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《第四章 实数》教案
【课标要求】
1．了解无理数与实数的意义；
2．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用；
3．能利用化简对实数进行简单的四则运算；
4．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；
5．掌握有理数的运算法则在实数范围内仍然适用；
6．能利用实数的性质熟练地进行四则运算；
7．注意：（1）无理数应满足：①是小数；②是无限小数；③不循环；
（2）无理数不是都带根号的数（例如π就是无理数），反之，带根号的数也不一定都是无理数（例如，就是有理数）．
【知识网络】
（1）按实数的定义分类：
（2）按实数的正负分类：
【知识要点】
1．实数的性质
（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；
（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；
（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；
（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同．
2．实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．
3．实数的分类
4．实数的大小比较
两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．
实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．
【典型例题】
例1若为实数,下列代数式中,一定是负数的是( )
A. －2 B. －( +1)2 C.－ D.－(+1)
分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于为实数, 2、( +1)2、均为非负数，∴－2≤0，－( +1)2≤0，－≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A、B、C不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(+1)﹤0．故选D
例2 实数在数轴上的位置如图所示,
化简:=
分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤﹤2,于是
所以, =－1+2－=1.
例3 如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ）
A. －2 B. 2－
C. －3 D.3－
分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B、C两点关于点A对称，因而B、C两点到点A的距离是相同的，点B到点A的距离是－1，所以点C到点A的距离也是－1，设点C到点O的距离为，所以+1=－1，即=－2．又因为点C所表示的实数为负数，所以点C所表示的实数为2－．
例4 已知、b是有理数，且满足（－2）2+=0，则b的值为
分析：因为（－2）2+=0，所以－2=0，b－3=0。所以=2， b=3；所以b=8。
【知识运用】
一、填空题：
1.已知,则的相反数是 ； 的倒数是 ；若在数轴上表示,它在原点的 侧(填“左”或“右”)；且到原点的距离是 .
2. 在两个连续整数和b之间, ﹤﹤b,那么、b的值分别是 .
3. (创新题)观察下列算式:
21=2； 22=4； 23=8； 24=16；
25=32； 26=64； 27=128； 28=256；………
通过观察,用你所发现的规律写出22007的末位数字是 图1
4．如图1，是一个正方体纸盒的展开图。若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次为
5．某年的某个月中有5个星期三，它们的日期之和为80（把日期看作两位数，
如22日看作数22），那么这个月的3号是星期 ．
6．
二、选择题：
7．以数轴的单位长度1为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A.1.5 B. 1.4 C. D.
8．下列结论正确的是（ ）
A.∵ ，∴ ﹥b B.
C. 与不一定互为相反数 D. +b﹥－b
9．请你估算的大小（ ）
A.1﹤﹤2 B. 2﹤﹤3 C. 3﹤﹤4 D. 4﹤﹤5
10．若数轴上表示数的点在原点的左边，则化简的结果是（ ）
A.－ B. －3 C. D. 3
三、解答题：
11．已知、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于1，求+b+x2－cdx的值．
12．已知、b互为相反数，c、d互为倒数，x、y满足，求的值．
13．如图2，数轴上表示1和的点分别为A和B，点B关于点A的对称点为C．设C点所表示的数为x，求x+的值．
图2
14．按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？
（1）填写表内空格：
输入x
3
2
－2
……
输出答案
1
1
……
（2）你发现的规律是
（3）用简要的过程证明你发现的规律．
第2讲 实数的有关运算
【知识要点】
1.理解零指数幂和负整数指数幂的概念,掌握实数的运算法则,并能熟练地进行计算.
2．实数的运算
在实数范围内，加、减、乘、除（除数不能为0）、乘方五种运算都可以进行，各种运算律在实数范围内仍然适用；但开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方．
3.对于实数的运算应注意:
(1) 实数的混合运算中,应先确定运算的符号及顺序,再进行运算,有小数的一般将其化
为分数较为简单；
(2) 熟练掌握实数的运算需做到三点：一是熟悉运算律（包括正向与逆向）；二是灵活运
用各种运算法则；三是掌握一定的运算技巧；
（3）注意零指数、负整数指数幂的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算，关键是把好符号关．
4．实数的绝对值
正实数的绝对值等于它本身；负实数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值是零．
【典型例题】
例1 计算下列各式：
(1)
(2)
解：(1)原式=－1+1－2×+1=1；
(2) 原式=（－8）×9+1++4=－72+1+3+4=－64．
例2 比较－与－1的大小．
分析：比较－与－1的大小，可先将各数的近似值求出来，
即－≈1.732－1.414=0.318，－1≈1.414－1=0.414，再比较大小。
例3 阅读下面的材料，并解答下列各题：
在形如的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知和b，求N，这是乘方运算；②已知b和N，求，这是开方运算。现在我们研究第三种情况：已知和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果（﹥0，≠1，N﹥0），则b叫做以为底N的对数，记作b=．
例如：因为23=8，所以=3；因为2－3=，所以=－3．
Ⅰ．根据定义计算：①= ②= ③=
④如果=4，那么x=
Ⅱ．设则（﹥0，≠1，M﹥0，N﹥0），
∵∴，
∴，即．
这是对数运算的重要性质之一，我们可以进一步得出：
= （其中﹥0，≠1，M1，M2，M3，……Mn均为正数），= （﹥0，≠1，M﹥0，N﹥0）．
分析：从所学的知识中引申出一系列新知识，是培养学生获取数学知识能力的捷径之一．如本例，从形如的等式出发，介绍了乘方运算和开方运算，考生只要认真阅读所提供的材料，不难从对数定义及其运算性质获知：
Ⅰ．①=4， ②=1， ③=0。
④从乘方运算与对数运算互为逆运算获知：
如果=4，那么x4=16，即x=2．
Ⅱ．易推得：=；
=．
【知识运用】
一、填空题：
1. 计算:cos60º+(cot45º)－2+=
2.用计算器比较大小: (填“﹤”、“=”或“﹥”).
3.已知,则,b,c三数的大小关系是
4.已知、b互为相反数，c、d互为倒数，且x－2=1，=2，则式子
的值是
5．下面是一个有规律排列的数表：
第一列 第二列 第三列………第n列
第一行 ， ， ，………
第二行 ， ， ，………
第三行 ， ， ，………
………………
上面数表中第九行，第七列的数是
6．（观察下列各等式:
=2； =2； ＝２；＝２；
依照以上各式成立的规律，在括号中填入适当的数，使等式＝２成立．
二、选择题：
7．设则、b、c的大小关系是（ ）
A. ﹥b﹥c B. ﹥c ﹥b C. c ﹥b﹥ D. b﹥c﹥
8．小明的作业本上有以下四题：①；②；
③；④．做错的题是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
9．现规定一种新的运算“*”：*b=b，如3*2=32=9，则*3等于（ ）
A. B. 8 C. D.
10．若“！”是一种运算符号，且有1！=1；2！=2×1；3！=3×2×1；4！=4×3×2×1；………则（ ）
A．2006 B．2005 C．2004 D．以上答案都不对
11．下列运算：① （－3）3=－9； ② （－3）－2=9； ③ 23×23=29；
④ －24÷（－2）2=（－2）2=4； ⑤；⑥ 5÷×6=5÷1=5；
其中错误的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
三、解答题：
12．计算：
13．若规定一种新的运算“*”：*b=+b+b，求〔（－1）*1〕*2的值．
32， ，π，-23，
14．在图1的集合圈中，有5个实数，请你计算其中的有理数的和与无理数的积的差．
图1
实数专题测试
一、选择题:
1.某专卖店在统计2005年第一季度销售额时发现二月份比一月份增加10%,三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份( )
A. 增加10% B. 减少10% C. 不增不减 D. 减少1%
2.实数,, +1,2π, ()0,中,有理数的个数是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3.从A地到C地,可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从A地到B地,有2条水路、2条陆路，从B地到C地,有3条陆路可选择，走空中从A地不经B地可直接到C地,则从A地到C地可供选择的方案有（ ）
A. 20种 B. 8种 C. 5种 D. 13种
4．下列说法正确的是（ ）
A. 负数和零没有平方根 B. 的倒数是2009
C. 是分数 D. 0和1的相反数是它本身
二、填空题：
5．写出和为6的两个无理数 （只需写出一对）
6．观察下面一列有规律的数：
………根据这个规律可知第n个数是 （n是正整数）．
7．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，离O点的距离是 米．
8．
9．我们平常用的数是十进制数，如：2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码：0，1，如二进制中，101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5，
10111=1×24+0×23+1×22+1×21+1×20等于十进制的数23．
那么二进制中的1101等于十进制的数是 ．
三、解答题：
10．计算：(－2)2－（）－1×+（1－）0
11．（1）通过计算比较下列各组数中两个数的大小：
12 21； 23 32； 34 43； 45 54； 56 65；
（2）从（1）题的结果，通过归纳可以猜想出nn+1与（n+1）n的大小关系；
（3）根据（2）的结论，试比较两个数的大小：20052006与20062005．
12．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表累进计算：（纳税款=应纳税所得额×对应的税率）。按此规定解答下列问题：
(1)设甲的月工资、薪金所得为x元（1300﹤x﹤2800），应缴纳税款为y元，试写出y
与x之间的关系式；
(2)若乙一月份应缴纳所得税款95元，那么他一月份的工资、薪金所得为多少元？
应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
………
…………
参考答案
第1讲
二、 7．D 8．C 9．C 10．A
三、11．∵a+b=0 cd=1 , |x|=1 , ∴x=1或x=－1 ,
∴原式=0+x2－x , 当x=1时，结果为0 ；当x为－1时，结果为2
12．∵a+b=0 cd=1 整理得 |x－|+(y+2)２=0 ∴x－=0 y+2=0
∴x= y=－2
∴原式=0－［12009（－2）］+（0+1）×（－2）2－××（－2）=2+4+4=10
13、－1=1－x ∴x =2－ 带入得x+=2－+2+=4
14、〈1〉当x=－2时，结果为1；当x= 时，结果为1
〈2〉经过这个计算后，无论x取何值（ 除0），结果都为1。
〈3〉（x2+x）÷ x－x =（x＋1）×x÷x （∵x≠0）
=x＋1－x =1
第2讲
一： 1、2、< 3、c<b<a 4、－2 5、 6、
二、 7、A 8、D 9、A 10、A 11、C
三：12、 －（－2）－1＋|－２|=＋2－1＋2－=3
13、原式=［－1＋1＋（－1）×1］+2+［－1＋1＋（－1）×1］×2
=－1＋2＋（－1）×2=1－2 =－1
14、有理数：32，－23 无理数：，π，
∴（32－23）－（×π×）=1－2π
专题测试
三：10、 原式=4－×＋1=4－2＋1=3
11、(1)12<21 , 23<32 , 34>43 , 45>54 , 56>65
(2)当n为小于等于2的正整数时nn＋1 <（n＋1）n
当n为大于2的整数时nn＋1>（n＋1）n
(3)20052006>20062005
12、〈1〉∵1300<x<2800 ∴应纳税所得额在500~2000 之间。
y=x－(x－800) ×10%= x－(0.1x－80) = 0.9x＋80(1300<x<2800)
〈2〉95÷15%≈633.3（元） ∴633.3不在2000~5000范围内，所以不符合。
95÷10%≈950（元）符合 所得工资950＋800－95＝1665（元）
95÷5%＝1900（元） ∵1900元不在小于500范围内所以不符合。
答：他一月份的工资、薪金所得为1655元。
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