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第三章 图形的平移与旋转
1.通过具体实例认识平移,探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
2.认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用.
3.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.
4.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化.
5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转,探索它的基本性质:一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等.
6.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质:成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分.
7.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
8.运用图形的平移、旋转、轴对称进行图案设计.
1.经历有关平移与旋转的观察、操作、欣赏和设计的过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念.
2.经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观.
3.通过具体实例认识平移与旋转,探索它们的基本性质,会进行简单的平移、旋转画图.
4.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.
5.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化.
6.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质.
1.在研究平移与旋转的过程中,进一步发展空间观念.
2.认识并欣赏平移、旋转在自然界和现实生活中的应用,认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
在前面的学习中学生已对诸如翻折、平移、旋转、轴对称等知识有了一定的认识与理解,只是平移和旋转的知识没有正式出现罢了,但这些变换的意识学生已经有了.学生学习了本章知识后对平移与旋转以及轴对称这三种常用的全等变换有了系统的认识,但学生把握这些全等变换的能力有待提升,特别是对组合图案的形成过程的分析是学生把握不好的地方,应加强训练.
立足于学生已有的生活经验和初步的数学活动经验,首先从观察生活中的平移、旋转现象开始,直观的认识平移、旋转,并在此基础上,分析生活中的平移现象和旋转现象各自的规律,得到平移和旋转的基本性质;然后利用平移和旋转的基本性质进行简单的平移作图、旋转作图,通过分析简单平面图形的平移、旋转等变化关系,进一步体会平移、旋转的应用价值和丰富内涵;最后,通过简单的图案设计,将图形的平移、旋转、轴对称融合在图案的欣赏和设计活动中.
具体地,教科书设计了4节内容:第1节“图形的平移”,立足于学生小学阶段的学习基础和已有的生活经验,通过分析各种平移现象的共性,直观地认识平移,探索平面图形平移的基本性质,利用平移的基本特征研究简单的平移画图.在此基础上,进一步研究沿坐标轴方向平移后的图形与原图形对应点坐标之间的关系,探索依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来图形之间的关系.第2节“图形的旋转”,通过具体活动认识平面图形的旋转,探索平面图形旋转的基本性质,利用旋转的基本特征研究简单的旋转画图.第3节“中心对称”,认识中心对称,探索成中心对称的基本性质,利用中心对称的基本特征研究中心对称的画图,认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.第4节“简单的图案设计”,将图形的平移、旋转、轴对称融合在图案的欣赏和设计活动之中.
应当指出的是,本章不同于变换几何中的平移、旋转变换,而是先通过观察具体的平移、旋转现象,分析、归纳并概括出平移、旋转的整体规律和基本性质,然后在平移和旋转的图案设计、欣赏、简单应用中,进一步深化对图形的三种基本变换的理解和认识.
【重点】
1.平移的定义.
2.平移的性质及应用.
3.简单的平移作图.
4.旋转的定义.
5.旋转的性质及应用.
6.简单的旋转作图.
7.中心对称和中心对称图形.
【难点】
1.平移作图.
2.旋转作图.
3.中心对称和中心对称图形的区别和联系.
4.利用平移、旋转、轴对称进行简单的图案设计.
1.着眼于发展学生的空间观念.
使学生具备良好的空间观念是义务教育阶段数学教育的一个重要目标,培养学生的空间观念必须使学生经历、体验图形运动变化的过程,本章所研究的平移、旋转及中心对称是反映空间观念的重要内容.为此,教科书设计了一系列的实验、探索活动,如“探索平移基本性质的实验活动”“探索旋转基本性质的实验活动”“探索中心对称基本性质的实验活动”及“图形平移与坐标变化的关系的探索活动”“简单的图案设计活动”等.
在这些活动中,学生将会想象物体与物体之间的位置关系,描述图形的运动和变化,依据语言的描述画出图形等,所有这些都是空间观念的重要表现.因此,教师应想方设法鼓励学生积极参与这些活动,通过观察、操作、归纳、猜想、交流等获得结论,并运用自己的语言描述探索过程和所得到的结论,发展空间观念.
需要指出的是,培养空间观念是一种个人体验,需要大量的实践活动,以被动听讲和练习为主的方式,是难以形成空间观念的.学生要有充分的时间和空间观察、动手操作,对周围环境和实物产生直接感知,这些都不仅需要自主探索、亲身实践,更离不开大家一起动手、共同参与.观察、操作、归纳、类比、猜想、直观思考等对形成空间观念具有重要作用,只有在学生共同探讨、合作解决问题的过程中才能不断生成和发展,并得到提升.
2.重视学生的观察、操作、探索和交流活动.
教师创设情境、设计问题,引导学生自主探索、合作交流,让学生经历观察、操作、探索和交流的过程,能有效地激发学生的思考,有助于真正落实学生在学习活动中的主体地位,有助于学生理解和掌握基本知识和基本技能,同时也有助于学生感悟数学思想,积累数学活动经验.
本章有许多内容需要学生对图形进行观察、操作、探索和交流,教学时不宜用教师的课堂讲解和演示代替学生的动手操作、主动探究与讨论交流.例如,有关平移、旋转的性质,教科书都设计了相应的实验过程,力图让学生通过动手操作,配合直观的观察和理性的思考探索相关的结论.教学时可以让学生分组进行,每组选用的图形形状可以不同,每次变化的方式也可以不同.学生的这些实验结果为接下来进行的抽象概括提供了很好的素材.在此基础上,全班交流,概括出图形变化(平移、旋转)的基本性质.在这一过程中,学生的手、眼、脑等多种感官都能得到较为充分的运用,既有助于学生理解和掌握相关知识的内涵,也可以使学生在做的过程和思考的过程中积累一定的数学活动经验,并逐步感悟其中所蕴含的数学思想.
3.创造性地利用与图形平移、旋转有关的资源进行教学.
在教学中,教师应根据学生实际、教学实际和当地实际,充分挖掘和利用现实生活中大量存在的平移、旋转及中心对称现象,尤其是具有地方特色的素材(如北方地区的雪橇、辘轳,农村地区的水车、石碾、风车,城市里的缆车、电梯等),并引导学生对其中的一些共同特征加以分析、总结.
4.合理运用现代信息技术,注重教学手段的多样化.
本章主要研究图形的变化,对图形的动态展示的要求更为强烈.因此,在条件允许的情况下,教学中都应合理运用现代信息技术,注重信息技术与本章内容的整合,以便有效地改变教与学的方式,提高课堂教学的效率.
需要说明的是,现代信息技术真正的价值在于实现原有的教学手段难以达到的甚至达不到的效果,它不应、也不可能完全替代常规的教学手段.例如,教师可以在学生动手实践的基础上,借助计算机、多媒体向学生展示更加丰富的几何图形的运动变化过程,这样不仅为学生理解和掌握相关知识提供形象的支持,有利于增强学生的空间观念,同时也可以让学生获得视觉上的愉悦,增强好奇心,激发学习兴趣.但不能用计算机、多媒体的演示完全取代学生的动手操作活动.
5.关注学生情感态度的发展.
教师要把落实情感态度的目标作为自己的责任和义务,努力把情感态度目标有机地融合在本章教学过程之中.例如,在设计教学方案、进行课堂教学活动时,应当经常考虑如下问题:如何引导学生积极参与教学过程?如何组织学生观察、操作、探索、归纳?如何使学生愿意学、喜欢学,对本章内容感兴趣?如何让学生体验成功的喜悦,从而增强学好本章内容的自信心?如何引导学生善于与同伴合作交流,既能理解、尊重他人的意见,又能独立思考、大胆质疑?如何培养学生良好的学习习惯?
1 图形的平移
3课时
2 图形的旋转
2课时
3 中心对称
1课时
4 简单的图案设计
1课时
回顾与思考
1课时
1 图形的平移
1.通过具体实例认识平移,理解平移的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
2.通过“变化的鱼”探究横向(或纵向)平移一次,其坐标变化的规律,认识图形变换与坐标之间的内在联系.
1.经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程,探索图形平移的基本性质.
2.经历沿x轴、y轴方向和综合方向平移时位置和数量的关系,通过观察、分析以及抽象、概括等过程,发现平移时坐标变化的特点.
通过收集自己身边“平移”的实例,感受“生活处处有数学”,激发学生学习数学的兴趣;通过欣赏生活中图形平移的现象与学生自己设计的平移图案,使学生感受数学的美.
【重点】 探索和理解平移的基本性质.
【难点】 坐标变换和图形平移的关系.
第课时
1.认识平移,说出平移的定义,理解平移的基本内涵.
2.理解并能说出平移的性质,即一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
1.经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程,探索图形平移的基本性质.
2.感悟平移前后图形的变化,从点、线、角、位置、大小等不同角度说出平移前后图形的变化关系.
通过探究,归纳平移的定义、特征、性质,积累数学活动经验,进一步发展空间观念,增强空间想象力.
【重点】
1.认识平移在现实生活中的广泛应用.
2.探索和理解平移的基本性质.
【难点】 平移基本性质的探索和理解.
【教师准备】 实际生活中的平移图片.
【学生准备】 复习翻折、平移、旋转、轴对称等知识.
导入一:
1.同学们,你们小时候去过游乐园吗?在游乐园中你们玩过哪些游乐项目?在玩这些游乐项目时你们想过什么?你们想过它里面蕴含着数学知识吗?
2.找一找这些项目中,哪些项目的运动形式是一样的,观看游乐园内的一些项目,引出第三章内容,并进行初步分类,引出本节课研究内容:板书课题——图形的平移.
[设计意图] 由学生喜闻乐见的游乐场引入课题,容易激发学生的学习兴趣.
导入二:
请你判断: 小明跟着妈妈乘观光电梯上楼,一会儿,小明兴奋地大叫起来:“妈妈!妈妈!你看我长高了!我比对面的大楼还要高!”小明说的对吗?为什么?
[设计意图] 较好地发挥了“情景导入”的作用,却又找不到足够的理由说服持有不同观点的同学.此情此景,在好奇心的驱动之下,学生欲罢不能,很容易就产生了继续学习、探索新知识的欲望.
导入三:
请大家仔细观察如图所示的图案,你觉得漂亮吗?这个图案的特点是由一个“基本图案”通过平移得到的,你能找到这个“基本图案”吗?这节内容我们就来研究一种几何变换——平移.
一、平移的定义
[过渡语] (针对导入三)刚才我们看到的美丽图案,它是由12个完全一样的图形组成的,这个图案可以看成是由一个基本图形按照一定方式移动得到的.这样的图形运动称作什么呢?这就是我们本课时要研究的——图形的平移.
思路一
(1)我们再来感受一下平移.
上面我们提到的游乐场中的滑梯等,你们在上面玩耍的时候,哪些方面是不变的?哪些方面是变化的?
(2)什么是平移呢?
引导学生探讨并在班内交流,达成共识后,得出平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.
[设计意图] 引导学生通过观察,发现图形间的变化规律,得出平移的定义.
思路二
教师通过多媒体展示(展示画面)现实生活中平移的具体实例:
(1)箱子在传送带上移动的过程.
(2)手扶电梯上人移动的过程.
教师提问:
① 你能发现传送带上的箱子、手扶电梯上的人在移动前后什么没有改变,什么发生了改变吗?
② 在传送带上,如果箱子的某一部分向前移动了80 cm,那么箱子的其他部位向什么方向移动?移动了多少距离?
学生自由发言,各抒己见.
平移前后两个图形的形状和大小没有改变,位置发生了改变.
根据上述分析,你能说明什么样的图形运动称为平移吗?
平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.
平移三要素: 基本图形,平移方向,平移距离.
[设计意图] 数学来源于实际生活,使学生感受到生活中处处有数学.利用课本上的两个实例,进一步感受平移的实质,渗透平移的三要素,即“基本图形、平移方向、平移距离”.
如图所示,△ABC经过平移得到△A'B'C'.
我们把点A与点A'叫做对应点,线段AB与线段A'B'叫做对应线段,∠A与∠A'叫做对应角.
此时:
点B的对应点是点 B' ;
点C的对应点是点 C' ;
线段AC的对应线段是线段 A'C' ;
线段BC的对应线段是线段 B'C' ;
∠B的对应角是 ∠B' ;
∠C的对应角是 ∠C' .
△ABC平移的方向就是由点B到点B'的方向,平移的距离就是线段BB'的长度.
二、平移的性质
[过渡语] 一个图形和它经过平移所得到的图形中,对应点所连的线段有什么关系,对应线段和对应角有什么关系?
用多媒体演示图形的平移过程,让学生通过对图形平移现象的观察,探索其中的性质.
同学们通过刚才的观察,总结出一个结论,即:“图形的位置改变了,但形状和大小没有改变”.现在我们一起来探索:平移前后对应点、对应线段以及对应角之间在做怎样的变化.
教师提出问题:
想一想,将左图的四边形硬纸片按某一方向平移一定的距离,右图画出了平移前的四边形ABCD和平移后的四边形EFGH.
问题:(1)在上图中,线段AE,BF,CG,DH有怎样的关系?
(2)图中每对对应线段之间有怎样的关系?
(3)图中有哪些相等的线段、相等的角?
学生分成四人一组,共同探讨平移的性质.
讨论分析:
①变换前后对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.平移变换是图形的每一个点的变换,一个图形沿某个方向移动一定距离,那么每一个点也沿着这个方向移动相同距离,所以对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.
②变换前后的图形全等.平移变换是由一个图形沿着某个方向移动一定距离,所以平移前后的图形是全等的.
③变换前后对应角相等.
④变换前后对应线段平行(或在一条直线上)且相等.
学生归纳总结,教师板书平移的性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
[设计意图] 这个活动是探索平移的性质,对学生有点难度,通过设置问题的回答,使学生直接观察得出性质.操作性强又富有挑战性的数学活动,激发了学生学习的兴趣,对平移的基本内涵和基本性质这两个重点,学生能掌握得更好.
三、例题讲解
[过渡语] 刚才我们了解了平移的相关概念和平移的基本性质,我们能用学到的知识解答一些问题吗?
(补充例题)如图(1)所示,经过平移,△ABC的顶点A移到了点D.
(1)指出平移的方向和平移的距离;
(2)画出平移后的三角形;
(3)请在图(2)中找出平行且相等的线段,以及相等的角(找出对应角即可).
解:(1)如图(2)所示,连接AD,平移的方向是点A到点D的方向,平移的距离是线段AD的长度.
(2)如图(2)所示,分别过点B,C按射线AD的方向作线段BE,CF,使得它们与线段AD平行且相等,连接DE,DF,EF,△DEF就是△ABC平移后的图形.
(3)图中平行且相等的线段有:AB与DE,BC与EF,AC与DF,AD与BE,AD与CF,BE与CF;相等的角有:∠BAC与∠EDF, ∠ABC与∠DEF, ∠ACB与∠DFE.
[设计意图] 让学生进一步体会确定平移的两个要素:平移的方向和平移的距离,加深对平移性质的理解和应用.
[知识拓展] 平移作图.
平移作图是平移基本性质的应用,利用平移可以得到许多美丽的图案.在具体作图时,应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连.
(1)定:确定平移的方向和距离;
(2)找:找出表示图形的关键点;
(3)移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点;
(4)连:按原图形顺序连接对应点.
说明:平移作图实际上是平移基本性质的实际应用.
注意:
(1)平移作图的方法是由平移的性质而来,但必须注意两个条件,一是平移的方向,二是平移的距离.
(2)平移的作图要抓住以下几个特征:①平移前后对应点连线平行(或共线)且相等.②对应线段平行(或共线)且相等.③对应角相等.
1.平移是运动的一种形式,是图形变换的一种.
2.图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向;二是图形平移的距离.这两个要素是图形平移的依据.
3.图形的平移是指图形整体的平移.经过平移后的图形与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的形状和大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.
1.下列运动属于平移的是 ( )
A.急刹车时汽车在地面上的滑动
B.冷水加热中,小气泡上升为大气泡
C.随风飘动的风筝在空中的运动
D.随手抛出的彩球的运动
解析:A中汽车向前滑动,方向和大小都没有改变,属于平移;B中气泡大小发生了变化,不属于平移;C中风筝在空气中运动方向不断变化,不属于平移;D中彩球运动方向不能确定.故选A.
2.如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,下列图形中可由三角形OBC平移得到的是 ( )
A.三角形OCD B.三角形OAB
C.三角形FAO D.以上都不对
解析:根据平移的定义与特征知,平移后图形的形状、大小不改变,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等,三角形OBC是等边三角形,与其他五个三角形的形状、大小相同,关键是看其他三角形的对应边是否符合平移的特征.故选C.
3.如图所示的四个小三角形都是等边三角形,边长都为1 cm,能通过平移三角形ABC得到三角形FAE和三角形ECD吗?若能,请指出平移的方向和平移的距离.
解析:三角形FAE与三角形ABC都是等边三角形,则有AF=BA=BC=AE=FE=AC,满足平移后图形的大小和形状不变.平移的方向为点A到点F的方向,平移的距离为AF的长度(1 cm).同理可得△ABC与△ECD的关系.
解:能.三角形ABC平移到三角形FAE的平移方向为点A到点F的方向,平移的距离为1 cm;
三角形ABC平移到三角形ECD的平移方向为点A到点E的方向,平移的距离为1 cm.
4.如图所示,图形ABCD平移到图形EFGH,试根据该图,回答下列问题.
(1)在图中,线段AE与BF,CG与DH有怎样的位置关系?
(2)图中线段AB与EF,AD与EH有怎样的位置关系?
(3)说出图中相等的角(说出对应角即可).
解析:AE,BF,CG,DH是对应点所连的线段,AB与EF,AD与EH是对应线段,由平移的特征可知它们的位置关系是平行.对应角相等.
解:(1)平行.
(2)平行.
(3)∠BAD=∠FEH,∠ADC=∠EHG,∠DCB=∠HGF,∠ABC=∠EFG.
5.经过平移,三角形ABC的边AB移到了A'B',作出平移后的三角形A'B'C'.
解析:本题已知原图形和平移后的一条线段,就相当于已知原图形和平移的方向、平移的距离,所以根据平移前后两三角形全等可以作出平移后的三角形,具体的作法有很多种.
解法1:如图(1)所示,分别过点A',B',作出与AC,BC平行且相等的线段A'C',B'C',两条线段相交于点C',三角形A'B'C'即为所求.
解法2:如图(2)所示,分别以A',B'为圆心,以线段AC,BC的长为半径画弧,交于点C',连接A'C',B'C'即得△A'B'C'.
解法3:如图(3)所示,连接AA',过点C按照射线AA'的方向作射线CC',使CC'∥AA'并截取CC'=AA',则连接A'C',B'C'所得的三角形A'B'C'即为所求作的三角形.
第1课时
一、平移的定义
二、平移的性质
三、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第67页习题3.1的1,2题.
【选做题】
教材第68页习题3.1的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的是 ( )
A.两个全等的图形可看做其中一个是由另一个平移得到的
B.由平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线)
C.由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等,但面积未必相等
D.边长相等的两个正方形一定可以通过平移得到
2.如图所示,下列每组图形中的两个三角形不是通过平移得到的是 ( )
3.下列现象:①电风扇的转动;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④传送带上瓶装饮料的移动.其中属于平移的是 .
【能力提升】
4.如图所示,一张白色正方形纸片的边长是10 cm,被两张宽为2 cm的阴影纸条分为四个白色的长方形部分,请你利用平移的知识求出图中白色部分的面积.
5.如图所示,AD∥BC,∠ABC=80°,∠BCD=50°,利用平移的知识讨论BC与AD+AB的数量关系.
6.如图所示,将Rt△ABC沿直角边AB的方向向右平移2个单位长度得到△DEF,如果BG=CG,AB=4,∠ABC=90°,且△ABC的面积为6,求图中阴影部分的面积.
7.如图所示,△ABC沿射线MN方向平移一定距离后成为△A'B'C'.找出图中相等的线段以及全等的三角形.
8.A,B两点间有一条传输速度为每分钟5米的传送带,由A点向B点传送货物.一只蚂蚁不小心爬到了传送带上,它以每分钟1.5米的速度从A点爬向B点,3分钟后,蚂蚁爬到了B点,你能求出A,B两点间的距离吗?
【拓展探究】
9.如图所示,∠BAC=30°,∠B'A'C'=45°,且AB∥A'B',直线AC与直线A'C'相交于点O,求∠COC''的度数.
10.如图所示,有一条光滑曲线,画出将它沿数轴向左平移2个单位长度后的图形.
【答案与解析】
1.B(解析:全等的图形不一定能通过平移得到,故A错;由平移的性质知平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线),故B正确;由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等,面积也相等,故C错;边长相等的两个正方形不一定能通过平移得到,故D错.)
2.B(解析:由平移的性质可知,A,C,D均可通过平移得到,B不能通过平移得到.故选B.)
3.②④(解析:根据平移的定义,②打气筒打气时,活塞的运动,④传送带上瓶装饮料的移动属于平移,
而①电风扇的转动,③钟摆的摆动属于旋转.)
4.解:把图中的阴影部分平移到正方形纸片相邻的两边上,这时图中的四个白色长方形变成了一个正方形,边长为10-2=8(cm),所以面积为82=64(cm2),故图中白色部分的面积为64 cm2.
5.解:如图所示,由于AD∥BC,所以可平移AB到DE的位置(即过点D作DE∥AB交BC于点E),则AD=BE,∠DEC=∠ABC=80°,在△DEC中,由于∠BCD=50°,所以∠CDE=∠BCD=50°,因此DE=EC,所以BC=BE+EC=AD+DE=AD+AB.
6.解:因为S△ABC=AB·BC=6,且AB=4,所以BC=3,所以BG=,所以S△BDG=BD·BG=×2×=.即阴影部分的面积为.
7.解:由平移的性质可知,对应点所连的线段相等,即AA'=BB'=CC';对应边相等,即AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'.平移不改变图形的形状和大小,故△ABC≌△A'B'C'.
8.解:能.(5+1.5)×3=19.5(米).答:A,B两点间的距离为19.5米.
9.解:如图所示,沿直线CO方向平移∠CAB,使点A与点O重合,平移后得到的角为∠COD.又AB∥A'B',所以A'B'∥OD,故也可以看做∠B'A'C'平移为∠DOC',由图形平移的特征知∠COD=∠CAB,∠DOC'=∠B'A'C',所以∠COC'=∠COD+∠DOC'=∠CAB+∠B'A'C'=30°+45°=75°.
10.解:①确定曲线上的五个特殊点,其中A,C,E是曲线与数轴的交点,B,D分别是曲线的最高点和最低点;②将五个特殊点沿数轴向左平移2个单位长度;③用光滑的曲线连接五个特殊点,如图所示.
本节课以观看游乐园内的一些项目,创设了在学生已有的知识经验基础上的情境,引出第三章内容,激起学生的求知欲,再以学生熟悉的几个事例引出本节课的研究内容:图形的平移.学生分小组讨论,教师通过课件演示,学生在观察、探索的基础上归纳出平移的定义、特征、性质.这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会,又体现了学生是数学学习的主体的理念.
在小组讨论之前,没有留给学生充分的独立思考的时间,让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.
教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性.
随堂练习(教材第67页)
解:平移线段AB能够与CD重合;平移线段AB不能与EF重合.
习题3.1(教材第67页)
1.解:给出以下两种画法:①依据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行,作ED∥AC,FD∥BC,ED与FD交于点D,则△EFD即为所求作的三角形,如图(1)所示.②根据平移后对应点所连的
图(1)
线段平行(或在一条直线上)且相等,连接AE,作CD∥AE,且CD=AE,连接DE,则△DEF即为所求作的三角形,如图(2)所示.
图(2)
2.解:所作图形如图所示.
3.解:所作图形如图所示.
4.解:不是平移,因为10.8≠11.1=11.1≠11.2,移动的距离不相等,所以不是平移.
5.解:如图所示,从A,B两点延长△ABC的另外两边,交点即是点C的位置.对于E点,连接AD,过B作线段BEAD,即可确定点E的位置,再连接D,E,F即可得到△DEF.
下图是由一个正方形向右平移若干次得到的图案,那么第n个图案中正方形的个数是多少?
解:当n=1时,正方形向右平移一次,正方形的个数为3;
当n=2时,正方形向右平移两次,其中第二次平移后比第一次平移多出了4个正方形,正方形的个数为3+4=7;
当n=3时,正方形向右平移三次,后两次平移中每一次都要比前一次多出4个正方形,正方形的个数为3+2×4=11……
由此可得,第n个图案中正方形的个数为3+4(n-1)=4n-1.
[解题策略] 根据图形找规律,要学会运用“由特殊到一般,由一般到特殊”的数学思想.
如图所示,图形的相邻两边均互相垂直,则这个图形的周长是 ( )
A.21 B.26 C.37 D.42
〔解析〕 若要求此不规则图形的周长,感觉有些难度,但若考虑将图形中的阶梯线条向外围平移,就可以得到一个长为16,宽为5的长方形,则此图形的周长是(16+5)×2=42.故选D.
[解题策略] 本题若分步计算根本无法求出其周长,但采用“平移”的手段从整体上把握,问题便迅速获解.
易错点 对平移的概念理解不透导致错误
下列运动:①海浪的运动;②屏幕上一串移动的字幕;③被投掷出去的铅球的运动;④沿圆形跑道跑步的运动员.其中属于平移的有 .(填写序号)
错解:①②③④
错因分析:本题之所以出错,是因为忽略了平移需具备的两个基本条件:①在同一个平面内;②沿某个方向.①③④没有按同一方向运动.
正解:②
思路分析:决定平移的条件是平移的方向和距离,不能忽略其中任何一点.
易错点 对平移的距离理解出错
请你在如图所示的方格纸中将箭头图形向右平移4格,画出平移后的图形.
错解:如图所示.
错因分析:平移的距离是指平移前后的两个图形任意两个对应点之间的距离,错解误认为平移前后两个图形相距4个格,而实际上是平移前后对应点相距4个格.
正解:分别平移几个关键点,然后将对应的关键点进行连线,如图所示.
思路分析:平移4个格是指对应点之间的距离为4个格的长度,而不是两个图形之间相距4个格.
易错点 找错基本图形导致出错
下图中,可看做由基本图形平移得到的是 ( )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
错解:D
错因分析:平移常与其他的位置变换(如旋转、对称等)放在一起,不能认为只要图形的形状、大小没有变化,就是平移.除了形状、大小以外,还要考虑平移的方向.
正解:C
思路分析:图形在平移过程中,除了形状、大小不变以外,图形各个部分所在的方位也始终不变.
第课时
1.进一步理解平移的意义和平移的性质.
2.通过“变化的鱼”探究横向(或纵向)平移一次,其坐标变化的规律,认识图形变换与坐标之间的内在联系.
3.理解并掌握图形平移在平面直角坐标系中的坐标变化规律,即:向右平移几,就是横坐标加几;向左平移几,就是横坐标减几;向上平移几,就是纵坐标加几;向下平移几,就是纵坐标减几.
1.经历探究图形平移在平面直角坐标系中的坐标的变化规律.
2.在活动过程中,提高学生的探究能力.
1.感悟图形的平移在平面直角坐标系中研究起来更加的方便和直观.
2.通过收集自己身边“平移”的实例,感受“生活处处有数学”,激发学生学习数学的兴趣.
【重点】 理解和掌握直角坐标系中图形的坐标变化规律,即:向右平移几,就是横坐标加几;向左平移几,就是横坐标减几;向上平移几,就是纵坐标加几;向下平移几,就是纵坐标减几.
【难点】 对图形平移在平面直角坐标系中的坐标变化规律的探究.
【教师准备】 网格纸.
【学生准备】 复习平移的定义和性质.
导入一:
1.什么是平移?
2.平移的性质又是什么?
[设计意图] 用提问的方式检查学生上节课学习的效果,同时引出本节课.
导入二:
如图所示的“鱼”是将坐标为(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)的点用线段依次连接而成的.将这条“鱼”向右平移5个单位长度.
(1)画出平移后的新“鱼”.
(2)在图中尽量多选取几组对应点,并将它们的坐标填入下表:
原来的“鱼”
( , )
( , )
( , )
…
向右平移5个单位长度后的新“鱼”
( , )
( , )
( , )
…
(3)你发现对应点的坐标之间有什么关系?
如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度呢?请你先想一想,然后再具体做一做.
分析:本例采用“鱼”作为研究对象,主要考虑:①它是直线型;②相对于三角形、四边形等,它具有一般性.问题(2)采用列表的方式,可以使学生更清楚地看出其中的规律.
解答:(1)画图略.
(2)填表如下:
原来的“鱼”
(0,0)
(3,0)
(5,4)
…
向右平移5个单位长度后的新“鱼”
(5,0)
(8,0)
(10,4)
…
(3)平移后的点与平移前的对应点相比,纵坐标没变,横坐标分别增加了5.
如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度,那么平移后的点与平移前的对应点相比,纵坐标没变,横坐标分别减少了4.
教学时还可以改变平移距离,让学生多试一试,以丰富其感性认识.
[设计意图] 通过一条“鱼”的平移,探究“鱼”横向或纵向平移一次的坐标变化,进一步感受平移的实质,渗透平移的三要素,即“基本图形、平移方向、平移距离”.
坐标系中的平移变换
[过渡语] 刚才我们借助平面直角坐标系内一条“鱼”的平移,初步研究了平移后对应点坐标变化的规律.是不是这条“鱼”平移后所有的对应点坐标变化规律都是一样的?是不是任意一个图形在直角坐标系内平移后,所有的对应点坐标变化规律都是一样的?
1.想一想
如果将上题中的“鱼”向上平移3个单位长度,那么平移前后的两条“鱼”中,对应点的坐标之间有什么关系?如果将上题中的“鱼”向下平移2个单位长度呢?
分析:“想一想”呈现了“鱼”上下平移的情形,对此,多数学生应该可以类比左右平移的情形猜测出相关的结论.
如果将上题中的“鱼”向上平移3个单位长度,那么平移前后的对应点相比,横坐标没变,纵坐标分别增加了3;如果将上题中的“鱼”向下平移2个单位长度,横坐标没变,纵坐标分别减少了2.
2.做一做
(1)将上题中的“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别加3,再将得到的点用线段依次连接起来,从而画出一条新“鱼”.这条新“鱼”与原来的“鱼”相比有什么变化?如果纵坐标保持不变,横坐标分别减2呢?
(2)将上题中的“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变,纵坐标分别加3,所得到的新“鱼”与原来的“鱼”相比又有什么变化?如果横坐标保持不变,纵坐标分别减2呢?
分析:反过来,研究坐标变化引起的图形变化规律.问题(1)研究横坐标增减引起图形变化的规律,问题(2)则研究纵坐标增减引起图形变化的规律.
(1)新“鱼”与原来的“鱼”相比,形状、大小相同,只是位置发生了变化:向右平移了3个单位长度.如果纵坐标保持不变,横坐标分别减2,那么新“鱼”与原来的“鱼”相比,形状、大小相同,只是位置发生了变化:向左平移了2个单位长度.
(2)新“鱼”与原来的“鱼”相比,形状、大小相同,只是位置发生了变化:向上平移了3个单位长度.如果横坐标保持不变,纵坐标分别减2,那么新“鱼”与原来的“鱼”相比,形状、大小相同,只是位置发生了变化:向下平移了2个单位长度.
3.议一议
在平面直角坐标系中,一个图形沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度后的图形与原图形对应点的坐标之间有什么关系?如果图形沿y轴方向平移a(a>0)个单位长度呢?与同伴交流.
分析:通过“议一议”让学生梳理一下前面的研究成果,归纳出沿坐标轴方向平移后的图形与原图形对应点之间的关系.
归纳总结如下:
设(x,y)是原图形上的一点,经过平移后,这个点与其对应点的坐标之间有如下关系:
平移方向
平移距离
对应点的坐标
沿x轴方向
向右平移
a个单位长
度(a>0)
(x+a,y)
向左平移
(x-a,y)
沿y轴方向
向上平移
(x,y+a)
向下平移
(x,y-a)
[设计意图] 这一环节继续探索平移的坐标特征,由于涉及一般情况,含有字母表示,对学生有点难度,可通过设置问题的回答,使学生直接观察得出结果,开发学生利用已有知识,主动进行新知探究.
[知识拓展] 利用平移计算面积.
如图所示,长方形ABCD中,横向阴影部分是长方形,另一阴影部分是平行四边形.依照图中标注的数据,计算空白部分的面积.
我们最容易想到的办法可能是:先算出图中阴影部分的面积,再用总的面积减去它;但是如果我们将四个空白部分集中到一起,组成一个新的图形,就可以直接计算其
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