浙教版九年级数学下册 三角形的内切圆44.doc

三角形的内切圆
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．使学生学会作三角形的内切圆．2．理解三角形内切圆的有关概念．3．掌握三角形的内心、外心的位置、数量特征．4．会关于内心的一些角度的计算．
(二)能力训练点
1．通过作三角形的内切圆，培养学生的作图能力．2．在7．2二节中我们曾经学过三角形的外接圆的有关知识：
(1)定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形叫做圆的内接三角形．
(2)外心：外接圆的圆心叫三角形的外心．
(3)外心是什么的交点？外心是三角形三边垂直平分线的交点．
(4)外心的数量特征？外心到三角形三个顶点的距离相等．
(5)外心的位置：
①锐角三角形的外心在三角形的内部．②直角三角形的外心在斜边中点．③钝角三角形的外心在三角形的外部．
本节将初步培养学生能将三角形外接圆的五个方面应用类比的数学思想方法迁移到三角形的内切圆上来．
(三)德育渗透点
向学生渗透一切事物都依据一定的规律运动存在着，揭示一件事物，必须揭示其本质，才能从根本上认识它．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：掌握三角形内切圆的画法、理解三角形内切圆的有关概念．同三角形的外接圆一样，务必使学生准确掌握三角形内切圆的画法．
2．难点：画钝角三角形的内切圆，学生极有可能画出与三角形的边相交或相离的情形．
3．疑点：为什么三角形的内切圆是唯一的，而圆的外切三角形却有无数个？为解决这一疑点，必须结合具体图形．三角形的内切圆唯一，是因为它的三个角的平分线交于唯一一点，即内切圆的圆心唯一．而一个圆的外切三角线只要保持三边与圆相切就可以了，并不需要具体的切点，所以它有无数个．
三、教学步骤
(一)明确目标
我们已经学习过三角形的外接圆的画法及有关概念，现在我们用同样的思想方法来研究三角形的内切圆的画法及有关概念．
(二)整体感知
在一块三角形的纸片上，怎样才能剪下一个面积最大的圆呢？实际上它就是作图问题：
例1  作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
已知：△ABC．
求作：和△ABC的三边都相切的圆．

让学生展开讨论，教师指导学生发现，作圆的关键是确定圆心，因为所求圆与△ABC的三边都相切，所以圆心到三边的距离相等，显然这个点既要在∠B的平分线上，又要在∠C的平分线上．那它就应该是两条角平分线的交点，而交点到任何一边的垂线段长就是该圆的半径．
学生动手画，教师巡视．当所有学生把锐角三角形的内切圆画出来时，教师可打开计算机或幻灯机给同学们作演示，演示的过程一定要分步骤进行．然后学生按左右分别画直角三角形和钝角三角形的内切圆．这时学生在画钝角三角形的内切圆时，可能出现与边相交或相离的情形，这很正常，教师要帮助学生加以纠正，并最终指导学生完成下列问题：
l．三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2．多边形的内切圆、圆的外切多边形：
和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
3．内心是什么的交点？
内心是三角形三个角的平分线的交点．
4．内心有什么数量特征？
内心到三角形各边的距离相等．
5．内心的位置：三角形的内心都在三角形的内部．
(三)重点、难点的学习与目标完成过程．
关于三角形内切圆的有关概念，与三角形的外接圆类似，三角形的内切圆是直线和圆的位置关系中的一个非常重要的位置．待学生理解了有关概念后，可在黑板上采取对比的方式．如：
三角形的外接圆   三角形的内切圆
1．定义                                    1．定义
2．外心                                    2．内心
3．圆的内接三角形                          3．圆的外切三角形
4．外心是谁的交点                          4．内心是谁的交点
5．外心的数量特征                          5．内心的数量特征
6．外心的位置                              6．内心的位置
7．三角形外接圆的画法                     7．三角形内切圆的画法
8．外接圆的唯一性与内接三角形的多重性
8．内切圆的唯一性与外切三角形的多重性．
练习一，O是△ABC的内心，则OA平分∠BAC对不对？为什么？
练习二，O是△ABC的内心，∠BAC=100°，则∠OAC=50°，对不对？
练习三，∠OAC=40°，则∠B+∠C等于多少度？
教材P、114中例2中如图7-63，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是内心，求∠BOC的度数．

分析：此例题是边推理边计算的问题，教师在指导学生运用内心的性质的同时，也应指导学生的解题步骤．
解：

答：∠BOC=117.5°．
练习四，O是△ABC的内心，∠A=80°，求∠BOC的度数．

解：

这是一组强化三角形内心性质的习题，逐题增加了灵活度，教学中也可就不同班级选用．
(四)总结、扩展
学生阅读教材后总结出本课的主要内容：
1．会作各种三角形的内切圆．
2．定义三角形的内切圆、内心及圆的外切三角形．
3．内心是谁的交点：位置如何？它有什么位置关系？
四、布置作业
(1)教材P．116中10、11、12．
(2)教材P．117B组3．
五、板书设计

六、习题质考答案
教材P．116中10．求证(1)等边三角形内心也是它的外心；

(2)等边三角形的外接圆半径R是内切圆半径r的2倍．
将上边题表示为教学语言：
已知：△ABC，AB=AC=BC，O是它的内心，OD⊥BC
求证：(1)O是△ABC的外心．
(2)OB=2OD．

OA=OB=OC
O是△ABC的外心．

即R=2r
教材P．117中11．如下图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，

证明：连结IF、IE．

∠A+∠FIE=180°

P．117中12．如下图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D．
求证：DE=DB

证明：连结EB、DB
E是△ABC的内心

DB=DE．
P．117B组3，如下图，点I是△ABC的内心，AI交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．
求证：IE是AE和DE的比例中项．

提示：欲让IE是AE和DE的比例中项，只须证IE2=AE×DE．而由P．117第12题结论，IE=BE，所以可证BE2=AE×DE，故只须证△BDE～△ABE即可．
七、参考资料
本节练习一、二、三、四均为自编．