八年级数学上册 勾股定理教学设计 北师大版.doc

勾股定理(第一课时)教学设计

一、基本说明
1、教学内容所属模块：初中数学
2、年级：八年级
3、所用教材出版单位：湖南教育出版社
4、所属的章节：
5、学时数：45分钟 （多媒体）

二、教学设计
1、 教学目标：
知识与技能
（1）了解勾股定理文化背景，体验勾股定理，探索和证明勾股定理.
（2）用拼图方法证明勾股定理.
（3）能熟练地运用勾股定理解决实际问题.
过程与方法
（1）通过自主探索，动手操作，引导学生得出“直角三角形的两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2+b2=c2”的结论.
（2）逐步培养学生会观察、分析、概括等逻辑思维能力。
情感态度与价值观
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。

2、内容分析：
重点：证明、探索、运用勾股定理.
难点：证明、探索勾股定理.
教学准备：
准备有关勾股定理的材料：
直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形八个，边长分别为a、b、c的正方形三个.
.
3、学情分析：
八年级学生在前一段时间里已经学过了三角形及全等的相关知识，具有一定的识图基础，一定的推理证明能力，因此，采用实践操作与合作交流等自主探究学习方式。

4、设计思路：
关注学生的学习兴趣和生活经验，通过网格计算的形式，让学生通过计算，动手操作，引导学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，体现了启发学生独立分析问题，发现问题，总结规律的教学方法，让学生成为课堂的真正主人，老师为组织者、引导者、合作者。

三、教学过程
教学环节及时间
教师活动
学生活动
对学生学习过程的观察和考查，以及设计意图
创设情境，导入新课 
3分钟
1、在图1中，左图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽图案，右图就是著名的“赵爽弦图”.

图1
你能看出会徽与弦图之间的联系吗？
2、相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的地砖发呆.原来，朋友家的地砖是用一块块直角三角形形状的地砖铺成的（如下图），他发现了地砖上的三个正方形存在某种数量关系.

图2
这些图中有什么奥秘呢？下面我们一起来解读图中的奥秘.
 学生看图，读图
通过有背景的问题和名人小故事，激发学生的学习兴趣和学习欲望，也开门见山地直奔主题——解解读图中所蕴含的秘密.

实践探索，大胆 猜想
7分钟 
 1、如图3，三个正方形围成的中间是什么图形？(等腰直角三角形)
我们也可以认为是由直角三角形的三边向三角形外作正方形所构成的.
你知道这三个正方形的面积分别是多少吗？你是怎么计算的？面积之间有什么关系？

提问：等腰直角三角形是特殊的三角形,一般的直角三角形是否也有这样的特点?

图3

2、 如图4，仍然可以看作是由直角三角形的三边向三角形外作正方形所构成的，你们
知道这三个正方形的面积分别是多少吗？又是怎么计算的？

图4
请将结果填入下表，你能发现正方形A、B、C的面积关系吗？

A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
图3

图4

即SA+SB=SC
即直角边上的正方形的面积和等于斜边上的正方形的面积.
提问：(1)如果我们假设直角三角形的直角边长分别为a、b，斜边长为c，我们能得到一个关于a、b、c等式吗？ a2+b2=c2

(2)在直角三角形中，这个等式表明了什么？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
刚才，我们是通过网格计算面积的，并且直角三角形的边长都为整数，是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？ 这就需要我们对一般直角三角形进行证明。

 学生口答。

学生观察图形，分别计算出三个三角形的面积。

C三角形的面积计算，引导学生讨论交流，采用割补思想求出。

学生通过计算填写好表格，然后根据得出的数据进行分析，归纳概括。

学生大胆猜想，归纳概括结论。

 用网格计算的形式让学生通过计算来验证猜想，为归纳提供基础，同时，让学生知道直角三角形三边的关系.
验证猜想，得出定理
14分钟
1、动手操作
将课前准备的直角边长分别为a、b，斜边长为c的八个直角三角形，边长分别为a、b、c三个正方形拿出来，你能将这些图形拼两个大正方形吗？分小组活动。
b
a
a
b
a
b
c
c

a

b

b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c

想一想：
(1)引导学生比较并发现两个大正方形的共同之处(面积相等)
(2)引导学生分别用a、b、c表示出两个大正方形的面积，从而发现a、b、c之间的关系.
(3)若把两个大正方形中的全等的图形都拿掉，剩下的图形又有什么关系？进而用割补法得出a、b、c之间的关系. a2 + b2 = c2
(4)如何用第二个图来证明上面的公式？
2、得出结论
勾股定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

符号语言：
如图：在Rt△ABC中, ∠C=90°, 则BC2+AC2=AB2
(或a2+b2=c2)
勾
股
弦

勾股定理公式的变形：
a2 = c2 - b2
b2 = c2 - a2
c=
a=
b=
3、介绍“勾、股、弦”的含义及古今中外对勾股定理的研究
勾股定理——千古第一定理
在古代，许多民族发现了这个事实，即直角三角形的三条边长为a,b,c，则 a2+b2=c2 ，其中 a,b是直角边长，c是斜边长. 在公元前2世纪,我国的数学著作《周髀算经》记着商高的一段话意思是说：“把一直尺折段组成一个指直角三角形，若勾为三，股为四，则弦为五”即“勾三股四弦五”其中“勾”指的是较短的直角边，“股”是较长的直角边，“弦”是斜边。
因此把这个定理命名为“勾股定理”或“商高定理”，在西方，被称为“毕达哥拉斯”定理。

  四个学生一组，小组拼图比赛。

观察图形，学生思考，讨论交流解决。

学生归纳总结，得出推理及公式的变形。

小组合作比赛，培养学生的团队协作精神和竞争意识。
从用网格的验证到动手操作验证，对学生来说是思维的完善，也是从特殊到一般的转变，同时，进一步加深了学生对直角三角形三边关系的认识.

训练学生的语言表达能力和概括能力，以及逻辑推理能力。

让学生体会勾股定理的丰富内涵与文化背景，陶冶情操，丰富自我.
巩固练习，加深理解
6分钟
1、如图：在△ABC中，∠C=90°

(1)若a=3，b=4，则c=__________.
(2)若a=8，c=17，则b=__________.
(3)若c=61，b=60，则a=_________.
(4)若a:b=3:4，c=10，则a=________，b=________.
小结此题：勾股定理反映的是直角三角形三边的关系，那它的主要用途是什么呢？
在直角三角形中，已知任意两边求第三边的长；已知一边及另两边的关系，求另外两边。

2、在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm.
(1)求BC边上的高AD的长；(2)求△ABC的面积.
解：(1) ∵△ABC是等腰三角形，AD是高
∴
在Rt△ABD中，AB=13cm，根据勾股定理

∴

答：BC边上的高AD的长为12cm，△ABC的面积为60cm2.
学生解答，老师总结。
让学生熟悉勾股定理公式，及对公式的变形运用.

应用知识，回归生活
10分钟
１、 如图：一块长约8m，宽约6m的长方形草地，被不自觉的人沿对角线踏出了一条斜“路”，类似的现象也时有发生.请问：
①走斜“路”的客观原因是什么？
②斜“路”比正路近多少？走这么几步近路，值得吗？

解：如图，在△ABC中， ∠C=90°，BC=6m，AC=8m

由勾股定理得AB=
=(m)
6+8-10=4(m)
答：斜“路”比正路近4m.不值得.

2、 受台风“海棠”影响，一棵大树在离地面6米处断裂，大树顶部落在离大树底部8米处，问大树折断之前有多高？

讨论：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火?

学生解答，写出推理过程。

让学生讨论解决，并写出解答过程。

本题不仅是勾股定理的实际应用题，而且还对学生进行了社会公德教育，体现了数学教学的德育意义.

本题解法同上题大同小异，目的是让学生明了数学知识“万变不离其踪”，另外，加强对勾股定理的运用理解.

此处所选择的题目均来自于现实生活，在加强勾股定理的运用的同时，上学生感受到数学来源于生活，学好数学知识可以更好地服务于生活，也让学生体验到学以致用的成就感.
回顾总结，提高能力
4分钟
1、通过对勾股定理的学习，谈谈你的收获和困惑.
2、展示弦图，并提出问题：思考验证勾股定理的方法.
学生畅谈收获和困惑。
回应开篇，激发学生的学习欲望.
布置作业
1分钟
1、练习 3题 2、6
2、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景.
3、通过查阅资料，了解勾股定理的证明方法.

幻灯片投影
检查学生掌握知识的情况。
培养学生的课外阅读能力和自学能力。
四、教学反思
1、 重视知识的发生过程与思想方法的教学
本节课是公式课，根据学生的知识结构，本节课采用的教学流程是：提出问题——探索问题——动手实验——归纳验证——解决问题——课堂小结.在这一过程中，让学生体会观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想，从而更好地理解勾股定理、应用勾股定理，发展学生应用数学意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心.
探索定理采用了面积法，引导学生通过实验由特殊到一般地对直角三角形的三边关系进行研究，得出结论.这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对学生良好思维品质的形成有行重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用.
2、 鼓励学生自主探究与合作交流
《数学课程标准》中明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”斯托利亚尔也说过：“数学教学是数学活动的教学（思维活动的教学）.”因此，本节课努力为学生提供充分的数学活动机会，让学生在自主探索与合作交流的过程中，去理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，从而使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略.
3、重视学生的表达与交流
《数学课程标准》指出，要让学生经历使用各种数学语言、符号表达和各交流的过程，以促进其形成对数学较为积极的态度.本节课对图形的观察、对直角三角形三边的关系以及自我小结等，都给学生提供了充分的表达和交流的机会，发展了学生的语言表达和概括能力，增强了合作意识.
4、体现数学教学与现代信息技术的整合
本节课的教学设计主要体现了数学课程与信息技术的整合，恰当地运用了现代信息技术，以直观形象的呈现方式，激发学生的学习兴趣，有效地帮助学生掌握和理解数学知识.
附：课件