九年级数学下册 第三十章 二次函数 30.5 二次函数与一元二次方程的关系教案 （新版）冀教版-（新版）冀教版初中九年级下册数学教案.doc

30.5 二次函数与一元二次方程的关系
学习目标
1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)
2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)
教学过程
一、情境导入
小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？
二、合作探究
探究点一：判断二次函数图象与x轴交点个数
【类型一】 二次函数图象与x轴交点情况判断
例1下列函数的图象与x轴只有一个交点的是(　　)
A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1
解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．故选D.
【类型二】 利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴
例2如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．

解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.
方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．
【类型三】 利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围)
例3若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为(　　)
A． 0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2
解析：若m≠0，根据二次函数与x轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点．当m≠0时，Δ＝(m＋2)2－4m(m＋1)＝0，解得m＝2或－2；当m＝0时，原函数是一次函数，图象与x轴只有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．故选D.
方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点，当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点，当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点．
探究点二：二次函数图象与x轴的交点坐标与一元二次方程根的关系
例4已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为________．

解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以x＝3，y＝0是该函数的一组对应值．将x＝3，y＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m，解得m＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
方法总结：本题先求出m的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出其解．也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为(3，0)．根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x1＝－1，x2＝3.
探究点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解
例5利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根(精确到0.1)．
分析：对于y＝－x2＋2x－3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．
解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．

(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：

x
－1.1
－1.2
－1.3
－1.4
－1.5
y
－6.41
－6.84
－7.29
－7.76
－8.25

因此x≈－1.4是方程的一个实数根；
(2)另一个根可以类似地求出：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
y
－6.41
－6.84
－7.29
－7.76
－8.25
　　x≈3.4是方程的另一个实数根．
方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y＝h的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．
三、板书设计

教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．