九年级数学下册 第二十九章 直线与圆的位置关系 29.4 切线长定理教学设计 （新版）冀教版-（新版）冀教版初中九年级下册数学教案.doc

切线长定理
学习目标
1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．
2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．
3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．
教学过程
一、情境导入
新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．、

二、合作探究
探究点一：切线长定理
【类型一】利用切线长定理求三角形的周长

如图，PA.PB分别与⊙O相切于点A.B，⊙O的切线EF分别交PA.PB于点E.F，切点C在上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．

解析：因为PA.PB分别与⊙O相切于点A.B，所以PA＝PB，因为⊙O的切线EF分别交PA.PB于点E.F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋EC)＋(CF＋PF)＝PA＋PB＝2＋2＝4.
【类型二】利用切线长定理求角的大小
如图，PA.PB是⊙O的切线，切点分别为A.B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．

解析：如图所示，连接OA.OB.∵PA.PB是⊙O的切线，切点分别为A.B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝∠APB＝20°.故答案为20.
方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.
【类型三】切线长定理的实际应用
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．

解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝5(cm)，即铁环的半径为5cm.
探究点二：三角形的内切圆
【类型一】求三角形的内切圆的半径
如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．

解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝.即⊙O的半径为.
方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．
【类型二】求三角形的周长
如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D.E，过劣弧(不包括端点D.E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB.BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　)
r B.r C．2r D.r

解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D.P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r，故选C.
板书设计

教学反思
教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.