八年级数学轴对称的性质（1）苏科版.doc

轴对称的性质（1）
【基础知识精讲】
探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质．
所以掌握轴对称的性质，并能够综合运用常见的几类轴对称图的性质解决一些简单的实际问题．

【重点难点解析】
轴对称是两个图形的形状、大小、位置之间的关系，它们必须满足两个条件：(1)两个图形的形状、大小完全相同；(2)把其中一个图形沿某一直线翻折后能与另一个图形重合．
轴对称的性质：
(1)关于某条直线对称的图形是全等形；
(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连成的线段的垂直平分线；
(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点一定在对称轴上．

A．重点、难点提示
掌握轴对称的性质，并能够综合运用常见的几类轴对称图形的性质解决一些简单的问题．

B．考点指要
轴对称是两个图形的形状、大小、位置之间的关系，它们必须满足两个条件：（1）两个图形的形状、大小完全相同；（2）把其中一个图形沿某一直线翻折后能与另一个图形重合．
轴对称的性质：
（1）关于某条直线对称的图形是全等形；
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连成的线段的垂直平分线；
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点一定在对称轴上．（这是重点，也是难点，要掌握好）

【难题巧解点拨】
例1 在△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，P、Q分别是BC、AC上的点，试比较线段AB与△MPQ周长的大小．

解：作点M关于BC、AC的对称点、，连结、、、、MC，则由轴对称的性质可知：
，，
，，
且，，（注意体会解法中比较线段的方法）
∴　，
∴　（等式性质），
即、C、三点共线，
显然，，（两点之间，线段最短），
而，
∴　AB<MP＋PQ＋QM（等量代换），
即：线段AB小于△MPQ的周长．
注　要比较几个线段之间的大小，容易想到“三角形任何一边小于另两边之和”或“两点之间线段最短”，注意到AC与BC垂直，于是想到轴对称，把其中某些线段转移到它关于某直线对称的位置．因此，掌握好轴对称的思想，对探求解题思路是大有帮助的．
例2 在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求底角B的大小．
解：（1）当AB的中垂线MN交AC边时，如下图（1），（有几种情况？）

（1）
∵　∠DEA＝50°，∴　∠A＝90°－50°＝40°，
∵　AB＝AC，∴　∠B＝（180°－40°）＝70°；
（2）当AB的中垂线MN交CA的延长线时，如下图（2），

（2）
∵　∠DEA＝50°，∴　∠BAC＝90°＋50°＝140°，
∴　∠B＝（180°－140°）＝20°．
注　本题考察分类讨论的思想，其关键是当图形未给定时，要画出所有符合条件的图形，并加以解答．（也是难点）
例3 如下图，在△ABC中，C为直角，BC＝AC，BD是∠ABC的平分线，AE⊥BD，垂足为E．
求证：BD＝2AE．

思路分析
由已知∠ABD＝∠CBD，可见，BE是∠ABC的对称轴，把图形沿对称轴BE折叠，点A的对应点为F，可得EF＝AE，这样，问题就转化为证明BD＝AF，可以试找分别含这两条线段的三角形全等．（角平分线问题常可考虑利用轴对称来解决）
证明：延长AE交BC的延长线于F，
∵　BD平分∠ABC，
∴　∠ABD＝∠CBD，
∵　AE⊥BE，∴　∠AEB＝∠BEF＝90°，
在△ABE与△FBE中，
（补形成对称图形）
∴　△ABE≌△FBE　（ASA），
∴　AE＝EF　（全等三角形对应边相等），
∴　AF＝2AE，
∵　∠CBD＋∠F＝90°，∠FAC＋∠F＝90°，
∴　∠CBD＝∠FAC　（同角的余角相等），
在△BCD与△ACF中，

∴　△BCD≌△ACF　（ASA），
∴　BD＝AF　（全等三角形对应边相等），
∴　BD＝2AE．

【典型热点考题】
例1 填空：
(1)设A、B两点关于直线MN轴对称，则_______垂直平分_________.
(2)若直角三角形是轴对称图形，则其三个内角的度数为_________.
(3)已知Rt△ABC中，斜边AB＝2BC，以直线AC为对称轴，点B的对称点是，如图7—36所示，则与线段BC相等的线段是_________，与线段AB相等的线段是________和________，与∠B相等的角是________和_________，因此∠B＝________.

点悟：本题主要考查对称图形的性质及其判定．充分利用轴对称的性质，找出轴对称的对应点，对应线段与对应角即可．
解：(1)直线MN垂直平分线段AB．
(2)直角三角形只有一个直角，不能是轴对称的对应角，只能是其他的两个锐角是轴对称的对应角，它们应相等，而其和为90°，所以每个锐角都是45°．因此，这个直角三角形的三个内角的度数分别为45°，45°，90°．
(3)点A的对应点仍为A，点C的对应点仍为C，线段BC与是对应线段，则与线段BC相等的线段是，而，故与线段AB相等的线段为．而线段与AB是对应线段，因此与线段AB相等的线段还有．与∠B对应的角是，故与∠B相等的角是．又由AB、，三边相等知是等边三角形，故其三个内角相等，因此与∠B相等的角还有．因为三个内角之和等于，所以∠B＝60°．

例2 如图7—37，已知P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ．求：∠BAC的度数．

点悟：本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：(1)利用等边对等角得到相等的角；(2)利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；(3)或利用三角形内角和定理列方程．
解：∵ AP＝PQ＝AQ，∴ ∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝60°．
∵ AP＝BP，∴ ∠PBA＝∠PAB
∴ ∠APQ＝∠PBA＋∠PAB＝60°
∴ ∠PBA＝∠PAB＝30°，同理得∠QAC＝30°．
∴ ∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°
＝120°．

例3 如图7—38，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上一点．

求证：∠ABP＝∠ACP．
点悟：本题如果用三角形全等来证明两角相等，则至少需要证明两次三角形全等，若用线段垂直平分线的判定和性质，就会显得较为简单．
证明：连结BC．
∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB．
又∵ 点A、D在线段BC的垂直平分线上，
∴ AD就是线段BC的垂直平分线．
∴ PB＝PC．
∴ ∠PBC＝∠PCB
∴ ∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB
即 ∠ABP＝∠ACP．
例4 已知，如图7—39，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E．求证：．

点悟：本题有两种不同的证法．证法一利用线段的垂直平分线是常见的对称轴，证得BF＝AF后，再利用直角三角形的性质即可得证．证法二利用垂直平分线的对称性得AF＝BF，再证得△AFG为等边三角形即可．
证法一：如图7—39，
连结AF，则AF＝BF，∴ ∠B＝∠FAB
∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C．
∵ ∠BAC＝120°
∴ ．
∴ ∠FAB＝30°．
∴ ∠FAC＝∠BAC－∠FAB＝120°－30°＝90°．
又∵ ∠C＝30°．
∴ ，∴ ．
证法二：如图7—40，连结AF，过A作AG∥EF交FC于G．

∴ AF＝BF．
又∵ ∠B＝30°，
∴ ∠AFG＝60°，∠BAG＝90°．
∴ ∠ACF＝60°，∴ △AFG为等边三角形．
又∵ ∠C＝30°，∴ ∠GAC＝30°．
∴ AG＝GC．
∴ ．

例5 如图7—41，在△ABC中，C为直角，BC＝AC，BD是∠ABC的平分线，AF⊥BD，垂足为E．

求证：BD＝2AE．
点悟：因为BD是∠ABC的平分线，可知BE是∠ABC的对称轴．把图形沿对称轴BE折叠，点A的对应点为F，可得EF＝AE，因此，问题就转化为证明BD＝AF．这样找出分别含有这两条线段的三角形全等即可．
证明：延长AE交BC的延长线于F，
∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD．
∵ AE⊥BE，∴ ∠AEB＝∠BEF＝90°．
在△ABE与△FBE中，
∵ ∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，∠AEB＝∠BEF．
∴ △ABE≌△FBE．
∴ AE＝EF，∴ AF＝2AE．
∵ ∠CBD＋∠F＝90°，∠FAC＋∠F＝90°，
∴ ∠CBD＝∠FAC．
在△BCD和△ACF中．
∵ ∠CBD＝∠FAC，BC＝AC，∠BCA＝∠FCA，
∴ △BCD≌△ACF．
∴ BD＝AF．
∴ BD＝2AE．

例6 已知，如图7—42，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE．

求证：EF⊥BC．
点悟：本题主要考查等腰三角形和平行线的性质及其应用．解决问题的关键是通过添加辅助线，建立EF与BC的联系．本题由于添加不同的辅助线，可以得到以下四种不同的证法．
证法一：如图7—42，
作BC边上的高AD，D为垂足，
∵ AB＝AC，AD⊥BC，
∴ ∠BAD＝∠CAD．
又∵ ∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠AEF＝∠AFE．
∴ ∠CAD＝∠E，∴ AD∥EF．
∵ AD⊥BC，∴ EF⊥BC．
证法二：如图7—43，过点A作AG⊥EF于G．

∵ ∠AEF＝∠AFE，AG＝AG，
∠AGE＝∠AGF＝90°，
∴ △AGE≌△AGF．
∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C．
又∵ ∠EAF＝∠B＋∠C，
∴ ∠EAG＋∠GAF＝∠B＋∠C．
∴ ∠EAG＝∠C，∴ AG∥BC
∵ AG⊥EF，
∴ EF⊥BC．
证法三：如图7—44．

过点E作EH∥BC交BA的延长线于H．
∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C，
∴ ∠H＝∠B＝∠C＝∠AEH，
∵ ∠AEF＝∠AFE，∠H＋∠AFE＋∠FEH＝180°，
∴ ∠H＋∠AEH＋∠AEF＋∠AFE＝180°，
∴ ∠AEF＋∠AEH＝90°，即 ∠FEH＝90°，
∴ EF⊥EH，又EH∥BC，
∴ EF⊥BC．
证法四：如图7—45．

延长EF交BC于K．
∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C．
∴ ∠B＝(180°－∠BAC)．
∵ ∠AEF＝∠AFE，
∴ ∠AFE＝(180°－∠EAF)．
∵ ∠BFK＝∠AFE．
∴ ∠BFK＝(180°－∠EAF)．
∴ ∠B＋∠BFK＝(180°－∠BAC)＋(180°－∠EAF)
＝[360°－(∠EAF＋∠BAC)]
∵ ∠EAF＋∠BAC＝180°，
∴ ∠B＋∠BFK＝90°，即∠FKB＝90°.
∴ EF⊥BC．

例7 在△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，P、Q分别是BC、AC上的点，试比较线段AB与△MPQ周长的大小．
点悟：要比较n条线段之间的大小，一般情况下很容易想到“三角形任何一边小于另两边之和”或“两点之间线段最短”，但注意到AC与BC垂直，于是联想到轴对称，把其中某些线段转移到它关于某直线对称的位置．使问题很容易解决．由此可知，掌握好轴对称的思想，对探求解题思路大有益处．
解：如图7—46．

作点M关于BC、AC的对称点，连结、、、、．
则由轴对称的性质可知：
， .
, ．
且．
∴ ，
∴ ．
即 、、三点共线．
显然，.
而
∴ ．
即：线段AB小于△MPQ的周长．

【易错例题分析】
例 在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线MN与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求底角B的大小．
正解：(1)当AB的中垂线MN交AC边时，如图7—47．

∵ ，∴ ．
∴ ，∴ ．
(2)当AB的中垂线MN交CA的延长线时，如图7—48．

∵ ，
∴ ，
∴ ．
警示：本题只用语言叙述题设条件而没有画出图形，这就要求我们画出所有符合条件的图形，分别根据图形的不同加以解答．这类题目往往有多种解答，千万不能漏解．这就是我们常说的根据不同情况进行分类讨论的思想．