一次方程的应用
【答案】设该用户5月份用水x吨,根据题意,得
1.4x=6×1.2+2(x-6).
解这个方程,得x=8.
所以8×1.4=11.2
答: 该用户5月份应交水费11.2元.
18. （2009年娄底）为了加快社会主义新农村建设，让农民享受改革开放30年取得的成果，党中央、国务院决定：凡农民购买家电和摩托车享受政府13%的补贴（凭购物发票到乡镇财政所按13%领取补贴）. 星星村李伯伯家今年购买了一台彩电和一辆摩托车共花去6000元，且该辆摩托车的单价比所买彩电的单价的2倍还多600元.
（1）李伯伯可以到乡财政所领到的补贴是多少元？
（2）求李伯伯家所买的摩托车与彩电的单价各是多少元？
【关键词】应用
【答案】
解：（1）6000×13%=780
答：李伯伯可以从政府领到补贴780元
（2）方法一：设彩电的单价为x元/台
x+2x+600=6000
3x=5400
x=1800
2x+600=2×1800+600=4200
答：彩电与摩托车的单价分别为1800元/台、4200元/辆
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