河南省郸城县光明中学九年级数学下册 29.1.1 几何问题的处理方法教案（1） 华东师大版.doc

29.1.1几何问题的处理方法（1）

重点：合情推理与逻辑推理的方法是教学重点。
难点：合情推理与逻辑推理的方法。
【教学过程】：
一、给出问题，学习讨论，回忆
现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三
角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，如图(2)所示，你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论。

可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论：
(1)等腰三角形是轴对称图形
(2)∠B＝∠C
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线。
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
(5)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线。
结论(2)用文字如何表述?
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归结为什么?

结论是：
等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合 (简称“三线合一”)。

以上这种推理方法叫合情推理方法，是我们研究几何图形的一种基本方法。下面我们结合我们已经学过的相关问题来说明什么叫逻辑推理方法。

已知：如图(2)，在△ABC中，AB＝AC。求证：∠B＝∠C。

证明：画∠BAC的平分线
∵AB＝AC(已知)
∠1＝∠2(画图)
AD＝AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(SAS)
∴∠B＝∠C

这个例中的每一个过程都是逻辑推理过程，它们都是从上一步的条件得出下一步结论的，换言之就是没有上面的条件就不会有下一步的结论。
逻辑推理是需要依据的，我们用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，于是我们第一步就想到了公理和已经证明是正确的定理。

二、用逻辑推理方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理
1．等腰三角形的判定定理。
已知：如图(1)，在△ABC中，∠B＝∠C；
求证：AB＝AC。
分析：要证明两条线段相等，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边。基于这种想法，同学们会想到画什么样的辅助线呢?
同学的回答可能是以下三种；
(1)取BC的中点D，连结AD；
(2)画∠BAC的平分线AD；
(3)过顶点A作底边BC的高线AD。
老师就第(2)种给出以下证明：
证明：画∠BAC的平分线AD。
在△BAD和△CAD中
∵∠B＝∠C(已知)
∠1＝∠2(画图)
AD＝AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(AAS)
∴AB＝AC
请同学们给出第(3)种添加辅助线的证明过程，并就第(1)种的添加方法证明AB＝AC是否可行，展开讨论。
由于以上的等腰三角形的识别方法是经过逻辑推理证明它是正确的，而且在今后的其他命题证明中经常用到，所以我们把它称为等腰三角形的判定定理，即：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为(“等角对等边”)。

2．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
已知：如图(3)，在△ABC和△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，AB=A'B'，AC=A'C'。
求证：△ABC≌△A'B'C'

分析：把△ABC和△A'B'C'拼在一起，使相等的的直角边AC和A'C'重合在一起，并使点B和点B'在A'C'的两旁，B、C(C')、B'在一条直线上，由上述图形，利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的识别方法，即可证明这两个直角三角形全等。
证明：像图(3)一样，把△ABC和△A'B'C'拼在一起。
∵∠A'C'B'=∠ACB＝90°(已知)
∴∠B'C'B＝180°
∴点B'、C'、B在同一条直线上。
在△A'B'B中，因为
∵A'B'＝AB＝A'B(已知)
∴∠B=∠B'(等边对等角)
在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠ACB=∠A'C'B'(已知)
∠B＝∠B'(已证)
AB=A'B'(已知)
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)
斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

三、课堂练习
1. 求证；等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°。
2．求证；三个角都相等的三角形是等边三角形。
四、小结
本节课我们用推理证明的方法证明了等腰三角形的性质定理、判定定理和直角三角形的判定定理“HL”，要求同学们初步掌握命题证明的步骤、方法。体会逻辑推理证明重要性。
五、作业（略）
补充作业：
1：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，BD＝CF，CD＝BE，G为EF中点，连结OG，问DG与EF之间有何关系?证明你的结论。

2．已知点D为等边△ABC内一点，且AD＝CD，PC＝AC，DC平分∠BCP，求∠P的度数。
3．如图，点C在线段AB上，△ACM和△CBN是等边三角形，AN交MC于P，BM交CN于Q，连结PQ，试判断△PCQ的形状．并证明你的结论。

六、课后反思：