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第2章第2节 整式的加减
一. 本周教学内容：
整式的加减
二. 知识要点：
1. 知识点概要
（1）理解同类项的概念，掌握判别同类项的依据。
（2）理解去括号法则，能准确、熟练地去括号。
（3）理解添括号法则，能根据要求正确地添加括号。
（4）理解合并同类项的法则，能正确地合并同类项
（5）熟练掌握数与整式相乘的运算，能进行整式的加减运算。
（6）会用字母表示代数式，运用整体代换的方法进行整式的加减运算及求值。
2. 重点难点
（1）判别同类项。
（2）去括号、添括号。
（3）合并同类项。
（4）整式加减。
三. 考点分析：
（一）同类项
1. 同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相等的项叫做同类项。
2. 同类项的识别：找相同——“所含字母相同，相同字母的指数分别相同”；避无关——“与系数、字母排列顺序无关”；常数都是同类项。可简化为“同类项，除了系数都一样，常数都是同类项。”
3. 合并同类项的法则：把所在单项式的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
（二）去括号与添括号
1. 去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号与它前面的“＋”号去掉，括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里的各项都变号。此法则可简记为：“－”变“＋”不变。
2. 添括号法则：所添括号前没有“＋”号，括号里的各项都不变号；所添括号前面是“－”号，括号里的各项都要改变符号。
（三）整式加减
1. 整式的加减，实际上就是去括号和合并同类项，进行整式加减运算的一般步骤是：
（1）根据去括号法则去掉括号；
（2）准确找出同类项，按照合并同类项法则合并同类项。
2. 求多项式的值时，一般先合并同类项，再求值。
【典型例题】
例1. 下列各组中，不是同类项的是（ ）。
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
分析：要判断两个单项式是否为同类项，只需抓住两个“相同”即可：一看这两个项中所含字母是否相同；二看相同字母的指数是否相等，它与两项的系数无关，也与式中字母排列的顺序无关。
解：选B。
例2. 下列计算，正确的是（ ）。
A. B. 2x＋x＝3x C. D. 2x＋3y＝5xy
分析：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。显然A、C不符合要求，而D中的两项不是同类项，无法合并。
解：B。
例3. 下列去括号错误的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
分析：去括号法则可简记为：“－”变“＋”不变。A、C括号前是负号，去掉括号，各项都改变了符号；B、D括号前是正号，去掉括号，括号内各项不改变符号。
解：B。
例4. 若|m－2|＋（－1）2＝0，问单项式3x2ym＋n－1和 x2m－n＋1y4是同类项吗？
分析：根据题意可求出的值，再将所求得的值分别代入单项式，看相同字母的指数是否相同。
解：因为|m－2|＋（－1）2＝0，所以m－2＝0，－1＝0，即m＝2，n＝3。
所以3x2ym＋n－1＝3x2y4，x2m－n＋1y4＝x2y4满足同类项的两个条件。
所以单项式3x2ym＋n－1和 x2m－n＋1y4是同类项。
例5. 学生小虎计算某整式减去时，由于粗心，误认为加上此式，得到的结果为，试求此题的正确结果。
解析：依题设知某整式为：
＝
＝；
故正确结果为：
＝＝。
评注：这类复原正确型题目的解题策略是：先由错解找到某整式（如这里的被减式），再按原题的要求进行运算，即可得到正确的答案。
例6. 先去括号，再合并同类项：。
分析：本题涉及了多项式化简的运算顺序，多重括号的去括号，一般按去小括号→去中括号→去大括号的程序，逐渐去掉括号，每去一层括号都要合并同类项一次，以使运算简便。也可以由外向里即按去大括号→去中括号→去小括号的程序逐渐去掉括号。
解：方法一
；
方法二：。
例7. 化简求值：，其中 。
分析：先去括号，再合并同类项，然后代入求值。
解：
。
把代入，得原式＝。
例8. 当x＝1时，代数式的值为2005，求x＝－1时，代数式的值。
解析：当x＝1时，＝2005，p＋q＝2004；当x＝－1时，＝－－（p＋q）＋1＝－2004＋1＝－2003。
评注：“整体”思想在数学解题中经常用到，请同学们在解题时恰当使用。
例9. 课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式（7a－6ab＋3ab）－（－3a－6ab＋3 ab＋10 a－3）写完后，让王红同学顺便给出一组a、b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案“3”。同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”，亲爱的同学你相信吗？你能说出其中的道理吗？
解析：可将整式化简，便可知晓其中的奥妙。
原式＝7a－6ab＋3ab＋3a＋6ab－3ab－10a＋3＝（7a＋3a－10 a）＋（－6ab＋6ab）＋（3 ab－3 ab）＋3＝0＋0＋0＋3＝3。原来此代数式的值与a、b的取值无关。因而无论a、b取何值，李老师都能准确地说出代数式的值是3。
例10. 小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示。根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
（1）用含、的代数式表示地面总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍。若铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？
分析：本题文字比较多，又有图示，只要认真分析题意即可。
解：（1）地面总面积为：（m2）；（2）略。
评注：本题是一道“文字＋图示”型的贴近生活的社会热点问题，这样的问题有一定的难度，只要认真读题，理解好题意，应该还是能够解决的。
例11. 代数式与的差与字母x的取值无关，求代数式的值。
分析：将两式的差按字母x合并同类项。因代数式的差与字母x的取值无关，那么含有字母x项的系数为0。
解：
根据题意，得与字母x的取值无关。
所以且。 解得。
所以
＝。
例12. 现规定，试计算。
分析：解决本题关键是看懂规定的运算性质。
解：＝（xy－3x2）－（－2xy－x2）＋（－2x2－3）－（－5＋xy）
＝xy－3x2＋2xy＋x2－2x2－3＋5－xy＝－4x2＋2xy＋2。
例13. 已知A＝a33a2＋2a1，B＝2a3＋2a24a5，试将多项式3A2（2B＋）化简后，按a的降幂排列写出。
分析：如果把A，B所表示的多项式直接代入所求的代数式中，运算相当麻烦，故此题先化简所求的代数式后，再代入A，B所表示的多项式，化简后再降幂排列。
解：3A2（2B＋）＝3A4B（AB）＝3A4BA＋B＝2A3B
＝2（a33a2＋2a1）3（2a3＋2a24a5）＝2a36a2＋4a26a36a2＋12a＋15
＝4a312a2＋16a＋13。
五、本讲数学思想方法的学习
1. 整体思想：整体的思想方法就是将一些相互联系的量作为整体来处理的思维方法。它在代数式的化简与求值时是经常用到的。
2. 转化思想：就是要把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题。在本章中，整式加减的实质是去括号，合并同类项。合并同类项是把同类项的系数相加减，而字母和字母的指数保持不变，因此，整式的加减最终要转化成数的加减来解决。
3. 数式通性思想：整式的加减是建立在数的运算的基础上的，数的运算性质对于式的运算也同样适用，这种数式通性的思想，可以帮助我们加深对整式加减的理解。
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、细心选一选（每题2分，共20分）
1. 下列代数式中，全是单项式的一组是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式合并同类项结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 当a＝－5时，多项式a2＋2a－2a2－a＋a2－1的值为（ ）
A. 29 B. －6 C. 14 D. 24
*4. 当a＝5，b＝3时，a－［b－2a－（a－b）］等于（ ）
A. 10 B. 14 C. －10 D. 4
5. 下列各式中，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知和是同类项，则代数式的值是（ ）
A. 17 B. 37 C. –17 D. 98
7. 合并式子中的同类项所得结果应是（ ）
A. B.
C. D. 以上答案都不对
*8. 若多项式，是关于的一次多项式，则a的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不能确定
*9. 减去等于的代数式是（ ）
A. B. C. D.
*10. 代数式的值是（ ）
A. 无论、取何值，都是一个常数 B. 取不同值，其值也不同
C. 、取不同值，其值也不同 D. 、、取值不同，其值也不同
二、仔细填一填（每题2分，共20分）
11. 代数式中共有 项，的次数是 ，的系数是 ，的系数是 。
12. 在代数式中，和 是同类项，和 是同类项，和 也是同类项。
13. 若与是同类项，则 ， 。
14. 的相反数是 。
15. 化简的结果是。
16. 的和为。
17. ，。
18. 小王在计算时将“＋”变成“－”，结果得数为15，则的值应为_____。
*19. 当时，代数式中不含项。
**20. 如果（3x2－2）－（3x2－y）＝－2，那么代数式（x＋y）＋3（x－y）－4（x－y－2）的值是________。
三、认真算一算
21. （每小题3分，计9分）合并同类项：
（1）
（2）
（3）
22. （每小题5分，计15分）化简：
（1）
（2）
（3）
四、努力解一解
23. （8分）先化简，后求值：，其中。
24. （8分）若，求的值。
*25. （10分）一个代数式减去得，求这个代数式。
**26. （10分）已知，若，求。
【试题答案】
一、细心选一选
1. B 2. B 3. B 4. B 5. B 6. A 7. A 8. B 9. A 10. A
二、仔细填一填
11. 3，3，，1
12.
13. 1，3.
14.
15.
16.
17. ，
18. 35
19. （提示：不含项，是指合并同类项后，含项的系数为0，即）
20. 8（提示：先将（3x2－2）－（3x2－y）＝－2化简，求出，再将（x＋y）＋3（x－y）－4（x－y－2）化简，得代入的值，即可得出值为8。）
三、认真算一算
21. （1）
（2）
（3）
22. （1）
（2）
（3）
四、努力解一解
23. ，当时，
原式＝
24. ＝，当，原式＝－5×0.5＝－2.5。
25. ＋＝。
26. 因为，所以
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