资源描述
课题：6.4.1. 数据的离散程度
教学目标：
1、掌握刻画数据离散程度的“极差”“方差”“标准差”三个量度，会计算“方差”与“标准差”。
2、经历对数据处理的过程，发展初步的统计意识和数据处理能力，根据极差、方差、标准差的大小解决问题，培养学生解决问题的能力。
3、通过解决生活中的数学问题，逐步培养认真细致的学习态度和用数据说话的求实精神，培养与数据打交道的情感，并体验数学与生活的联系。
教学重点与难点：
重点：会用公式计算方差，并在具体问题情境中加以应用。
难点：理解极差、方差的含义及方差的计算公式，并准确运用解决实际问题。
教法与学法：
教法：采用引导发现,比较,巩固练习,通过一个实际问题情境的导入和比较，抓住重点，突破难点。
学法：采用引导观察分析,比较鉴别,练习巩固,以及引导自学的方法，注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与活动的时间和空间。
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
一、创设情境，导入新课
学习内容：播放习近平主席访问俄罗斯时检阅俄罗斯仪仗队的视频：
我们知道接受检阅的仪仗队必须精挑细选，整齐划一，特别注重队员的身高，下面有两组仪仗队，准备抽取其中一组参与检阅。已知这两组仪仗队队员的身高（单位：cm）如下： 甲队
乙队
甲队
178
177
179
178
178
177
178
178
177
179
乙队
178
177
179
176
178
180
180
178
176
178
你认为哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？
【处理方式】：学生观看视频和实际问题，热情高涨，积极进行计算，通过计算两个仪仗队队员的身高的平均数、中位数、众数都是178 cm，无法利用这些数据做决定，引发思考和提升解决问题的兴趣。
师：由此可知，用数据的平均水平来解决这个问题是不适合的，你还能从哪些方面分析，来比较他们的身高呢？由此引出本课课题——数据的离散程度。
【设计意图】:通过生活中的一个实例提出问题，吸引学生的注意力，更容易激发学生的兴趣，引起学生的思考。这个问题学生很自然想到利用平均数做出选择，结果却发现两个队队员的平均身高一样，这样学生原有的知识与遇到问题情境产生知识碰撞，从而引发进一步学习新知识的欲望。
二、探究学习，感悟新知
学习内容1：刻画数据离散程度的统计量：极差
2001年7月3日，我国加入“WTO”．当我们正欢庆的时候，出口加工行业协会已经做好了提高农副产品的国际竞争能力的准备，对农副产品的规格进行了划分。
某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2个厂家提供资源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近。质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
把这些数据表示成下图：
（1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量是多少？
（2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图中画出表示平均质量的直线。
（3）从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值是多少？它们相差
几克？从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值呢？它们相差几克？
（4）如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪家公司的鸡腿？说明理由！
【处理方式】：此环节通过放手让学生在小组内进行交流发现的问题，并进行讨论解决，教师可关注有问题冲突小组的讨论过程，并适时予以指导和点拨。
【参考答案】:
1：（1）根据20只鸡腿在图中的分布情况，可知甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量分别为75 g.
2：（2）设甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量甲, 乙,根据给出的数据，得
甲=75+［0－1－1+1－2+1+0+2+2－1－1+0+0+1－2+1－2+3+2－3］=75+×0=75（g）
乙=75+［0+3－3+2－1+0－2+4－3+0+5－4+1+2－2+3－4+1－2+0］=75+×0=75（g）
3：（3）从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是78 g,最小值是72 g，它们相差78－72=6 g；从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是80 g，最小值是71 g，它们相差80－71=9（g）。
4：（4）如果只考虑鸡腿的规格，我认为外贸公司应购买甲厂的鸡腿,因为甲厂鸡腿规格比较稳定，在75 g左右摆动幅度较小。
【总结提炼】:在我们的实际生活中，会出现上面的情况，平均值一样，这里我们也关心数据与平均值的离散程度。也就是说，这种情况下，人们除了关心数据的“平均值”即“平均水平”外，人们往往还关注数据的离散程度，即相对于“平均水平”的偏离情况。
我们把一组数据中最大数据与最小数据的差叫极差。而极差是刻画数据离散程度的一个统计量。
【设计意图】: 通过对问题串的解决，使学生直观地估计从甲、乙两厂抽取的20只鸡腿的平均质量，同时让学生初步体会“平均水平”相近时，两者的离散程度未必相同，从而顺理成章地引入刻画数据离散程度的一个量度——极差。
学习内容2：：刻画数据离散程度的统计量：方差、标准差
如果丙厂也参与了上面的竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，数据如下图所示：
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与相应平均数的差距。
（3）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？
【处理方式】：分小组进行讨论，小组之间交流，教师巡视、指导学生，等学生完成后，请各小组学生分别独立作答，师生共同补充完善。
【参考答案】:
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数：
丙=［75×2+74×4+73×2+72×3+76×3+77×3+78×2+79］=75.1（g）
极差为：79－72=7（g）
（2）我认为可以用丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差的和来刻画这20只鸡腿的质量与其平均数的差距。
甲厂20只鸡腿的质量与相应的平均数的差距为：
（75－75）+（74－75）+（74－75）+（76－75）+（73－75）+（76－75）+（75－75）+（77－75）+（77－75）+（74－75）+（74－75）+（75－75）+（75－75）+（76－75）+（73－75）+（76－75）+（73－75）+（78－75）+（77－75）+（72－75）
=0－1－1+1－2+1+0+2+2－1－1+0+0+1－2+1－2+3+2－3=0；
丙厂20只鸡腿的质量与相应的平均数的差距为：
（75－75.1）+（75－75.1）+（74－75.1）+（74－75.1）+（74－75.1）+（74－75.1）+（73－75.1）+（73－75.1）+（72－75.1）+（72－75.1）+（72－75.1）+（76－75.1）+（76－75.1）+（76－75.1）+（77－75.1）+（77－75.1）+（77－75.1）+（78－75.1）+（78－75.1）+（79－75.1）=0
（3）甲、丙两厂中的鸡腿质量平均数和极差相近时，用极差不能较好衡量这组数据的波动大小。可求各数据与其平均数的差距的绝对值的和：
甲厂：26； 丙厂： 36
甲厂的偏离平均数的距离较小，波动较小，质量较稳定，所以甲厂的产品更符合要求。
【总结提炼】:数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画。其中方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即：
，其中是x1,x2,…,xn的平均数，s2是方差，而标准差就是方差的算术平方根。即：
【设计意图】:在上面的情境中，学生很容易比较甲、乙两厂被抽取鸡腿质量的极差，即可得出结论。这里增加一个丙厂，其平均质量和极差与甲厂相近，此时导致学生思想认识上的矛盾，为引出另两个刻画数据离散程度的量度——标准差和方差作铺垫。
学习内容3：探索计算器的使用：
由学生自主探索用计算器求下列一组数据的标准差：
98 99 101 102 100 96 104 99 101 100
请你在自己使用的计算器探索求一组数据的标准差的具体操作步骤。
具体操作步骤是（以CZ1206为例）：
1、进入统计计算状态，按2ndf STAT
2、输入数据 然后按DATA ，显示的结果是输入数据的累计个数。
3、按σ 即可直接得出结果。
三、例题解析，升华新知
1、例题解析：
例1、（1）分别计算出从甲、丙两厂抽取的20只鸡腿质量的方差？
（2）根据计算的结果，你认为哪家的产品更符合规格？
【处理方式】：学生先独立思考，小组讨论，并派代表在全班交流，师生互动共同解析。
【参考答案】:
解：s甲2=［02+1+1+1+4+1+0+4+4+1+1+1+4+1+4+9+4+9］=×50==2.5；
s丙2=［0.12+0.12+1.12×4+2.12×2+3.12×3+0.92×3+1.92×3+2.92×2+3.9］
=×76.49=3.82。
因为s甲2＜s丙2。
所以根据计算的结果，我认为甲厂的产品更符合要求。
【设计意图】: 通过例题解析，一是巩固“方差”的计算方法；二是用方差来刻画引例中的数据离散程度，加深对方差意义的理解。三是会运用“方差”来解决实际问题。
2、学以致用：解决本节开始提出的问题：
请用上面学到的方法，你认为哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？
【处理方式】：学生分别独立作答，分小组进行讨论，小组之间交流，教师巡视、指导学生,待学生完成后,让学生说出自己的答案,并解说解题过程。
解：甲、乙仪仗队的平均数为：178cm
甲仪仗队的方差为：
；
乙仪仗队的方差为：
；
因为，所以甲仪仗队的队员比较整齐。
【设计意图】: 通过实际问题的解决，在有趣的问题情境中感知数学与生活的紧密联系，巩固课堂上所学的知识，基本都能运用所学的知识解决实际问题，收到了较好的教学效果。
四、回顾反思,提炼升华
师：通过这节课的学习，你有哪些收获？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
生：畅所欲言，谈收获与感受。
【设计意图】:通过提问方式引导学生小结本节知识及学习活动，养成学习—总结—学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，理清课堂思路，进一步培养学生的语言表达能力。
五、达标测试，反馈矫正
师：同学们总结发言都挺积极的，是否达到了本课的学习目标呢？请完成达标检测。
A组：基础过关
1、人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试，班级平均分和方差如下：，，，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A、甲班 B、乙班 C、两班成绩一样稳定 D、无法确定
2、在样本方差的计算公式中， 数字10 表示 ，数字20表示 。
3、数据－2，－1，0，1，2的方差是_________，标准差是_____ 。
4、五个数1，3，a，5，8，的平均数是4，则a =________，这五个数的方差________。
B组：(第17题图) (第18题图)
能力提升
1、某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：
1
2
3
4
5
小王
60
75
100
90
75
小李
70
90
80
80
80
根据上表解答下列问题：
（1） 完成下表：
姓名
极差（分）
平均成绩（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
小王
40
80
75
75
190
小李
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王．小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．
2、一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等信息如下表所示：
A
B
C
D
E
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70
英语
88
82
94
85
76
85
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分与英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分=（个人成绩–平均成绩）÷成绩标准差。
从标准分看，标准分大的考试成绩更好。请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
【设计意图】: 针对本节课的重点，有目的的设计习题，以检测教学目标达成情况、纠正错误、熟练知识，发现与弥补遗漏，以达到深化理解所学内容，同时充分让学生暴露问题，以便教师能及时地进行查缺补漏。
六、布置作业，落实目标
必做题：课本P151 习题6.5 第1、2题
选做题：课本P152 习题6.5 第3 题
§6.4.1 数据的离散程度
一、刻画数据离散程度的统计量:
1、极差：
2、方差：
3、标准差：
二、例题解析：
三、课堂练习：
四、课堂小结：
板书设计：
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