1、第十七章 勾股定理17.1 勾股定理（第1课时）教学目标1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算. 过程与方法1.在勾股定理的探索过程中,经历观察猜想归纳验证的数学发现过程.2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.情感、态度与价值观通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀重点与难点【重点】探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【难点】用拼图的方法验证勾股定理.教学准备【教师准备】
2、教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板、方格纸、三角形模型.新课导入:国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.大会的会徽图案有什么特殊含义呢?这个图案与数学中的勾股定理有着密切的关系.中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.上述图案就揭示了“勾”“股”“弦”之间的特殊关系.我们学习过等腰三角形,知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形,它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方法,直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,
3、直角三角形的三边之间存在怎样的关系呢?我们的探究活动就从等腰直角三角形开始吧.请同学们认真观察课本封面和本章章前彩图,说一说封面和章前彩图中的图形表示什么意思?它们之间有联系吗?封面是我国公元3世纪汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的“弦图”,章前彩图是2002年世界数学家大会的会徽,大会的会徽使用的主体图案就是“赵爽弦图”.目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是
4、非常了不起的成就.你知道为什么把这个图案作为这次大会的会徽吗?本节课,我们一起来解读图中的奥秘.如图所示,一座城墙高11.7m,城墙外有一条宽为9m的护城河,那么一架长为15m的云梯能否达到城墙的顶端?这就是我们今天所要学习的内容,一个非常重要的定理“勾股定理”.1.探索勾股定理(1)探索等腰直角三角形三边之间的关系.教师:这个地面图案中有大大小小、各种“姿势”的正方形.毕达哥拉斯在这些正方形中发现了什么呢?(出示教材图17.1-2)(1)问题提出:在图17.1-2中,是以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形.这三个正方形面积之间存在怎样的关系?三个正方形之间的面积关系说明了什么?(2)学生活
5、动:质疑、猜测、探索、交流三个正方形面积之间的关系.学生的探索方法可能是:通过数正方形内等腰直角三角形个数的办法,得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.(3)教师总结:通过直接数等腰直角三角形的个数,或者用割补的方法将小正方形中的等腰直角三角形补成一个大正方形,得出结论:小正方形的面积之和等于大正方形的面积,也就是等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.(2)探索具体边长的非等腰直角三角形三边之间的关系.(出示教材图17.1-3)提出问题:(结合带提示的下图)1.正方形A,B,C的面积分别是多少?它们之间的数量关系说明了什么?2.正方形A,B,C的面积分别是多少?它们之间的数量
6、关系说明了什么?学生活动:依据教材探究的提示,根据直角三角形的边长,分别计算出正方形A,B,A,B的面积;再通过建立一个大正方形计算出正方形C,C的面积.探究提示:正方形A,B的面积分别为4和9,通过建立边长为5的正方形,计算出正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C的面积为13.同理,正方形A,B的面积分别为9和25,通过建立边长为8的正方形,计算出正方形C的面积为64减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C的面积为34.活动总结:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.1.画一个两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形ABC,用刻度尺量出AB的长.再画一个
7、两直角边长分别为5和12的直角三角形ABC,用刻度尺量AB的长.你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系?学生计算后发现:32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.学生讨论:对于任意的直角三角形,也有这个性质吗?2.如图所示,每个小方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C的面积,看看能得出什么结论.A的面积B的面积C的面积左上图16925右下图4913探究提示:右下图正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和12,也就是正方形C的面积为13.左上图亦是同样的思考方法.学生计算后发现:小正方形A,B的面积之和等于大正方形C的面积.追问:由以
8、上你能得出什么结论?若直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则a,b,c有什么关系?教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.数学表达式为:a2+b2=c2.2.勾股定理的证明教师提问:对于任意直角三角形三边之间应该有什么关系?教师引导学生猜想:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.追问:以上直角三角形的边长都是具体的数值,一般情况下,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,我们的猜想仍然成立吗?思路一(出示教材图17.1-5)让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图所示的图形,利
9、用面积证明.图中大正方形的面积是c2,直角三角形的面积是ab,中间正方形的面积为(b-a)2,则有c2=ab4+(b-a)2,即a2+b2=c2.教师适时介绍:这个图案是公元3世纪汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出:四个全等的直角三角形(朱实)可以按如图所示围成一个大正方形,中间部分是一个小正方形(黄实).我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形.教师在学生归纳基础上总结:直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.中国人称它为“勾股定理”,外国人称它为“毕达哥拉斯定理”.学生利用拼图游戏验证定理,并思考:能用右图证明这个结论吗?已知:在ABC中,AC
10、B=90,BAC,ABC,ACB的对边分别为a,b,c.求证:a2+b2=c2.(1)让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明.(2)拼成如图所示,其等量关系为4ab+(b-a)=c2,化简可证.(3)发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明.利用下面这些图也能证明这个结论吗?教师指导学生验证.我们证明了以上结论的正确性,我们就可称之为定理,这就是著名的“勾股定理”.课堂小结师生共同回顾本节课所学主要内容:1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.2.注意事项:(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.(2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错.(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长,即c=,b=,a=.布置作业【必做题】教材第24页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第1题.【选做题】完成教材第30页勾股定理的几种证法的证明过程.教学后记：
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