八年级数学上 幂的运算和整式乘法.doc

一. 教学内容：
幂的运算和整式乘法

二. 学习要点：
1. 掌握幂的三种运算，并能灵活运用其解决一些数学问题。
2. 掌握进行整式乘法的方法。

三. 知识讲解：
（一）幂的运算
1. 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（m、n为正整数）
推广：（m、n、p为正整数）
2. 幂的乘方
幂的乘方底数不变，指数相乘。
（m、n为正整数）
推广：（m、n、p为正整数）
3. 积的乘方
积的乘方是把积中每一个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。
（m为正整数）
推广：（m为正整数）
（二）整式的乘法
1. 单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘，用它们系数的积作为积的系数，相同字母的幂相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
2. 单项式乘以多项式
单项式乘以多项式就用这个单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，如。
3. 多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
如：

【典型例题】
例1. 下列算式是否正确？如果错误指出原因，并加以改正。
（1） （2）
（3） （4）
（5）
分析：要判断以上各算式是否正确，主要是要搞清楚幂的乘法与合并同类项的区别，而且还要分清底数和指数。
解答：（1）错。错在将混同于，正确结果为。
（2）错。将混同于，正确结果为。
（3）错。同底数幂相乘的法则运用错误，底数不变，指数相加，误为底数不变，指数相乘，正确结果为。
（4）错。误认为b的指数为0，正确结果为。
（5）错。错在计算时把底数10与指数8相加，正确结果为。

例2. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
此例题中主要应用同底数幂相乘法则。
分析：（1）指数有常数有未知数，但方法是一致的。
（2）注意符号。
（3）第一项指数为1，相加时不要忘。
（4）底数是多项式，并且是互为相反数，可适当变形。
（5）（6）此两题都为混合运算，在计算时，要注意运算顺序和正确运用相应的计算法则，并要正确区分同底数幂的乘法和整式的加减法的计算法则，在第（6）题的计算过程中要把看成一个整体计算。
解：（1）
（2）
（3）
（4）

（5）原式

（6）原式

例3. 已知且，求的值。
分析：本题把同底数幂相乘与解方程联系起来，利用“同底数幂相等，幂指数也相等”列方程，从而解决问题。

例4. 计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
（6）
（7）
分析：此例题主要练习幂的乘方法则。
（1）中直接运用幂的乘方法则运算。
（2）（3）注意与勿混淆。
（4）指数可含字母。
（5）题可按不同的顺序进行计算，但要正确运用幂的乘方等性质。
（6）题，要把视为一个整体。
（7）要注意按照运算顺序逐级运算。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）解法1：
原式
解法2：
原式
（6）原式
（7）原式

例5. 计算：
（1） （2）
（3）
（4）
分析：（1）此题主要应用积的乘方法则。
（2）题、（3）题，是同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方三个性质的交替运用，计算时要分清运算顺序，可根据本题特点，灵活选择解题顺序。
（3）、（4）题要注意符号问题。
（4）题要注意合并同类项法则。
解：（1）
（2）

（3）

（4）

例6. 计算（为自然数）
分析：考虑到n是一个字母，它可以为偶数也可以为奇数，根据有理数的乘法法则，要对n分为偶数和奇数的情况进行讨论，才能作出正确的计算。
解答：（1）当n为偶数时，
（2）当n为奇数时，

例7. 计算：已知，求。
分析：这一道题直接计算较为复杂，根据其特点逆向运用幂的运算法则较为简便。
解答：

例8. 计算：
（1）
（2）
分析：（1）将指数3、6、3化为同指数3，然后逆用积的乘方性质。（2）将不同底数8、4、化成相同的底数，然后重新组合逆用积的乘方性质。
解答：（1）

（2）

例9. 已知，试比较a、b、c的大小。
分析：比较a、b、c直接计算太繁，a、b、c又不同底，经观察我们可以从a、b、c的指数变形入手。幂的大小比较（底数、指数都为正整数）常通过1化不同底为同底，或化不同指数为相同指数两种方法进行。
解答：

例10. 求是几位正整数。
分析：题中N值较大，直接求解很困难，所以应考虑运用幂的有关性质先化简，写成科学记数法的形式，即可确定N的位数。
解答：
是一个10位正整数

例11. 已知，求的值。
分析：已知条件是2x与5y的关系，而所求代数式的指数是x及y，故要求的值，需将它的指数转化为的形式，这根据幂的运算性质即可得。
解答：

例12. 下列计算中错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：从单项式乘以单项式的法则及运算的步骤来判断以上的运算是否正确。
解答：D

例13. 当时，求代数式的值。
分析：先化简，合并同类项，再求值，使得在求值时代数式达到最简化。
解答：

当时，原式

例14. 已知中不含和项，求a、b的值。
分析：不含项就是说按多项式乘法法则展开，再合并同类项后，式子中项的系数为0，故本题可先将多项式按多项式乘法法则展开，合并同类项，然后令项的系数为0，得到关于a、b的方程组，从而通过解方程组求出a、b的值。
解答：

根据题意得：
解得：

例15. 设，试证明：

分析：解答证明题时，先观察等式，看等式的左、右两边哪一边形式复杂，就从哪一边开始朝另一边证明。本题显然应从等式的左边开始计算。
解答：

【模拟试题】（答题时间：70分钟）
一. 选择题。
1. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
3. 的计算结果为（ ）
A. B.
C. D.
4. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下面计算中，错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
7. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
8. 计算的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 适合的x的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 4 D. 0
10. 一个二项式与一个三项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（ ）
A. 二项 B. 三项
C. 五项 D. 六项
11. 下列计算，结果错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 计算得（ ）
A. B.
C. D.
13. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
14. 当时，代数式的值是（ ）
A. 146 B. 145 C. 144 D. 143
15. 若与的积不含有x的一次项，则m的值为（ ）
A. B. 5 C. D.

二. 填空题。
16. 计算：___________。
17. 计算：___________。
18. 方程的解是___________。
19. 已知梯形的上底长为，下底长为，高为，则梯形的面积为___________。
20. 一个正方形的边长增加了3 cm，它的面积就增加，则这个正方形的边长是___________。

三. 解答题。
21. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
22. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
23. 计算：
（1）
（2）
24. 先化简，再求值：
（1），其中。
（2），其中。
25. 小明家果园里有一块长方形的橘子林，横向栽了5x棵，纵向栽了8x棵，请你计算一下，小明家一共有橘子树多少棵？
26. 有一种打印纸长a cm、宽b cm，打印某文档时设置的上下边距均为2.5 cm，左右边距均为2.8 cm，那么一张这样的打印纸的实际打印面积是多大？
试题答案
一.
1. C 2. B 3. A 4. D 5. B
6. B 7. D 8. B 9. C 10. D
11. B 12. C 13. B 14. A 15. C
二.
16.
17.
18.
19.
20. 5cm
三.
21. （1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
22. （1） （2）
（3）
（4） （5）
23. （1） （2）
24. （1） （2）
25. 棵
26.