新疆克拉玛依市第十三中学八年级数学下册《第19章 四边形》教案 新人教版.doc

新疆克拉玛依市第十三中学八年级数学下册《第19章 四边形》教案 新人教版
课题

时间

教学目标
知识技能
使学生掌握矩形的意义及性质
过程方法
通过对平行四边形的活动演示让学生感受由一般平行四边形转化为矩形过程中的角及对角线的变化
情感态度与能力目标
通过对一般平行四边形与矩形之间关系的探索，使学生体会一般与特殊的辩证关系
重点
矩形的意义、性质
难点
运用矩形的性质解有关问题
学情分析

教 学 内 容 和 过 程
一、复习提问：
1．平行四边形的定义
2．平行四边形的性质
3．平行四边形的判定
二、新课讲解：
1．对于一般四边形而言，我们对边添加一些特殊的条件如两组对边分别平行就得到了特殊的四边形—平行四边形；在此基础上我们对于角在给定一特殊的条件：有一个角是直角，这样我们就得到一个特殊的平行四边形—矩形。
四边形、平行四边形、矩形之间的关系如图所示：

2．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
由定义可知，矩形首先是平行四边形，因此它具有平行四边形特有性质，那么它还有其他性质吗？
当有一个角为直角时，平行四边形成为矩形时，它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线又有什么样的关系？（找到等量关系后，要先口头证明）
3．矩形的性质：
（1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的两条对角线相等
两定理的几何语言：
（1）如图，∵四边形是矩形，

（2）如图,∵四边形是矩形，

注意：性质（1）在证明过程中利用平行四边形邻角互补，对角相等，很容易证出。
性质（2）如上图证明△ABC≌△DCB即可证出两条对角线相等。

观察：如上图，在矩形中，若对角线相交于，那么根据矩形的两条对角线相等这一性质又知
所以根据矩形对角线的性质我们还得到直角三角形的一条性质定理

4．定理 ：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （这是直角三角形的重要性质）
几何语言：
∵在Rt△ABC中，，是中点，

5．矩形的面积 两邻边的积 （长宽）

例 1 如图 ，矩形 的两条对角线相交于点 ，
求：矩形对角线的长
解：∵四边形是矩形，
，AC=BD
，
又∵
∴△AOB是等边三角形

矩形对角线

例2．在矩形 中，（）点在上，且，
垂足为
求证：
分析；考虑用全等或用等腰三角形来证，连接

例3：如图，E在矩形的边AD上，若BC=BE=2CD，
求∠ECD的度数
分析：本题用到了一个定理：若直角三角的斜边是一条
直角边的二倍，则这条直角边所对的角是30°。（答案：250）

例4 ：如图，矩形 的两条对角线相交于点 ，，垂足为
若，求的度数
分析：由矩形的性质可知矩形的对角线把矩形分成
四个等腰三角形，即
解：在矩形 中，，
即
又 ∵

又∵

∵四边形是矩形，
对角线相等且平分

注：在解决特殊平行四边形的问题时，要充分考虑他们的性质，应用他们的性质，把矩形转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决

课堂练习：课本 第95页 1，2，3
三、课堂小结：
1．矩形是特殊的平行四边形，因此具有平行四边形的所有性质，作为特殊的平行四边形，还具备四个角都是直角和对角线相等这两个性质
2．由于矩形的每个角都是直角，且对角线相等、平分，因此对角线新分成的三角形或是直角三角形，或是等腰三角形
3．直角三角形的性质，在证明线段间的关系上常会使用

四、课后作业：书p102页，4、p103页，9 学探诊

课
后
反
思

课题
19.2.1矩形的判定
时间

教学目标
知识技能
掌握矩形的判定
过程方法
通过性质的逆命题来掌握得到判定方法
情感态度与能力目标
通过对一般平行四边形与矩形之间关系的探索，使学生体会一般与特殊的辩证关系
重点
矩形的判定
难点
判定的各种方法的灵活应用
学情分析

教 学 内 容 和 过 程
一、 复习引入：
问题1：如何判定一个四边形是矩形（答：定义具有双向性，所以定义可以判定
问题2：还能有其他方法说明一个四边形是矩形吗？
启发学生通过矩形的性质想到，并证明
二、 新课讲解：
思考:若已知四边形是平行四边形，应添加什么条件可以判定是矩形？
1．猜想矩形的判定，然后加以证明。
1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
2）判定1：对角线相等的平行四边形是矩形
几何语言:如图 是□ABCD的对角线，
∵
平行四边形是矩形

注意：（1）这个判定方法的前提是四边形是平行四边形，不能将其说成是对角线相等的四边形是矩形。
（2）对于判定定理的证明，可以通过上图证△ABC≌△DCB，得出∠ABC=∠DCB，再利用它们的和等于1800，得到∠ABC=900。

思考:对于任意四边形，应添加什么条件可以判定是矩形？进而思考课本96页的“思考”。
问题：四个角都是直角的四边形是矩形吗？三个角都是直角的四边形呢？

3）判定2：有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言：如图 在四边形中，
∵
四边形是矩形

说明：1.矩形相对于平行四边形而言边没有特殊性，因而不存在有关边的判定方法
2．注意三个方法的区别，一定要注意前提条件是四边形还是平行四边形。

二． 巩固提高
例 1： 下列说法中正确的是 （ （1） （4） （5） ）
（1）两组对边分别平行且有一个角是直角的四边形是矩形
（2）对角线互相平分、且一组对边相等四边形是矩形
（3）一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
（4）四个角都相等的四边形是矩形
（5）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

例 2 ：木工师傅接受了制作一个窗框的任务，要求必须是矩形，他制好后，要小明帮助检验一下是否是矩形，若你是小明你能找出至少两种容易操作且容易测量准确的检验方法吗？请写出你的检验方法
解：方法一 量其中三个角看是否是直角；
方法二 量两组对边是否分别相等，并且有一个角是否是直角；
方法三 量两组对边是否都相等，再量两条对角线是否相等
说明：因为提出是容易操作的方法，因此没有选用有关对边平行的方法

例 3：□ABCD的对角线相交于，且△ABO是边长为5的等边三角形
求：□ABCD的面积
分析：知道平行四边形的一边及两边长都是求不出
其面积的，因此要想到这可能是特殊的平行四边形
解：∵四边形是平行四边形

又∵△ABO是等边三角形

□ABCD是矩形

，

三、练习：
1. 课本 第96页 第1，2题
2.已知：如图，矩形中，，为边上一点，若△ADE沿折叠后，点恰好落在边上的处，求

3.如图，E是 □ABCD外的一点，且AE⊥EC，BE⊥ED
求证：□ABCD是矩形

分析：连结AC、BD交于点O，构造直角三角形；要证明四边形是矩形，只需证明对角线AC=BD，所以此题借助平行四边形对角线互相平分的性质找线段的中点，从而构造直角三角形斜边上的中线为证明提供条件。

四、课堂小结：
1．矩形的判定方法
1) 有一个角是直角的平行四边形
2）两条对角线相等的平行四边形
3) 有三个角是直角的四边形
2．矩形的性质与判定之间的关系
3．矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，很多关于矩形的问题，往往可以运用直角三角形和等腰三角形的知识来解决

五、作业：

课
后
反
思

课题
19.2.2菱形的性质
时间

教学目标
知识技能
1．菱形和平行四边形、矩形的区别和联系
2．掌握菱形的概念、性质及判定定理
3．会用菱形的有关知识进行计算和证明，会计算菱形的面积
过程方法
通过对生活中常见的菱形图形的研究，让学生体会菱形的定义合理性并理解菱形的性质
情感态度与能力目标
通过获得菱形的性质的实验，使学生再次感受理论来源于实际，激发学生探究知识的信心和掌握探究知识的方法
重点
菱形的概念和由它推导出的性质及判定方法
难点
菱形的性质及判定方法的灵活应用
学情分析

教 学 内 容 和 过 程
一、复习引入：
1.矩形的性质及判定方法
？
2．矩形和平行四边形、一般四边形之间的关系
3. 菱形和平行四边形、一般四边形之间又有什么关系呢？

二、新课讲解：
1．菱形的概念：
（1）菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
（2）举例：日常生活中菱形的实例 中国结，伸缩的衣帽家，
（3）课本97页让学生将一个矩形的纸对折两次，沿虚线剪下，再打开，就得到一个菱形，观察菱形
问：新得到的菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？你能从图中找出哪些线段或角相等？

2．菱形的性质—先猜想再证明，再得出性质。
菱形是轴对称图形 （它的两条对角线所在的直线就是它的对称轴）
性质1：菱形的四条边都相等
性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
几何语言：（1）∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC=CD=AD
（2）∵四边形ABCD为菱形，BD与AC为对角线
∴，分别平分别每一组对角

说明：由菱形的定义及平行四边形的对边相等易证性质（1），
利用菱形四边相等和等腰三角形三线合一的性质易得性质（2）

比较菱形的对角线和一般平行四形的对角线，你会发现：
菱形的对角线把菱形分成四个全等的小直角三角形，而一般平行四边形只被分成了全等的两对三角形，一对是锐角三角形，另一对是钝角三角形。

4．菱形面积的求法：
（1）底高； （2）对角线乘积的一半

例1．如图，菱形的周长为40，对角线长为10，试求此菱形相邻两内角的度数．
解：∵ 四边形是菱形

又∵

又∵AC=10∴△ABC是等边三角形

菱形相邻两内角的度数为60和120
小结：菱形的有关计算中，既用了平行四边形的性质，又使用了菱形特有的一些特征

例2．菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到和）
分析：由于两条小路的长即对角线的长，因此只要求出两条对角线长，本题即可解决
解：∵ 花坛是菱形

在中，（）

花坛的两条小路长

花坛的面积：

小结：由于菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形或四个全等的小直角三角形，以有关菱形的一些证明或计算问题常可以应用等腰三角形或直角三角形的知识来解决

例3．四边形是菱形，对角线于，求的长．
（利用面积求的长=24/5）

三、课堂练习 ：
1.课本98页练习1、2
2．菱形的周长为 20，一条高为2.5，求它的每个内角．
3．菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是，求菱形的各角．
4．已知：在菱形中，分别是上的点，．
求的度数．

三 课堂小结：
1． 菱形的概念
2．菱形的性质
3．菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形或四个全等的小直角三角形，有关菱形的一些证明或计算问题常可以应用等腰三角形或直角三角形的知识来解决。
四、课后作业：课本102-103页5、11、12

课
后
反
馈

课题
19.2.2菱形的判定
时间

教学目标
知识技能
掌握菱形的判定定理
过程方法
通过菱形的性质的逆命题得到菱形的判定
情感态度与能力目标
培养类比联想、逆向思维和运动的思维方法
重点
菱形的判定定理
难点
菱形的灵活应用
学情分析

教 学 内 容 和 过 程
一．复习提问：
1．菱形的性质
2．菱形、矩形和平行四边形、一般四边形之间的关系

二．引入新课
1．从菱形与平行四边形、四边形的关系入手，逆向探索菱形的判定方法
（1）从平行四边形出发，如何增加条件？让学生猜想然后进行证明
结论： 一组邻边相等的平行四边形是菱形；（定义）
判定1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（2）从四边形出发，如何增加条件？让学生猜想然后进行证明
判定2：四边都相等的四边形是菱形

说明：判定1可以利用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”来证明他的邻边相等。判定2直接利用定义来证明即可。

几何语言：(1)∵在□ABCD中，对角线BD⊥AC
∴四边形ABCD为菱形
（2）∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD为菱形

2．菱形的判定定理的应用
例1．判断下列判定菱形的说法是否正确？为什么？
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形（×）
（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形（√）
（3）对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形（×）
（4）两组邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形（×）

例2．如图，□ABCD的对角线交于点，
求证：□ABCD是菱形
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2
∴△OAB是直角三角形
AC⊥BD
∴□ABCD是菱形

说明：垂直的判定可以用勾股定理的逆定理计算得到。

例3．菱形的画法
（1）已知:线段
求作：菱形，使得其边长是
作法：画两条等长的线段，然后分别以为圆心，为半径画弧，得到两弧的交点，连接，
就画出了一个菱形．

思考：如果已知两条对角线的长，如何画出菱形？
例4：已知：平分，交于，交于．
求证：四边形是菱形．

分析：根据题意选用菱形的定义来判定，而且图中可分解出基本图形，角平分线加平行条件得出等腰三角形，由此得到一组邻边相等．

例5．如图，⊿ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，
ED⊥BC，DF∥AB，求证：四边形AFDE是菱形。
分析：利用定义证明，先证平行四边形，再证一组邻边等。

例5 已知：如图□ABCD的对角线的垂直平分线与边分别交于．
求证：四边形是菱形．
分析：利用平行四边形对边平行的性质和已知条件得出
△AOF≌△COE
（1）先判断出四边形为平行四边形，再利用判定定理证出
（2）也可以利用定义或另一个判定定理证明，以开阔学生思路

练习：课本 第100页 第1，2，3题

三．小结：
1．菱形的判定方法
2．对比菱形与矩形的定义、性质、判定

矩形
菱形
定义

性质
边

角

对角线

判定
边

角

对角线

四、课后作业：

课
后
反
思

课题
19.2.3正方形
时间

教学
目的
知识技能
使学生了解正方形的概念、性质和判定，并能运用性质与判定解决相关问题
过程方法
通过与矩形、菱形比较的方法获得其性质与判定方法，使学生体会类比思想
情感态度、价值观
通过学生对正方形性质的探索，让学生感受到正方形的完美

重点
正方形与矩形、菱形之间的关系
难点
利用正方形的性质与判定证明有关命题
学情分析
发现、探究、讨论、归纳
教学过程
一、 复习引入
1．复习平行四边形、矩形、菱形的性质和判定
2．矩形和棱形都是特殊的平行四边形，矩形特殊于角，菱形特殊于边，如果同时满足四个角是直角、四条边都相等，这样的几何图形就是——正方形．
二、新课
思考：正方形是矩形吗？如何使一个一般的矩形成为正方形？
正方形是菱形吗？如何使一个一般的菱形成为正方形？
1．定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形．
或者：有一个角为直角的菱形叫正方形．
所以：正方形既是矩形又是菱形．
P101思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
讨论：如何用列表或框图表示这些关系？

2．正方形的性质
（因为正方形既是矩形又是菱形，所以正方形应既有矩形的性质又有菱形的性质）
（1）对边平行且相等
（2）各角都是90º
（3）对角线相等且互相垂直平分
（4）对角线平分每一个内角
（5）对称性：
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴．
也是中心对称图形，对角线交点是对称中心．
3．图形特征：
正方形一条对角线分正方形为两个全等的等腰直角三角形，
正方形两条对角线分正方形为四个全等的等腰直角三角形．
4．面积：
5．正方形的判定：
既要判定是矩形，也要判定是菱形．
（1）先判定是矩形，再证明邻边相等或对角线互相垂直；
（2）先判定是菱形，再证明有一个角是直角或对角线相等；
（3）一组邻边相等、一个角是直角的平行四边形．
三、例题和练习
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 ．
已知：如图所示：四边形是正方形，对角线相交于点
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形
证明：四边形是正方形，

△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是
全等的等腰直角三角形

例2．如图，正方形中，是延长线上一点，且，交于点．试求的度数．
解：四边形是正方形，
，平分
，
，
，

例3．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，CF=AE，∠A=45°，求证：四边形BECF是正方形.

证明：∵EF垂直平分BC
∴BF=CF，BE=CE
∴∠1=∠2
∵∠ACB=90°，∠A=45°
∴∠1=∠2=45°
∴∠3=∠A=45°
∴∠2=∠3
∴CE=AE=BE
∵CF=AE
∴BE=EC=CF=BF
∴四边形BECF是菱形
∵∠CEB=90°
∴菱形BECF是正方形
练习：P101练习1、2、3

四、小结：
1．归纳正方形的性质和判定；
2．四种图形之间的关系．
五、作业：P102、7、8、13、15、17

课后反馈

课题
19.2.3正方形
时间

教学
目的
知识技能
使学生掌握正方形的概念、性质和判定，并能运用性质与判定解决相关问题

过程方法
通过实验与探究培养学生用运动变化的意识分析问题
情感态度、价值观
发展学生的合作交流能力

重点
利用正方形的性质与判定证明有关命题
难点
利用正方形的性质与判定证明有关命题
学情分析

教学过程
一、复习：
正方形的性质、判定．
练习：
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
．对角线互相平分 ．四角都相等
． 四条边都相等 ．对角线互相垂直
2．下列说法中，不正确的是 （ ）
．邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
．对角线互相平分的四边形是平行四边形
．菱形的对角线互相垂直
．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
3．能够找到一点，使该点到各边距离相等的图形是 ：①平行四边形 ②菱形
③矩形 ④正方形 （ ）
．①与③ ．②与③ ．②与④ ．③与④
4．一个正方形，若它的边长为，则它的面积为，若它的对角线长为，则它的面积为
二、引入新课：
正方形具有轴对称性和中心对称性，相等的线段和相等的角多，可用条件多，在证明题和解答题中，要能够依据正方形的性质集中条件解决问题．

例1．已知：如图，在正方形中，，，
求：的度数．
分析：把MN平移，得到全等三角形

解：过点B作BN’∥MN交AD于N’
∵正方形ABCD中，AD∥BC
∴BN’=MN
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°
∴△ABN’≌ △BCE（HL）
∴∠ABN’=∠BCE=38°
∴∠AN’B= 90°-∠ABN’=52°
∴∠ANM=∠AN’B=52°

如图，一边长25cm的正方形纸片，AD上有一点P，且AP=6，折这纸片使点B落到点P上，求折痕EF的长.（29）

例2．如图，△AMN内接于正方形ABCD，若∠MAN=45º，AB=10，MN=8，
(1)求证：DN+BM=MN.
(2)求△CMN的面积.
分析：把△ADN旋转为△ABN’，
得到全等三角形
（1）证明：
在CB延长线上截取BN’=DN，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90 º，
∴∠ABN’=180 º-∠ABC=90 º
∴△ ABN’ ≌△AND（SAS）
∴AN’=AN，∠N’AB=∠NAD
∵正方形ABCD中，
∠BAD=90 º，∠MAN=45º，
∴∠N’AM=∠BAN+∠AND=45 º，
∴△ MAN’ ≌△MAN（SAS）
∴MN=MN’=BM+DN
（2）解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=10，
∴
∵△ ABN’ ≌△AND
∴
∵MN’= MN=8，
∴
∴
练习：1．书P105实验与探究

例3．如图，四边形ABCD为边长为8的正方形，E为AD上一点，AE=2,请在对角线BD上找一点F,使AF+EF最小，并求其最小值.

解：连接CE交BD于点F，点F即所要作的
∵BD是正方形ABCD对称轴，点A、点C是对称点，
∴AF=CF
∴AF+EF=EC
在Rt△CDE中，CD=AD=8，AE=2，
∴DE=6，
∴CE=10
AF+EF最小值为10

三、小结：本节课的例题用到了平移、旋转、轴对称来解决问题，图形变换能够帮助我们集中条件，因为正方形本身具有对称性，所以在正方形的有关题目中，图形变换是一种常用思路．

四、作业：

课后反馈

课题
梯形

教学目标
知识技能
掌握梯形相关概念及等腰梯形的性质
过程方法
通过观察等方法让学生发现等腰梯形的性质
情感态度与能力目标
通过梯形问题转化为三角形问题让学生体会转化思想在数学中的作用，使学生领悟转化是解决问题的重要方法
重点
等腰梯形的性质
难点
等腰梯形问题转化为三角形问题
学情分析

教 学 内 容 和 过 程
一、引入新课：
看书P106图，图中是什么图形？有什么共同特点？
二、新课：
画一个梯形，通过画法，说一说什么是梯形．
1．梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形．
问：它与平行四边形的联系与区别是什么？
图形的各部分名称：上底、下底、腰、底角、梯形的高
在下列梯形中，标出以上名称：

2．特殊梯形：等腰梯形——两腰相等的梯形叫等腰梯形．
直角梯形——有一个角是直角的梯形叫直角梯形．
分别画出等腰梯形和直角梯形．
观察：等腰梯形是轴对称图形吗？如果是，对称轴在哪里？根据图形，你能说出哪些线段和角相等吗？如果再把它的两条对角线连接起来，还能得到哪些线段与角相等呢？
3．等腰梯形性质：
等腰梯形是轴对称图形，过上、下两底中点的直线是它的对称轴，
1）等腰梯形同一底上的两个角相等
2）等腰梯形的两条对角线相等
等腰梯形性质的符号语言
如图，在等腰梯形中

如图，在等腰梯形中

如何证明这两个性质
分析：第一个性质，本题的条件是，要证明的结论是同一底上两角相等（）由边的相等来证明角的相等可用等腰三角形来证明，可以两相等的线段不在同一个三角形中，你能有什么方法解决这个问题？可通过平移，使两条相等的线段聚集到一个三角形中
证明：过点作交于点
，
四边形 是平行四边形，

同理可证
利用全等得性质2
小结：通过作腰的平行线可以把分散在四边形中的条件集中到一个三角形中,
这个