八年级数学轴对称的性质（1）苏科版.doc

轴对称的性质（1）【基础知识精讲】探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质所以掌握轴对称的性质，并能够综合运用常见的几类轴对称图的性质解决一些简单的实际问题【重点难点解析】轴对称是两个图形的形状、大小、位置之间的关系，它们必须满足两个条件：(1)两个图形的形状、大小完全相同；(2)把其中一个图形沿某一直线翻折后能与另一个图形重合轴对称的性质：(1)关于某条直线对称的图形是全等形；(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连成的线段的垂直平分线；(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点一定在对称轴上A重点、难点提示掌握轴对称的性质，并能够综合运用常见的几类轴对称图形的性质解决一些简单的问题B考点指要轴对称是两个图形的形状、大小、位置之间的关系，它们必须满足两个条件：（1）两个图形的形状、大小完全相同；（2）把其中一个图形沿某一直线翻折后能与另一个图形重合轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的图形是全等形；（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连成的线段的垂直平分线；（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点一定在对称轴上（这是重点，也是难点，要掌握好）【难题巧解点拨】例1 在ABC中，ACB90，M是AB的中点，P、Q分别是BC、AC上的点，试比较线段AB与MPQ周长的大小解：作点M关于BC、AC的对称点、，连结、MC，则由轴对称的性质可知：，且，（注意体会解法中比较线段的方法），（等式性质），即、C、三点共线，显然，（两点之间，线段最短），而，ABMPPQQM（等量代换），即：线段AB小于MPQ的周长注要比较几个线段之间的大小，容易想到“三角形任何一边小于另两边之和”或“两点之间线段最短”，注意到AC与BC垂直，于是想到轴对称，把其中某些线段转移到它关于某直线对称的位置因此，掌握好轴对称的思想，对探求解题思路是大有帮助的例2 在ABC中，ABAC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，求底角B的大小解：（1）当AB的中垂线MN交AC边时，如下图（1），（有几种情况？）（1）DEA50，A905040，ABAC，B（18040）70；（2）当AB的中垂线MN交CA的延长线时，如下图（2），（2）DEA50，BAC9050140，B（180140）20注本题考察分类讨论的思想，其关键是当图形未给定时，要画出所有符合条件的图形，并加以解答（也是难点）例3 如下图，在ABC中，C为直角，BCAC，BD是ABC的平分线，AEBD，垂足为E求证：BD2AE思路分析由已知ABDCBD，可见，BE是ABC的对称轴，把图形沿对称轴BE折叠，点A的对应点为F，可得EFAE，这样，问题就转化为证明BDAF，可以试找分别含这两条线段的三角形全等（角平分线问题常可考虑利用轴对称来解决）证明：延长AE交BC的延长线于F，BD平分ABC，ABDCBD，AEBE，AEBBEF90，在ABE与FBE中，（补形成对称图形）ABEFBE（ASA），AEEF（全等三角形对应边相等），AF2AE，CBDF90，FACF90，CBDFAC（同角的余角相等），在BCD与ACF中，BCDACF（ASA），BDAF（全等三角形对应边相等），BD2AE【典型热点考题】例1 填空：(1)设A、B两点关于直线MN轴对称，则_垂直平分_.(2)若直角三角形是轴对称图形，则其三个内角的度数为_.(3)已知RtABC中，斜边AB2BC，以直线AC为对称轴，点B的对称点是，如图736所示，则与线段BC相等的线段是_，与线段AB相等的线段是_和_，与B相等的角是_和_，因此B_.点悟：本题主要考查对称图形的性质及其判定充分利用轴对称的性质，找出轴对称的对应点，对应线段与对应角即可解：(1)直线MN垂直平分线段AB(2)直角三角形只有一个直角，不能是轴对称的对应角，只能是其他的两个锐角是轴对称的对应角，它们应相等，而其和为90，所以每个锐角都是45因此，这个直角三角形的三个内角的度数分别为45，45，90(3)点A的对应点仍为A，点C的对应点仍为C，线段BC与是对应线段，则与线段BC相等的线段是，而，故与线段AB相等的线段为而线段与AB是对应线段，因此与线段AB相等的线段还有与B对应的角是，故与B相等的角是又由AB、，三边相等知是等边三角形，故其三个内角相等，因此与B相等的角还有因为三个内角之和等于，所以B60例2 如图737，已知P、Q是ABC边BC上的两点，且BPPQQCAPAQ求：BAC的度数点悟：本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：(1)利用等边对等角得到相等的角；(2)利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；(3)或利用三角形内角和定理列方程解： APPQAQ， APQAQPPAQ60 APBP， PBAPAB APQPBAPAB60 PBAPAB30，同理得QAC30 BACBAPPAQQAC306030120例3 如图738，ABAC，DBDC，P是AD上一点求证：ABPACP点悟：本题如果用三角形全等来证明两角相等，则至少需要证明两次三角形全等，若用线段垂直平分线的判定和性质，就会显得较为简单证明：连结BC ABAC， ABCACB又 点A、D在线段BC的垂直平分线上， AD就是线段BC的垂直平分线 PBPC PBCPCB ABCPBCACBPCB即 ABPACP例4 已知，如图739，ABC中，ABAC，BAC120，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E求证：点悟：本题有两种不同的证法证法一利用线段的垂直平分线是常见的对称轴，证得BFAF后，再利用直角三角形的性质即可得证证法二利用垂直平分线的对称性得AFBF，再证得AFG为等边三角形即可证法一：如图739，连结AF，则AFBF， BFAB ABAC， BC BAC120 FAB30 FACBACFAB1203090又 C30 ， 证法二：如图740，连结AF，过A作AGEF交FC于G AFBF又 B30， AFG60，BAG90 ACF60， AFG为等边三角形又 C30， GAC30 AGGC 例5 如图741，在ABC中，C为直角，BCAC，BD是ABC的平分线，AFBD，垂足为E求证：BD2AE点悟：因为BD是ABC的平分线，可知BE是ABC的对称轴把图形沿对称轴BE折叠，点A的对应点为F，可得EFAE，因此，问题就转化为证明BDAF这样找出分别含有这两条线段的三角形全等即可证明：延长AE交BC的延长线于F， BD平分ABC， ABDCBD AEBE， AEBBEF90在ABE与FBE中， ABDCBD，BEBE，AEBBEF ABEFBE AEEF， AF2AE CBDF90，FACF90， CBDFAC在BCD和ACF中 CBDFAC，BCAC，BCAFCA， BCDACF BDAF BD2AE例6 已知，如图742，ABC中，ABAC，E在CA的延长线上，AEFAFE求证：EFBC点悟：本题主要考查等腰三角形和平行线的性质及其应用解决问题的关键是通过添加辅助线，建立EF与BC的联系本题由于添加不同的辅助线，可以得到以下四种不同的证法证法一：如图742，作BC边上的高AD，D为垂足， ABAC，ADBC， BADCAD又 BACEAFE，AEFAFE CADE， ADEF ADBC， EFBC证法二：如图743，过点A作AGEF于G AEFAFE，AGAG，AGEAGF90， AGEAGF ABAC， BC又 EAFBC， EAGGAFBC EAGC， AGBC AGEF， EFBC证法三：如图744过点E作EHBC交BA的延长线于H ABAC， BC， HBCAEH， AEFAFE，HAFEFEH180， HAEHAEFAFE180， AEFAEH90，即 FEH90， EFEH，又EHBC， EFBC证法四：如图745延长EF交BC于K ABAC， BC B(180BAC) AEFAFE， AFE(180EAF) BFKAFE BFK(180EAF) BBFK(180BAC)(180EAF)360(EAFBAC) EAFBAC180， BBFK90，即FKB90. EFBC例7 在ABC中，ACB90，M是AB的中点，P、Q分别是BC、AC上的点，试比较线段AB与MPQ周长的大小点悟：要比较n条线段之间的大小，一般情况下很容易想到“三角形任何一边小于另两边之和”或“两点之间线段最短”，但注意到AC与BC垂直，于是联想到轴对称，把其中某些线段转移到它关于某直线对称的位置使问题很容易解决由此可知，掌握好轴对称的思想，对探求解题思路大有益处解：如图746作点M关于BC、AC的对称点，连结、则由轴对称的性质可知：， ., 且 ， 即 、三点共线显然，.而 即：线段AB小于MPQ的周长【易错例题分析】例 在ABC中，ABAC，AB的中垂线MN与AC所在直线相交所得的锐角为50，求底角B的大小正解：(1)当AB的中垂线MN交AC边时，如图747 ， ， (2)当AB的中垂线MN交CA的延长线时，如图748 ， ， 警示：本题只用语言叙述题设条件而没有画出图形，这就要求我们画出所有符合条件的图形，分别根据图形的不同加以解答这类题目往往有多种解答，千万不能漏解这就是我们常说的根据不同情况进行分类讨论的思想