黑龙江省绥化市第九中学九年级数学上册《勾股定理》教案 新人教版.doc

第18章 勾 股 定 理

一.教材所处的地位：
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的 了解。在中考几何题最后一道几何代数综合题中几乎无处不在。
二．学情分析.

1.初三的学生已经有一定的几何基础，接受能力、思维能力、自我控制能力都有很大变化和提高，自学能力动手操作能力都比较强，通过类比学习，培养创新的意识
2.本班的学生特点：学习惰性强，只关注成绩，渴望不学习就能有好成绩。新知识接受的慢些。
根据学生已有认知基础及本课教材的地位、作用，依据课程标准我确定本课的教学目标为：
知识与技能：正确理解勾股定理的具体内容，能快速求出网格图形的面积，并能用两种以上的方法证明勾股定理。
熟练运用使用网格及拼图求面积，掌握直角三角形三边之间的关系，能熟练的证明勾股定理。
过程与方法：培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力；培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。
情感态度与价值观：培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯；体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点
重点： 勾股定理的内容及证明
难点：勾股定理的证明
预习案
预习案的设计意图：
1.拓展学生的视野，充分展示学生的自学能力。
2.通过教材助读和预习自测检验学生预习情况，有利于教师了解学生对知识把握度。
3.因为采用的是自主探索、小组合作交流的研讨式学习，动手操作的方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
4、通过回顾旧知识，为下面学习新知识做好铺垫，并由旧知识引入到新知识。
5、提高学生提问题的意识和能力，让学生在学习时能突出重点，提高效率，促进学生举一反三，构建知识网络。带着问题听课，帮助集中注意力.
6、预习自测是基于教材基础以及相关的基础知识编写难度较低的题目，但教师要把学生易错的共性问题要在课堂上再次强调，引起学生注意。
学法指导
1、用15分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识。
2、完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识例题，完成预习自测。
3、将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处，以便向老师请教或小组合作探究。
4、限时高质完成，可以用双色笔作修改补充。
（一）.旧知回顾
1.三角形的面积公式是什么？2.三角形三个内角的关系如何？直角三角形两个锐角之间的关系如何？3.三角形三边关系如何？4.具有什么特征的三角形是直角三角形？

（二）教材助读
1.在图18.1-1中，上面的两个小蓝正方形的边长是多少？面积又是多少？
2.在图18.1-1中，下面的大红正方形的边长是多少？面积又是多少？
3.两个小蓝正方形的面积与大红正方形的面积有什么关系？由此你可以归纳出这三个正方形围成的小直角三角形的边长有什么关系？
4.勾股定理适用于什么三角形？

(三)预习自测
1.勾股定理的具体内容是
2.如图1，RT⊿ABC的主要性质是：_________________
（！）两锐角之间的关系：_________________
（2）若D为斜边AB的中点，则______________________
（3）.若∠B＝30°则______________________
（4）三边之间的关系：_________________________
我的疑惑 ？
探究案
探究案设计意图：通过观察和拼图活动，调动学生的积极性和兴趣，为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间概念，发展形象思维，激发学生探求新知的欲望，激励学生敢于发表自己的见解，感受合作的重要性。
让学生学会倾听，欣赏。
如图2所示，直角三角形ABC中，直角三角形的三条边之间有什么关系。
这就是我们本节课要学习的内容。

(一) 学始于疑————我思考、我收获
1. 对于一般直角三角形，你能利用面积法验证勾股定理吗？
2. 你能用过股定理解决我们课本上的探究1吗？不妨试一试。
(二)质疑探究 质疑解疑、合作探究
（一）基础知识探究
本探究点考查学生的动手操作能力，老师应经主动权教给学生，让学生尽情享受自己学习带来的快乐。
探究点一 直角三角形三边的关系

实例一 观察图3. 其中每一小方格表示1平方厘米，思考并回答以下问题。
A
B
C
问题1.正方形A的面积＝_______平方
厘米；
正方形B的面积＝_______平方厘米.
正方形C的面积＝_______平方厘米.

（利用四个直角三角形的面积之和

问题2. 正方形面积与正方形C的A、B的
面积有什么关系？

实例2.观察图4，如果每一个小方格表示1平方厘米，思考并回答以下问题
A
B
C
C

问题1.正方形A的面积＝________平方厘米；
正方形B的面积＝_______平方厘米.
问题2. 正方形C的面积怎样计算？等于多少

。

问题3. 正方形A、B的面积与正方形C的面积有什么关系？

问题4. 观察图5，若正方形A的边长为a,正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，根据上面得到的面积关系，你可以得到a,b,c三者之间的关系是什么

A

B
C
C
a
b
c
a
b
c

探究点二：勾股定理的证明
实例1: 利用四个边长是a，b，c的直角三角形，拼成下面的一个大正方形.
动手做一做，探究下列问题：
问题1. 你能表示图6中大正方形、小正方形面积吗？

问题2. 你能由此得到勾股定理吗？你能给出证明吗？

（二）知识综合应用探究
探究点三：勾股定理的应用（重点、难点）
【例1】在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；　
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b
思考1. 勾股定理内容是什么？若已知两
直角边长度是a,b,则斜边c= .
思考2.若已知直角边a和斜边c的长度，
另一直角边b=

探究点二： 勾股定理的实际应用
【例2】一个门框的尺寸如图所示一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
例3：一架长为 10m 的梯子AB斜靠在墙上，若梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m.如果梯子的顶端下滑 2m ,那么它的底端是否也滑动 2m ?

三.知识网络图———归纳梳理、整合内化
请同学们对本节所学相关知识归纳总结后，填写下面的知识网络图：

： 勾股定理__ a2＋b2=c2
勾股定理 勾股定理的变形：a2=c2-b2 ,b2=c2-a2

检测案
检测案设计意图：检查学生学习勾股定理后的实际应用情况。
1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A.25 B.14 C.7 D.7或25
2.如图10，阴影部分是以直角三角形的一直角边的正方形，根据图中的数据，可求出阴影部分的面积为_______

知识小结：
1知识方面（1）勾股定理的证明（2）勾股定理的简单实际应用
3. 数学思想方面：（1）观察归纳;（2）数形结合;（3）等价转化
轻松一分钟： 勾股定理的趣味图片
探究点 四 勾股定理的证明
进入你争我夺环节 ：
看哪一组用自己准备的三角形纸片能拼摆不同的图形用面积法证明勾股定理

拓展升华 勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
， 整理得 .

【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.
∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.
∴ . ∴ .
【证法3】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90º.
∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.
∴ .
∴ .

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.
∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.
∴ .
∴ .

【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.
即 ∠CBD= 90º.
又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则

,
∴ .
 【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC，
∴ ∠MPC = 90º，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90º，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ，即 .