资源描述
2．2 一元二次方程的解法
2．2.1 配方法
教学目标
【知识与技能】
1．知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程．
2．学会用直接开平方法解形如(ax＋b)2－k＝0(k≥0)的方程．
3．理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法．
【过程与方法】
通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．
【情感态度】
学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．
【教学重点】
运用配方法解一元二次方程．
【教学难点】
把一元二次方程转化为形如(x＋n)2＝d(d≥0)的过程．
教学过程
一、情景导入，初步认知
1．根据完全平方公式填空：
(1)x2＋6x＋9＝( )2
(2)x2－8x＋16＝( )2
(3)x2＋10x＋( )2＝( )2
(4)x2－3x＋( )2＝( )2
2．前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)．由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？
3．你会解方程x2＋6x－16＝0吗？你会将它变成(x＋m)2＝n(n为非负数)的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？
【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础．
二、思考探究，获取新知
1．解方程：x2－2500＝0.
问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程？
把方程写成x2＝2500
这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得
x＝或x＝－
因此，原方程的解为x1＝50，x2＝－50
【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根．
2．解方程(2x＋1)2＝2
解：根据平方根的意义，得
2x＋1＝或2x＋1＝－
因此，原方程的根为
x1＝，x2＝－
3．通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？
【归纳结论】对于形如(x＋n)2＝d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解．
直接开平方法的步骤是：把方程变形成(x＋n)2＝d(d≥0)，然后直接开平方得x＋n＝和x＋n＝－，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解．
4．解方程x2＋4x＝12
我们已知，如果把方程x2＋4x＝12写成(x＋n)2＝d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解．
那么，如何将左边写成(x＋n)2的形式呢？
我们学过完全平方式，你能否将左边x2＋4x添上一项使它成为一个完全平方式．请相互交流．
写出解题过程．
【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x2＋4x＝12的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．
5．如何用配方法解方程25x2＋50x－11＝0呢？
如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流．
试着写出解题过程．
6．通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？
【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：
(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；
(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
(3)若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；
(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为(x＋n)2＝d(d≥0)的形式．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P33例3、P34例4.
2．列方程(注：学生练习，教师巡视，适当辅导．)
(1)x2－10x＋24＝0；
(2)(2x－1)(x＋3)＝5；
(3)3x2－6x＋4＝0.
解：(1)移项，得x2－10x＝－24
配方，得x2－10x＋25＝－24＋25，
由此可得(x－5)2＝1，
x－5＝±1，
∴x1＝6，x2＝4.
(2)整理，得2x2＋5x－8＝0.
移项，得2x2＋5x＝8
二次项系数化为1得x2＋x＝4，
配方，得x2＋x＋()2＝4＋()2
(x＋)2＝，
由此可得x＋＝±，
x1＝，x2＝.
(3)移项，得3x2－6x＝－4
二次项系数化为1，得x2－2x＝－，
配方，得x2－2x＋12＝－＋12，
(x－1)2＝－
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
3．解方程x2－8x＋1＝0
分析：显然这个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式．
解：x2－8x＋1＝0
移项得：x2－8x＝－1
配方得：x2－8x＋16＝－1＋16
即(x－4)2＝15
两边开平方得：x－4＝±
∴x1＝4＋，x2＝4－.
4．用配方法将下列各式化为a(x＋h)2＋k的形式．
(1)－3x2－6x＋1；(2)y2＋y＋2；
(3)0.4x2－0.8x－1.
解：(1)－3x2－6x＋1
＝－3(x2＋2x－)
＝－3(x2＋2x＋12－12－)
＝－3[(x＋1)2－]
＝－3(x＋1)2＋4
(2)y2＋y－2
＝(y2＋y－3)
＝[y2＋y＋()2－()2－3]
＝[(y＋)2－]
＝(y＋)2－.
(3)0.4x2－0.8x－1
＝0.4(x2－2x－2.5)
＝0.4[(x2－2x＋12)－12－2.5]
＝0.4(x－1)2－1.4
【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的认识．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
布置作业：教材“习题2.2”中第1、2、3题．
教学反思
在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动．同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习．
2．2.2 公式法
教学目标
【知识与技能】
1．经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练．
2．会用公式法解简单系数的一元二次方程．
【过程与方法】
通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．
【情感态度】
让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．
【教学重点】
求根公式的推导和公式法的应用．
【教学难点】
理解求根公式的推导过程．
教学过程
一、情景导入，初步认知
1．用配方法解方程：
(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.
2．由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)使用这些步骤，然后求出解x的公式？
【教学说明】这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．
二、思考探究，获取新知
1．用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2＋bx＝－c
因为a≠0，所以方程两边同除以a得：
x2＋x＝－
配方，得：x2＋x＋()2＝－＋()2
即(x＋)2＝
∵a≠0，∴4a2>0
当b2－4ac≥0，≥0
∴x＋＝±
即x＝
∴x1＝，
x2＝.
当b2－4ac<0时，方程无解．
【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子
x＝(b2－4ac≥0)
就可求出方程的根．
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：(1)将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错．(2)式子b2－4ac≥0是公式的一部分．
【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)能否用配方法求出它的解？通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．
2．展示课本P36例5(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号．
3．引导学生完成P37例6.
4．你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？
【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式求解．
三、运用新知，深化理解
1．用公式法解下列方程．
2x2＋3＝7x
分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解． 解：2x2－7x＋3＝0
a＝2，b＝－7，c＝3
∵b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝25>0
∴x＝＝＝
即x1＝3，x2＝.
2．某数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题．
(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
(2)若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：(1)要使它为一元二次方程，必须满足m2＋1＝2，同时还要满足(m＋1)≠0.
(2)要使它为一元一次方程，必须满足∶
①或②或
③
解：(1)存在．根据题意，得：m2＋1＝2
m2＝1 m＝±1
当m＝1时，m＋1＝1＋1＝2≠0
当m＝－1时，m＋1＝－1＋1＝0(不合题意，舍去)
∴当m＝1时，方程为2x2－1－x＝0
a＝2，b＝－1，c＝－1
b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－1)＝1＋8＝9
x＝＝
x1＝1，x2＝－.
因此，该方程是一元二次方程时，m＝1，两根x1＝1，x2＝－.
(2)存在．根据题意，得：①m2＋1＝1，m2＝0，m＝0
因为当m＝0时，(m＋1)＋(m－2)＝2m－1＝－1≠0
所以m＝0满足题意．
②当m2＋1＝0，m不存在．
③当m＋1＝0，即m＝－1时，m－2＝－3≠0
所以m＝－1也满足题意．
当m＝0时，一元一次方程是x－2x－1＝0，
解得：x＝－1
当m＝－1时，一元一次方程是－3x－1＝0
解得x＝－
因此，当m＝0或－1时，该方程是一元一次方程，并且当m＝0时，其根为x＝－1；当m＝－1时，其一元一次方程的根为x＝－.
【教学说明】主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
布置作业：教材“习题2.2”中第4题．
教学反思
通过复习配方法使学生会对一元二次方程的定义及解法有一个熟悉的印象．然后让学生用配方法推导一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．使学生的推理能力得到加强．
2．2.3 因式分解法
教学目标
【知识与技能】
能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．
【过程与方法】
通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．
【情感态度】
通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法．
【教学重点】
用因式分解法解一元二次方程．
【教学难点】
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．
教学过程
一、情景导入，初步认知
复习：将下列各式分解因式
(1)5x2－4x
(2)x2－4x＋4
(3)4x(x－1)－2＋2x
(4)x2－4
(5)(2x－1)2－x2
【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度．
二、思考探究，获取新知
1．解方程 x2－3x＝0
可用因式分解法求解
方程左边提取公因式x，得x(x－3)＝0
由此得x＝0或x－3＝0
即x1＝0，x2＝3
与公式法相比，哪种更简单？
【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2．用因式分解法解下列方程；
(1)x(x－5)＝3x；
(2)2x(5x－1)＝3(5x－1)；
(3)(35－2x)2－900＝0.
3．你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？
【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．
4．说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程．
【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程．
5．选择合适的方法解下列方程：
(1)x2＋3x＝0；
(2)5x2－4x－3＝0；
(3)x2＋2x－3＝0.
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程．
6．如何选择合适的方法解一元二次方程呢？
【归纳结论】公式法适用于所有一元二次方程．因式分解法(有时需要先配方)适用于所有一元二次方程．配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法．
总之，解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．
【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．
三、运用新知，深化理解
1．用因式分解法解下列方程：
(1)5x2＋3x＝0；
(2)7x(3－x)＝4(x－3)．
分析：(1)左边＝x(5x＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，7x(3－x)－4(x－3)＝0，找出(3－x)与(x－3)的关系．
解：(1)因式分解，得x(5x＋3)＝0，
于是得x＝0或5x＋3＝0，
x1＝0，x2＝－；
(2)原方程化为7x(3－x)－4(x－3)＝0，
因式分解，得(x－3)(－7x－4)＝0，
于是得x－3＝0或－7x－4＝0，
x1＝3，x2＝－
2．选择合适的方法解下列方程：
(1)2x2－5x＋2＝0；
(2)(1－x)(x＋4)＝(x－1)(1－2x)．
分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x)与(x－1)的关系用因式分解法；
解：(1)a＝2，b＝－5，c＝2，
b2－4ac＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，
x＝＝，
x1＝2，x2＝
(2)原方程化为(1－x)(x＋4)＋(1－x)(1－2x)＝0，
因式分解，得(1－x)(5－x)＝0，
即(x－1)(x－5)＝0，
x－1＝0或x－5＝0，
x1＝1，x2＝5
3．用因式分解法解下列方程：
(1)10x2＋3x＝0；
(2)7x(3－x)＝6(x－3)；
(3)9(x－2)2＝4(x＋1)2.
分析：(1)左边＝x(10x＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，7x(3－x)－6(x－3)＝0，找出(3－x)与(x－3)的关系；(3)应用平方差公式．
解：(1)因式分解，得x(10x＋3)＝0，
于是得x＝0或10x＋3＝0，
x1＝0，x2＝－；
(2)原方程化为7x(3－x)－6(x－3)＝0，
因式分解，得(x－3)(－7x－6)＝0，
于是得x－3＝0或－7x－6＝0，
x1＝3，x2＝－；
(3)原方程化为9(x－2)2－4(x＋1)2＝0，
因式分解，得
[3(x－2)＋2(x＋1)][3(x－2)－2(x＋1)]＝0，
即(5x－4)(x－8)＝0，
于是得5x－4＝0或x－8＝0，
x1＝，x2＝8.
4．已知(a2＋b2)2－(a2＋b2)－6＝0，求a2＋b2的值．
分析：若把(a2＋b2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a2＋b2)为未知数的一元二次方程．
解：设a2＋b2＝x，则原方程化为x2－x－6＝0.
a＝1，b＝－1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×(－6)×1＝25＞0，
x＝，∴x1＝3，x2＝－2.
即a2＋b2＝3或a2＋b2＝－2，
∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝－2不合题意应舍去，取a2＋b2＝3.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
布置作业：教材“练习题2.2”中第5、6、9、10题．
教学反思
这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到这一目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法．
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