资源描述
22.2 二次函数与一元二次方程
课标依据
会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
一、教材分析
本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
二、学情分析
学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。老师应抓住一元二次方程的求解方法很多，在学习了因式分解法、配方法、求根公式法等的基础上，激发学生对一元二次方程的其它解法的探求兴趣，进而由一次函数与一元一次方程的关系类比到二次函数的图象与一元二次方程的根的情况上来，顺着学生的思维逐步引导加以激发.
三、教学目标
知识与
技能
掌握二次函数与一元二次方程的联系。
过程与
方法
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
情感态度与价值观
培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。
四、教学重点难点
教学重点
二次函数与一元二次方程的联系．
教学难点
函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
五、教法学法
讲练结合、合作交流互助
六、教学过程设计
师生活动
设计意图
一、情境引入：
问题： （课本p43页问题）
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
（学生以小组为单位进行思考，交流，讨论，尝试解决。教师巡视，及时了解学生的探究成果.）
二、探究新知
1.分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
上面问题(1)可以转化为已知二次函数h=20t－5t2的值为15，求自变量t的值.可以解一元二次方程20t－5t2＝3(即5t2-20t-3＝0);反过来，解方程5t2-20t-3＝0又可以看作已知二次函数y=5t2-20t-3的值为0，求自变量x的值.
（师生共同分析，教师适当点拨，由学生板书问题，师生讲评。教师引导学生总结：二次函数与一元二次方程的解的关系）
一般地，可以利用二次函数深入探究一元二次方程.
2. 二次函数（1）y＝x2＋x－2；
（2） y＝x2－6x＋9；
（3） y＝x2－x＋1.
的图象如图26.2－2所示。观察并回答：
（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.
（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.
（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.
（教师引导学生尝试总结二次函数和一元二次方程的关系，并加以完善.）
得到：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根。（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
三、巩固运用
例 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.
解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.
四、小结归纳
1. 二次函数与一元二次方程的关系：
如果抛物线与x轴有公共点（x0，0），那么x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。 抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
2. 会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.
（学生回顾总结，归纳本节课所学知识，教师系统归纳 ）
五、课堂检测：
《学案》 P46：巩固训练1-----4
六四6.1次函数的图像求一元二次方程的近似解； 、作业设计
A组：课本P47习题22.2第1、2、4题；
B组：课本P47习题22.2第1、2（1）题。
激起学生的好奇心，探索欲望，让学生充分参与数学活动
增强学生归纳概括能力和表达能力，经历由感性认识到理性认识的过程.
增强学生归纳概括能力和表达能力，经历由感性认识到理性认识的过程.
帮助学生归纳总结，巩固所学知识
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