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15．3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质及应用
1．使学生了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质．
2．通过探索等腰三角形的性质，使学生进一步经历观察、实验、推理、交流等活动．
3．使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的度数．
4．通过例题教学，帮助学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法．
重点
等腰三角形的性质及应用．
难点
等腰三角形的性质及应用．
一、创设情境，导入新课
1．让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰三角形？
△ABC中，如果有两边AB＝AC，那么它是等腰三角形．
2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象？
二、合作交流，探究新知
(一)引导学生完成“探究”．
1.指出△ABC的腰、顶角、底角．
相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠BAC叫做顶角，腰和底边的夹角∠ABC，∠ACB叫做底角．
2.实验．
现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD，如图所示，你能发现什么现象吗？请你尽可能多地写出结论．
可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论：
(1)等腰三角形是轴对称图形．
(2)∠B＝∠C.
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线．
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线．
(5)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线．
结论(2)用文字如何表述？
等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”．
结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归纳为什么？
等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合，简称“三线合一”．
(二)等边三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
等边三角形具有什么性质呢？
1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想．
2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的？
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝∠C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.
3．上面的条件和结论如何叙述？
等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
等边三角形也称为正三角形．
三、运用新知，深化理解
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，S△ABC＝48 cm2，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则DE等于( )
A．5 cm
B．4.8 cm
C．2.4 cm
D．2 cm
分析：利用等腰三角形“三线合一”的性质，连接AD，根据D为BC的中点可以得到CD＝BC＝6，AD⊥BC.又S△ABC＝·AD·BC＝48 cm2，BC＝12 cm，可得AD＝8 cm.因为DE⊥AC，因此S△ADC＝AD·CD＝AC·DE，即AD·CD＝AC·DE，从而可得DE＝4.8 cm.
【归纳总结】本题主要考察等腰三角形的有关性质和三角形的面积计算公式；在等腰三角形中，“三线合一”是常作的辅助线，作出辅助线后容易找出解决问题的突破口．
例2 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，求∠E的度数．
分析：根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，根据CG＝CD可得出∠CDF的度数，再根据DF＝DE，最后即可得出∠E的度数．
解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∵DE＝DF，
∴∠E＝15°.
【归纳总结】等边三角形的每一个内角都等于60°；等腰三角形的两个底角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．在本题中，这三个定理得到了很好的诠释．在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数，与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的．
引导学生学习教材P133～135例1～3，牢记等腰三角形的性质，并能熟练运用等腰三角形的“三线合一”性质．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P133～134练习及P136练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
这节课你有什么收获？
本节课，我们学习了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合(简称“三线合一”)，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用．用数学语言表述如下：
(1)△ABC中，如果AB＝AC，那么∠B＝∠C.
(2)△ABC中，如果AB＝AC，D在BC上，那么由条件①∠BAD＝∠CAD，②AD⊥BC，③BD＝CD中的任意一个都可以推出另外两个．
由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°.“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件．
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P139～140习题15.3第1，7，10，11，12题．
第2课时 等腰三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
1．通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力．
2．能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形．
3．理解掌握有一个角为30°的直角三角形的性质．
4．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
重点
1．让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用．
2．含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．
难点
1．一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述．
2．含30°角的直角三角形性质的探索与证明．
一、创设情境，导入新课
[活动1]
问题
(1)我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边具有什么性质．
(2)用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？
二、合作交流，探究新知
[活动2]
对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢？我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等．这一节，我们再学习另一种识别方法．
我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：
1．在半透明纸上画一个线段BC.
2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A.
3．用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折．
问题1：AB与AC是否重合？
问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述？
有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．
也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形．一个三角形是等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形．
例1 在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么？
问题3：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？你能说明理由吗？
三个角都是60°的三角形是等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD＝AE.
求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.
∵∠EAD＝∠BAC＝60°，
又AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
[活动3]
问题
(1)请同学们准备好两个全等的含30°角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？
(2)探究：在这些图形中，轴对称图形有______个，其中三角形有______个，各是一个怎样的三角形？说说你的理由
(若学生不能单独回答，可以先与同伴交流结论成立的理由，教师可提示：求得∠B＝∠D＝∠BAD＝60°或证∠ABD＝60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．)
(3)在等边△ABD中，AB______BD(填“＞”“＜”或“＝”)，在Rt△ABC中，______＝30°，30°角所对的直角边是______，BC＝______AB(为什么)．
[活动4]
问题
我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗？
(1)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．其条件和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？
(2)总结：
该性质适用范围是什么？(直角三角形)
运用该性质可求什么？
(计算和证明线段的倍分，揭示了30°角直角三角形中边的数量关系的特殊性．)
逆命题成立吗？
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°，(请同学们课后验证)
[活动5]
问题
(1)△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝4，则BC＝________，∠BCD＝________，BD＝________．
(2)如图，∠ABC＝30°，AC⊥BC，AB＝4 cm，
①求AC的长；
②如图，若D是AB的中点，求DC的长；
③如图，若D是AB的中点，DE⊥BC，求DE的长．
(3)如图是屋架设计图的一部分， 点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC, AB＝7.4 m，∠A＝30°，立柱BC，DE要多长？
追问：①若D变成AB上使CD⊥AB于D的点，其他条件不变，你能分解出30°角的直角三角形吗？求出那些线段的长．
②BD与AB有何数量关系？此结论与AB的长度有关吗？(课后讨论)
三、运用新知，深化理解
例3 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
分析：先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.在△ABP与△ACQ中，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．
【归纳总结】判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
分析：由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠B＝30°，即可得到CD＝DB.
解：CD＝DB.理由如下：
∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝DB.
【归纳总结】含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
补充练习：
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
2.小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200 m，求山的高度．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P138练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
1．这节课你有什么收获？
这节课，我们学习了一个三角形是等腰三角形的条件：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)，此条件可以作为判断一个三角形是等腰三角形的依据．因此，要牢记并能熟练应用它．
2．通过这节课的学习，你又学到了直角三角形的哪些知识？
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P139～140习题15.3第2～6题及第8，9题．
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