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14．3 因式分解
第1课时 提公因式法
1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系．
2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式．
会用提公因式法分解因式．
正确理解因式分解的概念，准确找出公因式．
一师一优课 一课一名师 (设计者： )
一、创设情景，明确目标
同学们，我们先来看下面两个问题：
1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？
(2，3，5，7，9，10等)
2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值．
对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题．
二、自主学习，指向目标
自学教材第114页至115页，思考下列问题：
1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解
2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系．
3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数．
三、合作探究，达成目标
因式分解的定义
活动一：填空并观察：
(1)计算：
x(x＋1)＝________；
(x＋1)(x－1)＝________.
(2)请你将下列各式写成乘积的形式：
①x2＋x＝________；
②x2－1＝________；
③am＋bm＋cm＝________.
展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？
反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形．
针对训练：见《学生用书》相应部分
公因式
活动二：填空：
①6与9的最大公约数是________；
②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________．
展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式．
小组讨论：归纳确定公因式的方法
【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的
针对训练：见《学生用书》相应部分
提取公因式法分解因式
活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商
2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．
3．分解因式：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2) 2a(b＋c)－3(b＋c)
小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？ 另一个因式如何确定？
展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商
解答过程见课本P115例1，例2
【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式．
针对训练：见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标
1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法因式分解；
2．确定公因式的方法．
3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止．
五、达标检测，反思目标
1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C )
A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1)
C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1
2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．
3．把下列各式因式分解：
(1)a(a－3)＋2(3－a)
解：原式＝a(a－3)－2(a－3)
＝(a－3)(a－2)
(2)9a2b3－6a3b2－3a2b2
解：原式＝3a2b2(3b－2a－1)
(3)－6x3－10x2－2x
解：原式＝－2x(3x2＋5x＋1)
(4)a(y－z)－4b(z－y)
解：原式＝a(y－z)＋4b(y－z)
＝(y－z)(a＋4b)
4．先因式分解再求值：5x(m－2)＋4x(2－m)，其中x＝0.4，m＝5.5.
解：原式＝(m－2)(5x－4x)
＝x(m－2)
＝0.4(5.5－2)
＝0.4×3.5＝1.4
1．上交作业：课本第119页1、4(1)．
2．课后作业：见《学生用书》．
第2课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
2．掌握利用平方差公式因式分解的步骤．
应用平方差公式分解因式．
灵活应用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求．
一师一优课 一课一名师 (设计者： )
一、创设情景，明确目标
问题1：看谁算得最快：①982－22；②已知x＋y＝4，x－y＝2，则x2－y2＝________.
问题2：你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗？
你可以把这两个多项式写成两个因式积的形式吗？今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．
二、自主学习，指向目标
自学教材第116页至117页，思考下列问题：
1．观察平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)的项、指数、符号有什么特点？
(1)左边是二次二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.
(2)右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两个数的差．
2．乘法公式的平方差公式与因式分解的平方差公式的联系是互逆变形．
三、合作探究，达成目标
探究平方差公式
活动一：1.平方差(分解因式)公式： a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
展示点评：公式特征(与乘法公式正好相反): 左边是两数的平方差，右边是这两数的和乘以这两数差的形式．(因此叫平方差公式)
小组讨论：运用平方差公式的条件有哪些？
【反思小结】运用平方差公式的条件：
(1)多项式是二项式，且两项符号相反(可转化为差的形式)；
(2)两项的绝对值分别可化为一个数(整式)的平方的形式．
针对训练：见《学生用书》相应部分
应用平方差公式因式分解
活动一：分解因式
(1)4x2－9；
(2)(x＋p)2－(x＋q)2.
解答过程见课本P116例3
例3 分解因式
(1)x4－y4；
(2)a3b－ab.
展示点评：一个多项式第一次分解后若还能进行分解，应怎么做？
展示点评：(继续分解到不能再分解为止)
小组讨论：归纳分解因式的一般步骤．
解答过程见课本P116例3
反思小结：1.分解因式的一般步骤：一提二套三分组即先看有没有公因式，若有提出公因式，再看能不能运用公式，若能运用公式进行分解；若不能则考虑分组，分组的原则：①分组后有公因式可提；②分组后有公式可套. 2.公式中的“a”，“b”可表示单项式也可表示多项式；若表示多项式，应将多项式用括号括起来.3.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
针对训练：见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标
1．能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平方差公式分解因式
2．对于多项式的因式分解要注意：
①如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式
②如果多项式各项没有公因式，则第一步是考虑用公式分解因式
③第一步分解因式后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能再分解为止
五、达标检测，反思目标
1．下列多项式中，能否用平方差分解因式？
(1)x－xy； (2)x＋xy； (3)x2＋y2； (4)x2－y2；
解：(1)不能 (2)不能 (3)不能 (4)能
(5)－x2＋y2; (6)－x2－y2; (7)x3－y2; (8)x4－y4.
解：(5)能 (6)不能 (7)不能 (8)能
2．分解因式：
(1)a2－b2；
解：原式＝(a＋b)(a－b)
(2)－a4＋16；
解：原式＝(4＋a2)(4－a2)
＝(4＋a2)(2＋a)(2－a)
(3)x－xy2；
解：原式＝x(1－y2)
＝x(1＋y)(1－y)
(4)(2x＋3y)2－(3x－2y)2；
解：原式＝(2x＋3y＋3x－2y)·(2x＋3y－3x＋2y)
＝(5x＋y)(5y－x)
(5)5m2a4－5m2b4；
解：原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)
(6)3xy3－3xy；
解：原式＝3xy(y2－1)
＝3xy(y＋1)(y－1)
(7)a2－4b2－a－2b；
解：原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b－1)
3．简便计算：
(1)4292－1712；
解：原式＝(429＋171)(429－171)
＝600×258
＝154800
(2)5152×24－4852×24.
解：原式＝24×(5152－4852)
＝24×(515－485)(515＋485)
＝24×30×1000
＝720000
1．上交作业：课本P119第2题，第4(2)题．
2．课后作业：见《学生用书》．
第3课时 完全平方公式
1．会判断完全平方式．
2．能直接利用完全平方公式进行因式分解．
用完全平方公式法进行因式分解．
灵活应用公式分解因式．
一师一优课 一课一名师 (设计者： )
一、创设情景，明确目标
1．前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？
2．在括号内填上适当的式子，使等式成立：
(1)(a＋b)2＝________；
(2)(a－b)2＝________.
(3)a2＋________＋1＝(a＋1)2；
(4)a2－________＋1＝(a－1)2.
展示点评：
(1)你解答上述问题时的根据是什么？
(2)第(1)(2)两式从左到右是什么变形？第(3)(4)两式从左到右是什么变形？
(从左到右是乘法；从左到右是分解因式)
我们知道利用平方差公式可以来进行因式分解，那么这节课就来研究如何利用完全平方公式来进行因式分解．
二、自主学习，指向目标
自学教材第117页至118页，思考下列问题：
1．观察完全平方公式：
________＝(a＋b)2 ；________＝(a－b)2
完全平方式的特点：
左边：①项数必须是________；
②其中有两项是________；
③另一项是________．
右边：________________________________________________________________________.
2．乘法公式完全平方公式与因式分解完全平方公式的联系是________．
三、合作探究，达成目标
完全平方公式(因式分解)
活动一：我们把乘法公式中：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 和(a－b)2＝a2－2ab＋b2等号右边的式子即： a2＋2ab＋b2 和a2－2ab＋b2叫做完全平方式．
展示点评：运用完全平方公式分解因式的方法同用平方差公式分解因式是一致的．
小组讨论：完全平方式的特征是什么？
【反思小结】完全平方式满足两个条件：(1)是一个三项式；(2)两数的平方和加上或减去这两数积的2倍．
针对训练：见《学生用书》相应部分
运用完全平方公式分解因式
活动二：把乘法公式逆向变形为：
a2＋2ab＋b2＝________；
a2－2ab＋b2＝________
可以发现，通过变形把一个完全平方式也变成了两个因式积的形式(平方也就是两个相同因式积的形式)，即：
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
例1 把下列多项式分解因式：
(1) 16x2＋24x＋9；(2)－x2＋4xy－4y2.
思考：若所要分解的多项式是三项式，应当考虑应用什么公式分解？
小组讨论：运用完全平方公式分解因式应注意什么问题？
展示点评：首先考虑用完全平方公式分解．
解答过程见课本P118例5
【反思小结】在直接应用完全平方公式分解因式时应当注意：1.先找平方项 ，再运用公式.2.若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，然后再考虑用完全平方公式
针对训练：见《学生用书》相应部分
活动三：把下列多项式分解因式：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；
(2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36
展示点评：能提取公因式的首先应当提取公因式，再考虑应用公式分解，对于平方项的底数是多项式的要看作一个整体．
小组讨论：多项式含有公因式的分解时应当怎么做？对于一些平方项的底数是多项式的，又应当如何看待？
解答过程见课本P118例6
【反思小结】1.能提取公因式的要先提取公因式；2.灵活地将x＋y看作一个整体；3.分解因式必须进行到不能再分解为止．
针对训练：见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标
1．应用完全平方公式分解因式一定要熟记公式特征：
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2
2．完全平方式的结构特征：
(1)项数必须是三项；(2)其中有两项是平方项且都是正的；(3)还有一项是两平方项底数乘积的两倍.
3．分解因式的一般思路： 一提(提公因式法)二套(运用公式法)平方差公式法 (两项) 完全平方公式法(三项) 三分组(针对分解因式是三项式以上且不能直接分解的， 要考虑分组分解．
4．分解到最后一定要检查是否分解到不能再分解为止．
五、达标检测，反思目标
1．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( C )
A．x2＋xy＋y2 B．x2－2x－1
C．－x2－2x－1 D．x2＋4y2
2．多项式4a2＋ma＋25是完全平方式，那么m的值是( D )
A．10 B．20 C．－20 D．±20
3．－x2＋2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是__－(x－y)__．
4．分解因式：
(1)y2＋2y＋1；
解：原式＝(y＋1)2
(2)16m2－72m＋81.
解：原式＝(4m－9)2
5．分解因式：
(1)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9；
解：原式＝(x＋y＋3)2
(2)4xy2－4x2y－y3.
解：原式＝(－4xy＋4x2＋y2)(－y)
＝－y(2x－y)2
6．已知(a＋b)2＝25，(a－b)2＝9，求a2＋b2和ab的值．
解：由题意可得：
a2＋2ab＋b2＝25①
a2－2ab＋b2＝9②
由①＋②得：2(a2＋b2)＝34，a2＋b2＝17
由①－②得：4ab＝16，ab＝4
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