河北省秦皇岛市抚宁县驻操营学区八年级数学下册 17.1.2 反比例函数图像及性质教案 新人教版.doc

17.1.2反比例函数图像及性质

课时安排
3课时
第一课时
教学目标
知识与技能：
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；
2．体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合；
3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并总结出反比例函数的主要性质。
过程与方法：
1．经历反比例函数主要性质的发现过程；
2．体会分类讨论思想、数形结合思想的运用。
情感态度价值观：
体验到数学的探索过程中充满观察、实验、归纳、类比猜想等。
教学重难点
重点：掌握反比例函数的作图。
难点：反比例函数三种表示方法的相互转化。
教学方法
启发引导、合作探究
教学媒体
课件、直尺
教学过程设计
（一）创设问题情境，引入新课
（1）画函数y=3x－1的图象；（2）求上述函数与x轴、y轴的交点坐标。
总结一次函数图象作法的基本步骤及其性质，为学习反比例函数的图象和性质作准备。
一次函数图象作法的基本步骤：列表、描点、连线。
师：我们知道，一次函数的图像是一条直线，那么我们上节课所学的反比例函数是不是直线呢，如果不是直线它是怎么样的曲线呢？
生：我认为反比例函数的图象是断开的，因为x≠0。
生：我认为反比例函数的图象是与x轴、y轴无交点。因为x≠0，y≠0。
师：反比例函数的图象到底如何呢？下面我们亲自动手操作就会发现反比例函数图象的特点。
（二）揭示反比例函数的特点
活动1
例2 画出反比例函数与的图象。
分析：画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．

我们利用列表、描点、连线，得到了与的图象，那么
（1）它们有什么共同的特征？
（2）它们之间有什么关系呢？
小组讨论得出：（1）它们都是由两条曲线组成，曲线都无限地接近x、y轴，但不会与x轴、y轴相交，也就是反比例函数的图象是双曲线。
（2）与的图象都是轴对称图形，各有两条对称轴。它们都不会经过原点。
活动2
练习
在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数与的图象。（可以利用与的图象之间的关系画出的图象。）

进一步熟悉画反比例函数图象的一般步骤和需要注意的问题：
（1）列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样可以简化运算，又便于描点，作出图象的对称；
（2）列表，描点时，要尽可能多取一些数值，多描一些点，这样便于连线。在连线时，必须用光滑曲线连接各点，而又不能用折线等。
在此活动中教师应重点关注：
（1）能否掌握画反比例函数图象的步骤；
（2）能否用光滑的曲线画出；
（3）能否利用与的关系画出函数的图象。
活动3
观察函数和以及和的图象。
（1）你能发现它们的共同特征以及不同点吗?
（2）每个函数的图象分别位于那几个象限？
（3）在每一个象限内，y随x的变化如何变化？
学生分组针对上面3个问题结合画出的图象分类讨论，归纳总结反比例函数图象的特点和性质。
教师参与到学生的讨论中去，积极引导。
（1）观察和以及和的图象。函数的图象在哪些象限由什么因素来决定？
通过观察讨论得出：
①的图象在哪些象限，由k来决定。
②当k>0时反比例函数的图象位于第一、第三象限；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限。
（2）为什么要强调在“每一个象限内”呢？
因为，反比例函数的图象是“断开”的。所以，y随x的变化情况也是“断开”的，因此需在每一个象限内分别讨论。
综上所述，反比例函数的图象和性质如下：
（1）反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；
（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大；
（三）练习
1.教科书43—44页的练习1、2。
2.函数y=- 的图象在第_____象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ .
3.对于函数 y= ，当 x<0时，y 随x的_____而增大，这部分图象在第 ________象限.
总结：比例系数k决定反比例函数所在象限以及增减性
（四）小结
反比例函数的图象和性质
（1）反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；
（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大；
（五）板书设计
反比例函数的图象和性质（一）
1． 反比例函数的图象和性质
（1）反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；
（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大；
2．练习
课后反思：

第二课时
教学目标
知识与技能：
进一步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并应用反比例函数的主要性质。
过程与方法：
1．经历用反比例函数的图象和性质解决数学问题的过程；
2．进一步体会分类讨论思想特别是数形结合思想的运用。
情感态度价值观：
在参与数学活动的过程中，体会探索、创新的乐趣，养成乐于探索的习惯。
教学重难点
重点：用反比例函数的图象和性质解决数学中的简单问题。
难点：数形结合思想在解题中的应用。
教学方法
小组讨论、合作探究
教学媒体
多媒体课件
教学过程设计
（一）创设问题情境，引入新课
1．作反比例函数图象的基本步骤是（1）__________；（2）_________；（3）__________．
2． 反比例函数的图象是由__________组成的，通常称为_________，当k>0时__________位于_________；当k<0时__________位于_________．
3． 反比例函数的图象， 当k>0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而________；当k<时，在每一个象限内，y的值随x的增大而__________．
4．知识结构

（二）讲授新课
活动1
例3 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）。
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？
（2）点B（3，4），和D（2，5）是否在这个函数的图象上？
学生独立思考，自己解答。
教师巡视解答过程并给予引导。
在此活动中，教师应重点关注：
①是否理解反比例函数解析式的确定就是k值的确定。
②点是否在图象上，只需将点的横、纵坐标代入解析式，看是否符合解析式，即可判断。
活动2
例4 如下图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：

（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）如上图的图象上任取点A（a，b）和点B（a′b′）如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？
让学生先观察图象，然后结合反比例函数的性质完成此题。
在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否从图象的特点得到m－5的符号；
②学生能否从图象的特点，结合函数的性质解决问题；
③学生能否独立思考问题。
（三）巩固提高
1．教科书45页的练习。
进一步熟悉由数得到形的特点，由形得到数的特点，渗透数形结合的思想。
2．补充（1）：如下图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，2a（a>0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2。

（1）求该反比例函数的解析式。
（2）若点（－a，y1），（－2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小。
先由学生独立思考，寻找解题的途径。教师适当的引导，特别对于“学困生”。
分析：通过Rt△AOC的面积可知xA·xA=4．又因为点A在双曲线上，所以xA·xA=k，可求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质，k>0，y随x的增大而减小知，自变量x越大，函数值反而小，通过比较－a与－2a的大小可知y1与y2的大小。
总结：三角形的面积=│k│

图 1
补充（2）：如图所示，p是反比例函数 y=- 的图像上一点，过p点分别向x轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为多少？

总结：矩形的面积=│k│
补充（3）：反比例函数y=与正比例函数y=x的交点问题
47页
总结： 与 同号，有交点 ； 与 异号，无交点
补充（4）：反比例函数y=与一次函数y=kx+b交点问题
例：反比例函数y= 和一次函数y=kx+1在同一个直角坐标系中的图象（ ）

x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o

X
k
y=

A
B
C
D

总结：首先确定一次函数与坐标轴固定的交点，再用k
（四）小结
1.掌握反比例函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式。
2. 矩形的面积=│k│ 三角形的面积=│k│
3.反比例函数y=与正比例函数y=x的交点问题
4.反比例函数y=与一次函数y=kx+b交点问题
（五）板书设计
反比例函数的图象和性质（二）
1． 反比例函数的图象和性质的应用 例3
2 . 矩形的面积=│k│ 三角形的面积=│k│ 例4
3.反比例函数y=与正比例函数y=x的交点问题
4.反比例函数y=与一次函数y=kx+b交点问题

课后反思：

第三课时
教学目标
知识与技能：
进一步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并应用反比例函数的主要性质。
过程与方法：
1．经历用反比例函数的图象和性质解决数学问题的过程；
2．进一步体会分类讨论思想特别是数形结合思想的运用。
情感态度价值观：
在参与数学活动的过程中，体会探索、创新的乐趣，养成乐于探索的习惯。
教学重难点
重点：用反比例函数的图象和性质解决数学中的问题。
难点：数形结合思想在解题中的应用。
教学方法
小组讨论、合作探究
教学媒体
多媒体课件
教学过程设计

图 1
A
B
O
活动1：
一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=
的图像交于A(-2,1),B(1,n)两点。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图像写出一次函数的值大于反
比例函数的值的x的取值范围。

A
B

活动2：
一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y= - 的图像
交于A,B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2.
（1）求一次函数的解析式
（2）求△AOB的面积

y=3x

x
y
A
B
C
活动3：
如图：
（1）求A B两点的坐标
（2）求三角形ABC的面积。

课后反思：