初中数学巧作辅助线妙解梯形题.doc

初中数学巧作辅助线，妙解梯形题

梯形问题，用以下几种辅助线，将梯形转化为三角形、平行四边形，可以化难为易、化繁为简，从而找到解决问题的捷径。

1. 作高
例1. 如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝45°，∠C＝30°，AB＝3，BC＝4，求梯形ABCD面积。

图1
解：过A、B两点分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别是E、F。
在Rt△BCF中，∠C＝30°，BC＝4
所以
所以 AE＝BF＝2
在Rt△ADE中，∠D＝45°
所以 DE＝AE＝2
易知四边形ABFE是矩形，故EF＝AB＝3，
所以

2. 平移腰
例2. 如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝75°，∠D＝30°。

图2
求证AD＝DC－AB。
证明：过点A作AE∥BC，交CD于E，
则四边形ABCE是平行四边形，
所以 EC＝AB，∠AED＝∠C＝75°
因为 ∠D＝30°
所以 ∠DAE＝180°－30°－75°＝75°
即 AD＝DE
又 DE＝DC－EC
所以 AD＝DC－AB

例3. 如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，M、N分别是DC、AB的中点。

图3
求证。
证明：过M作ME∥DA、MF∥BC，分别交AB于E、F，则
四边形ADME、BCMF都是平行四边形，
∠MEF＝∠A，∠MFE＝∠B
因为 ∠A＋∠B＝90°
所以 ∠MEF＋∠MFE＝90°，
即 △EMF是直角三角形
又 M、N分别是DC、AB的中点
所以 AE＝DM＝MC＝BF，AN＝BN
所以 EN＝FN
且 EF＝AB－CD
所以 。

3. 平移对角线
例4. 如图4，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BD，CH是高，MN是中位线。

图4
求证MN＝CH。
证明：过点C作CE∥BD交AB延长线于E，则四边形BDCE是平行四边形。
所以 BE＝CD，CE＝BD
因为 四边形ABCD是等腰梯形
所以 AC＝BD，即AC＝EC
又 AC⊥BD
所以 AC⊥CE，△ACE是等腰直角三角形。
所以 ，
又
所以 MN＝CH

4. 作中位线
例5. 如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，且AE⊥BE。

图5
求证AD＋BC＝AB。
证明：取AB的中点F，连结FE，
则 AD＋BC＝2EF
因为 ∠AEB＝90°
所以 AB＝2EF
所以 AD＋BC＝AB

5. 延长两腰
例6. 如图6，在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，梯形AEFD的面积与梯形EBCF的面积相等。

图6
求证
证明：延长BA、CD，相交于点O
因为 AD∥EF
所以 ，

所以
。
同理
因为 ，
所以 ，
所以

6. 补形
例7. 如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，M是腰BC的中点。

图7
求证。
证明：延长BA，使AF＝CD；延长CD，
使DE＝AB，
则 CE，
即 四边形BCEF是平行四边形，

取EF的中点P，连结PM交AD于N，连结PA、PD
则 PM∥FB∥EC，
于是有
。
因为 PM∥FB，M是BC的中点，
所以 N是AD的中点。
所以
，
所以 四边形AMDP是平行四边形，
所以

7. 旋转对角线（或腰）
例8. 如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是BD、AC的中点。

图8
求证MN∥BC，

证明：连结并延长AM，交BC于E，
则△AMD≌△EMB
所以 AD＝BE，点M是AE的中点
又 N是AC的中点
所以
故 。

例9. 如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝AB，E是CD的中点。

图9
求证AE⊥BE。
证明：延长AE、BC相交于点F，易证△AED≌△FEC。
所以 AD＝CF，AE＝FE
因为 AD＋BC＝AB
所以 CF＋BC＝BF
故 BF＝BA
所以 BE是等腰△BAF底边上的高。
所以 AE⊥BE。