资源描述
课题：3.4.1圆周角与圆心角的关系
教学目标：
1．掌握圆周角的概念和圆周角定理的证明．
2．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想.
3．学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式．培养学生的探索精神和解决问题的能力.
教学重点与难点：
重点：圆周角定理的证明及应用．
难点：圆周角定理的证明和分类讨论问题的应用．
课前准备：多媒体课件、圆规、三角板．
教学过程：
一、创设情境，引入新课
活动内容1：视频欣赏(多媒体播放足球射门视频)
活动内容2：设疑导入
如图，在足球射门的游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠BAC）有关．当球员在B、D、E三点射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠BAC，∠BAC，∠BAC．这三个角的大小有什么关系？在这三点射门的效果一样吗？今天就让我们一起来共同学习圆周角和圆心角的关系．【板书课题：3.4圆周角和圆心角的关系（1）】
处理方式：学生观看视频后思考、分析并进行交流.
设计意图：通过视频欣赏，充分调动学生的课堂热情和积极性，同时也让学生感受到生活或娱乐中处处体现着数学的艺术.通过设疑，激发学生的求知欲，培养学习兴趣．
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：圆周角的概念
问题1：观察右图中的∠BAC，∠BAC，∠BAC，你有什么发现？ 与同伴交流．
问题2：∠BAC，∠BAC，∠BAC是圆心角吗？它们与圆心角的区别是什么？与同伴交流．
处理方式：学生先自主思考，然后与同伴交流自己的想法．教师组织学生说出自己发现，引导学生与圆心角进行对比，重点引导学生说出∠BAC、∠BAC、∠BAC的共同特特征，把握两点特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦．接着给出圆周角定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点．像这样的角，叫做圆周角．
巩固练习：火眼金睛
1．判断下列各图形中的角是不是圆周角.
（第1题图） （第2题图）
2．指出图中的圆周角．
处理方式：教师先引导学生回顾圆周角定义中的两个条件：①顶点在圆上；②两边分别与圆还有另一个交点．对于第2题，因为半径AO没有延长，所以∠OAB严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意．两题可采用抢答的形式来完成．
设计意图：通过让学生经历“观察--发现—对比--交流---总结”这一数学活动过程，一方面积累数学活动的经验，另一方面也加深了学生对圆周角的理解．类比圆心角来学习圆周角，学生会感觉自然，易于接受；通过两个练习，让学生加深了对圆周角定义的理解和直观感受. 让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的.
活动内容2： 圆周角与圆心角的关系
1．直观感受：做一做
如图，∠AOB=80°．
（1）请你画几个所对的圆周角？这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流．
（2）这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎么发现的？与同伴进行交流．
处理方式：对于问题（1）应先让学生明确问题的要求，找到特定的弧，然后再画圆周角．学生所画的圆周角的位置会有不同，教师可以从中找出典型的图形进行展示，同时引导学生观察所画的圆周角与圆心角∠AOB有几种位置关系，然后通过对比猜测这几个圆周角的关系，与同伴交流自己的想法．
学生所画圆周角展示：
对于问题（2），教师可引导学生通过度量来进行猜测验证这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关系．并启发学生思考：为什么不同位置的圆周角度数相同？从而初步得出结论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．
设计意图：通过画图加深对圆周角的理解，同时在画图的过程中让学生感受所画的圆周角与圆心角∠AOB所对的弧是同一段弧．为下面的对比或度量猜测结论做好铺垫．
2．猜想：议一议
在上图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？说说你的想法，并与同伴交流．
处理方式：学生猜想结论是否成立，并尝试进行说理．
3．证明
已知：如图，∠C是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角．
求证：．
分析：根据圆周角和圆心角的位置关系，分三种情况讨论：
（1）圆心O在圆周角∠C的一边上，如图（1）；
（2）圆心O在圆周角∠C的内部，如图（2）；
（3）圆心O在圆周角∠C的外部，如图（3）．
处理方式：先引导学生明确题意，再根据圆周角和圆心角的位置关系，进行分析--讨论--证明．证明时先让学生证明圆心O在圆周角∠C的一边上的情况，对于另外两种情况教师应适时进行引导，分析如何添加辅助线，将其转化为（1）的情况进行证明．情况（1）可让学生到黑板板演，适时点拨强调，规范学生的解题步骤．情况（2）（3）如果时间充足可让学生板演证明过程，也可借助实物投影展示学生的证明过程．注意要及时给予肯定的评价，帮助学生树立信心．
证明：（1）当圆心O在圆周角∠C的一边上时，如图（1）．
∵∠AOB是△ACO的外角，
∴∠AOB=∠C+∠A．
∵OA=OC，
∴∠A=∠C．
∴∠AOB=2∠C，．
（2）当过点C作直径CD.证明过程略．
（3）当过点C作直径CD. 证明过程略．
（2） （3）
4．总结归纳
通过以上证明过程你能得出什么结论？
圆周角定理: 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
5．应用
（1）如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C，D为半圆上的两点，∠COD=50°，
则∠CAD=_______．
第（1）题 第（2）题
（2）如图，A、B、C为⊙O上三点，∠ABO=65°，求∠BCA的度数．
处理方式：学生在说出答案的同时，请学生说出理由．教师总结：求圆周角时，要想到它所对的弧对的圆心角．
设计意图：通过学生画圆周角，并测量出来，就能直观地感受它们之间的关系,然后就会很努力的去验证这个目标.两个巩固练习，是为了让学生活学活用.
三、拓展延伸，提高认识
想一想：
（1）在足球射门的游戏中，球员在B、D、E三点射门时，所形成的三个张角∠BAC，∠BAC，∠BAC大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
（2）如图，在⊙O中=，那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?
处理方式：（1）引导学生观察∠BAC，∠BAC，∠BAC是同弧（）所对的圆周角，根据圆心角定理，它们都等于所对圆心角的一半，所以这几个圆周角相等．（2）引导学生结合圆心角定理和圆周角定理得出∠C和∠G．根据以上学生的回答教师及时提出问题：由以上两题你能得出什么结论？学生思考总结后给出圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等
巩固训练：
1．判断题：
（1）在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等. （ ）
（2）相等的圆周角所对的弧也相等. （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等. （ ）
2．在如图所示的8个角中，哪些是相等的角？你能从图中找出几对相似三角形吗？
处理方式：训练习题由学生独立思考，然后采用抢答的形式完成．对于第1题中的第（3）题，要留给学生更多的思考空间．第（2）个问题由学生来处理，最后总结：由同一条弧去找圆周角，相似三角形也是去找相等的角．
设计意图：学生掌握圆周角定理的基础上，应用圆周角定理得出推论，让学生更能深刻的体会到圆心角和圆周角的关系和联系．即时训练就是加深对知识的理解和应用.
四、回顾反思，提炼升华
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再与大家一起分享.
学生畅谈自己的收获!
设计意图：通过学生对本节课所学进行梳理，理清本节课的主要内容，并且养成反思与总结的习惯，培养学生自主发展的意识．
五、达标检测，反馈提高
1．如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于 ．
O
A
B
C
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为 ．
3．（选做）如图，弦AB与CD相交于点P，求证：PA•PB=PC•PD
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，尽可能地调动学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所提高，明确哪些学生需要加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：课本80页，习题3.4第1、2题．
选做题：课本81页，习题3.4第4题．
板书设计：
§3.4.1 圆周角和圆心角的关系（1）
圆周角定义：
做一做：
圆周角定理：
已知：
求证：
证明：
推论：
练习：
投
影
区
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