【黄冈竞赛零距离】七年级数学 5 an 的个位数 培优和竞赛二合一讲炼教程 人教新课标版.doc

（5）an 的个位数
【知识精读】
.1. 整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。
2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。
3. 2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表：

　　　　　指　　　　　　　　　　　数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
……
底

数
2
2
4
8
6
2
4
8
6
2
4
……
3
3
9
7
1
3
9
7
1
3
9
……
7
7
9
3
1
7
9
3
1
7
9
……
其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1与21，24K＋2与22，24K＋3与23，24K＋4与24的个位数是相同的（K是正整数）。　3和7也有类似的性质。
4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，
8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。
5. 综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：
a4K＋m与am的个位数相同(k,m都是正整数。
【分类解析】
例1 20032003的个位数是多少？
　解：20032003与32003的个位数是相同的，
∵2003＝4×500＋3，
∴32003与33的个位数是相同的，都是7，
∴2003的个位数是7。
例2 试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由　
解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2
　∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9，
∴632000＋1472002的和个位数是0，
∴632000＋1472002的和能被10整除。
例3 K取什么正整数值时，3k＋2k是5的倍数？
例4 解：列表观察个位数的规律
　　　　　K＝
1
2
3
4
……
3的个位数
3
9
7
1
……
2的个位数
2
4
8
6
……
3k＋2k的个位数
5

5

……　
从表中可知，当K＝1，3时，3k＋2k的个位数是5，
∵am与a4n+m 的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数）
;∴当K为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。

【实战模拟】，
1， 在括号里填写各幂的个位数（K是正整数）
220　的个位数是　（　）　　　45　的个位数是（　）
330　　　的个位数是　（　）　　　87　的个位数是（　）
74K+1　的个位数是　（　）
311＋79　的个位数是（　） 216×314的个位数是（　）　　　　　
　 32k-1＋72k-1的个位数是（　）
72k－32k　的个位数是（　）　74k-1－64k-3的个位数是（　）
7710×3315×2220×5525的个位数是（　）
2， 目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。
3， 说明如下两个数都能被10整除的理由。
①　5353－3333　　　　　　　　　②　19871989－19931991
4， 正整数m取什么值时，3m＋1是10的倍数？
5， 设n是正整数，试说明2 n ＋7n+2能被5整除的理由。
6， 若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是＿＿＿
若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是＿＿＿
若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是＿＿＿
若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是＿＿＿
7, 12+22+32+……+92的个位数是＿＿，
　　12+22+32+……+192的个位数是＿＿，　　
12+22+32+……+292的个位数是＿＿。
8. a,b,c是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么b2是（　　）
　（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321

练习5
1.       6，4，9，2，7，4，4，0，0，7，0要注意3，7为底的正奇数次幂的和为0，正偶数次幂的差为0
2.       7　　　3.　算出个位数的差为零
4.       由32＋1写出通解　m=2＋4k (k为非负整数)
5.       可用列表观察其规律
n=
1
2
3
4
2n=

7n+2=

2n+7n+2

6.       5；1，3或7，9；2，4，6，8；3，7。
7.       5；0；5　　　8.　B