八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级上册数学教案.doc

14.3 因式分解（第1课时）【教材分析】教学目标知识技能1.让学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法的关系.2.能利用提取公因式法对简单的多项式进行因式分解.过程方法通过观察发现因式分解与整式乘法的关系和探索提取公因式的过程，培养学生观察能力与逆向思维能力. 情感态度在探索提取公因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法.重点会用提公因式法分解因式.难点确定公因式及提出公因式后的另一个因式的确定.【教学流程】环节导 学 问 题师 生 活 动二次备课情境引入 【问题1】1.计算：（1）x(x1)； （2）(x1)(x1).2. 思考：630能被哪些数整除？引入新课：在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的积的形式，这就是本大节所探究的内容14.3因式分解教师提出问题，引导学生思考，教师提示点拨，导入本节课题学生思考讨论，教师点拨：需要把630分解成几个质数的积的形式（630=23257）自主探究合作交流【问题2】参考【问题1】中1题计算，把下列多项式写成整式的积的形式.(1) x2 x = ； (2) x21=_.总结：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把多项式因式分解（或叫做分解因式）.注意： 因式分解不是运算，只是恒等变形 .因式分解多项式整式的积 整式乘法 【问题3】你会把ma+mb+mc因式分解吗？由m (abc)= mambmc ，可得mambmc= m (abc).这样就把ma+mb+mc分解成两个因式的积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式(abc)是ma+mb+mc除以得到的商.像这种分解因式的方法叫做提公因式法. 【例1】 分解因式：（1）8a3b212ab3c；（2）4a28ab4a.【分析】（1）（2）两题首先确定公因式，然后用每一项除以公因式，最后把公因式和所得的商写成乘积的形式即可.公因式的确定方法：系数：各项系数的最大公因数；字母：取相同字母及相同字母的最低次幂.(如（1）题的公因式为4ab2).【例2】分解因式：（1）2a(bc)3(bc)；（2）a(mn)3b(nm).【分析】（1）公因式为（bc）把（bc）看成一个整体.（2）(mn)与 (nm)互为相反数，只要把其中一个式子添个负号，就可以变成相同的因式：(mn)= （nm）或 (nm)= (mn).教师出示问题2.通过问题1学生容易得出问题2的结果.x2 x = x(x1) x21= (x1)(x1)教师点拨引导：等式左右的变化形式. 学生独立思考后，小组讨论.教师点拨：1.多项式的每一项中都含有公共的因式m.2.分解成公因式m与另一个因式的积的形式.3.另一个因式如何确定？教师引导学生总结出因式分解的方法提公因式法.教师出示例题，要求学生讨论如何找公因式，然后再尝试独立完成，最后小组交流，核对答案.对于例1：教师点拨引导：公因式的确定方法，让2名同学板演，等其余学生完成后，点评、总结.教师强调：第(2)题不要写成4a（a2b）这就是说1作为项系数可以省略，但单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1.对于例2：教师要求学生先找到公因式再分解因式，找2位同学板演，其余同学下面完成，完成后互换批改. 强调：公因式可以是单项式也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出.尝试应用1.下列从左到右变形属于因式分解的是（ ）A.(y2)(y2)=y24 B.a22a1=a(a2)1C.b26b1=(b3)28 D.x25x6=(x1)(x6) 2、多项式8a3b2+12a3bc-4a2b中，各项的公因式是( ) A.a2b B.4a2bC.-4a2b2 D.-a2b3、 分解因式(1)12xyz-9x2y2；(2) -x3y3-x2y2-xy；(3)p(a2 + b2 )- q(b2 +a2 ).第1,2题学生独立完成.教师巡视，并个别辅导纠错.第3题请3位学生板演，教师巡视，注意：一、找公因式是否正确，二、第一项为负一般先提负号.1、D；2、B3、（1）3xy(4z-3xy).（2）-xy(x2y2+xy+1).（3）(a2+b2)(p-q).成果展示欣赏自我：本节课你学会了什么？完善自我：对本课的内容，你还有哪些疑惑？教师引导学生归纳总结、反思、梳理知识，帮助学生形成知识体系.补偿提高4.分解因式：(x-y)2+y(y-x).5.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值4、解：(x-y)2+y(y-x) =（x-y)2-y(x-y) =(x-y)(x-y-y) =(x-y)(x-2y).5、解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 4=12. 14.3因式分解（第2课时） 教学目标1知识与技能 会应用平方差公式进行因式分解，发展学生的推理能力2过程与方法 经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维3情感、态度与价值观 培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值教学重点利用平方差公式分解因式教学难点领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来教学过程： 1）课堂导入请同学们计算下列各式 （1）（a+5）（a5）； （2）（4m+3n）（4m3n） 【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演 （1）（a+5）（a5）=a252=a225. （2）（4m+3n）（4m3n）=（4m）2（3n）2=16m29n2【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律1分解因式：a225. 2分解因式:16m29n2 【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案： 1.a225=a252=（a+5）（a5） 2.16m29n2=（4m）2（3n）2=（4m+3n）（4m3n） 【教师活动】引导学生完成a2b2=（a+b）（ab）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解 平方差公式：a2b2=（a+b）（ab） 评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式） 2）重点讲解 【例1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书） （1）x29y2； （2）16x4y4； （3）12a2x227b2y2； （4）（x+2y）2（x3y）2； （5）m2（16xy）+n2（y16x） 【思路点拨】在观察中发现(1)(5)题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解 【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演 【学生活动】分四人小组，合作探究 解：（1）x29y2=（x+3y）（x3y）. （2）16x4y4=（4x2+y2）（4x2y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2xy）. （3）12a2x227b2y2=3（4a2x29b2y2）=3（2ax+3by）（2ax3by）. （4）（x+2y）2（x3y）2=（x+2y）+（x3y）（x+2y）（x3y） =5y（2xy）. （5）m2（16xy）+n2（y16x） =（16xy）（m2n2）=（16xy）（m+n）（mn） 3）问题探究【探研时空】 1求证：当n是正整数时，n3n的值一定是6的倍数 2试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除4）难点剖析例3分解因式:(1)x4y4；(2)a3bab.展示点评：一个多项式第一次分解后若还能进行分解，应怎么做？展示点评：(继续分解到不能再分解为止)小组讨论：归纳分解因式的一般步骤解答过程见教材P116例3反思小结：1.分解因式的一般步骤：一提二套三分组即先看有没有公因式，若有提出公因式，再看能不能运用公式，若能,运用公式进行分解；若不能,则考虑分组，分组的原则：分组后有公因式可提；分组后有公式可套. 2.公式中的“a”“b”可表示单项式也可表示多项式；若表示多项式，应将多项式用括号括起来.3.分解因式必须进行到不能再分解为止 5）训练提升1分解因式：(1)4x2y2； (2)16a2b2；(3) 25y2； (4)(x2y)2(xy)2.解：(1)原式(2xy)(2xy)(2)原式(ab4)(ab4)（3）原式(5y)(5y)(4)原式(x2y)(xy)(x2y)(xy)3y(2xy)2分解因式：(1)a39a；(2)3m(2xy)23mn2；（3） (ab)b24(ab)解：(1)原式a(a29)a(a3)(a3)(2)原式3m(2xy)2n23m(2xyn)(2xyn)(3)原式(ab)(b24)(ab)(b2)(b2)3 (云南中考)分解因式：3x2123(x2)(x2).4(梅州中考)分解因式：m3mm(m1)(m1).5(孝感中考)若ab1，则代数式a2b22b的值为_1_6老师在黑板上写出三个算式：523282，927284，15232827，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11252812，15272822，(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；(2)用文字写出反映上述算式的规律；(3)证明这个规律的正确性解：(1)答案不唯一，如：1129285，13211286.(2) 任意两个奇数的平方差等于8的倍数(3)证明：设m， n为整数，两个奇数可表示为2m1和2n1，则(2m1)2(2n1)24(mn)(mn1)当m，n同是奇数或偶数时，mn一定为偶数， 4(mn)(mn1)一定是8的倍数；当m，n一奇一偶时，则mn1一定为偶数，4(mn)(mn1)一定是8的倍数综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数14.3因式分解（第3课时）教学目标1领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力2经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤3培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力教学重点理解运用完全平方公式进行因式分解 教学难点灵活地运用公式法进行因式分解教学过程： 1）课堂导入【复习引入】1.（1）9x2+4y2； （2）（x+3y）2（x3y）2； （3）x20.01y2 2计算下列各式：（1）（m4n）2； （2）（m+4n）2； （3）（a+b）2； （4）（ab）2 【教师活动】引导学生完成下面四道题，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律 2）重点讲解3分解因式： （1）m28mn+16n2 ； （2）m2+8mn+16n2； （3）a2+2ab+b2； （4）a22ab+b2 【学生活动】从逆向思维的角度入手，很快得到下面答案. 解：（1）m28mn+16n2=（m4n）2. （2）m2+8mn+16n2=（m+4n）2. （3）a2+2ab+b2=（a+b）2. （4）a22ab+b2=（ab）2 【归纳公式】完全平方公式a22ab+b2=（ab）2 3）问题探究【例1】把下列各式分解因式：教材P118例5点拨：对比公式，准确找出问题中的a、b【例2】把下列各式分解因式：教材P118例5【例3】如果x2+axy+16y2是完全平方公式，求a的值【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出a的值4）难点剖析例1 把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49; （2）（m+n）26（m +n）+9.例2 把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）2x28y2+8xy.5）训练提升1下列式子为完全平方式的是( D ) Aa2abb2 Ba22a2 Ca22bb2 Da22a12若x26xk是完全平方式，则k_9_3若x2mx4是完全平方式，则m的值是_4_4因式分解：(1)4x2y24xy；(2)912a4a2；(3) (mn)26(mn)9.解：(1)原式(2x)2y222xy(2xy)2.（2）原式32232a(2a)2 (32a)2.(3)原式(mn3)2.5下列四个多项式，能因式分解的是( B ) Aa21 Ba26a9 Cx25y Dx25y6把多项式4x2y4xy2x3分解因式的结果是( B ) A4xy(xy)x3 Bx(x2y)2 Cx(4xy4y2x2) Dx(4xy4y2x2)7若m2n1，则m24mn4n2的值是_1_8(1)已知ab3，求a(a2b)b2的值；(2)已知ab2，ab5，求a3b2a2b2ab3的值解：(1)方法一：原式a22abb2(ab)2.当ab3时，原式329.方法二：ab3，ab3.原式(b3)(3b)b29b2b29.(2)原式ab(a22abb2)ab(ab)2.当ab2，ab5时，原式25250.9在三个整式x22xy，y22xy，x2中，请你任意选出两个进行加(或减)法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解解：答案不唯一，如：(x22xy)x22x22xy2x(xy)；(y22xy)x2(xy)2；(x22xy)(y22xy)x2y2(xy)(xy)；(y22xy)(x22xy)y2x2(yx)(yx)