九年级数学下册 27.2.1 相似三角形的判定（第2课时）教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级下册数学教案.doc

27.2.1 相似三角形的判定 第二课时一、教学目标1核心素养通过图形相似的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力2学习目标（1）初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法（2）能够运用三角形相似的条件解决简单的问题 3学习重点掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似4学习难点（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似二、教学设计（一）课前设计1预习任务任务1 三边成比例的三角形相似吗？如何证明？任务2 两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？如何证明？2预习自测1三边_的两个三角形相似2两边_且夹角_的两个三角形相似3不能判定ABC和ABC相似的条件是()A B ，且AAC，且BA D ，且BC（二） 课堂设计1知识回顾1三角形全等的判定方法：SSS、SAS2相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似3全等三角形与相似三角形的关系：相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形2问题探究问题探究一 三边成比例的两个三角形相似吗？ 重点、难点知识活动1 提出问题，引导学生探究 引入：判定两个三角形全等我们有SSS的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？探究:任意画ABC和ABC，使ABC的各边长都是ABC各边长的k倍，ABCABC吗？ 1操作： 度量这两个三角形的对应角，这两个三角形的对应角相等，对应边成比例 2猜想：在ABC和ABC中，如果，那么ABCABC 3证明：分析：这时可在AB上截取AD=AB，再过D作DE/BC，由ADEABC，再证明ABCADE，则可得到ABCABC 4归纳：三角形相似的判定方法1：三边成比例的两个三角形相似5推理格式：，ABCABC活动2 例题讲解，相似三角形判定1的应用例：下面图中小正方形的边长均为1，则左面图中的三角形(阴影部分)与右面图中的ABC相似的是（ ）让学生讨论解决。解：由勾股定理知AC，BC2，AB选项A中，三角形的三边长分别为1，；选项B中，三角形的三边长分别为1，；选项C中，三角形的三边长分别为，3；选项D中，三角形的三边长分别为2，。选项B中的三角形与ABC相似点拨：这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判定方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的判定方法中的 “三边”要求的是“比相等” 三边的对应关系是“短短”“中中”“长长”本题主要体现“代数计算解决几何问题”的思想方法，这里具体地结合图形，利用勾股定理来证明活动3 应用练习1若ABC和满足下列条件，其中使ABC与相似的是()AAB25 cm，BC2 cm，AC3 cm；3 cm，4 cm，6 cmBAB2 cm，BC3 cm，AC4 cm；3 cm，6 cm，45 cmCAB10 cm，BCAC8 cm；cm，cmDAB1 cm，BCcm，AC3 cm；cm，cm，cm【知识点：相似三角形判定1】解：B2已知ABC的三边长分别为6 cm，75 cm，9 cm，DEF的一边长为4 cm，当DEF的另两边是下列哪一组时，这两个三角形相似()A2 cm，3 cm B4 cm，5 cm C5 cm，6 cm D6 cm，7 cm【知识点：相似三角形判定1】解：C问题探究二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似吗？ 重点、难点知识活动1 导入问题，合作探究导入：判定两个三角形全等我们有SAS的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？探究：利用刻度尺和量角器画ABC和ABC，使A=A，ABCABC吗？ 1操作：量出BC和BC，它们的比值等于k吗？B=B，C=C吗？ 2改变A的大小，结果怎样？改变k的值呢？ 3猜想：在ABC和ABC中，如果，A=A，那么ABCABC 4证明：在AB上截取AD=AB,作DEBC交AC于点EDEBC,ADEABC又,AD=AB,AE=ACABCADEABCABC 5结论：三角形相似的判定方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 6推理格式：,A=A，ABCABC 活动2 举反例探究 思考：在ABC与ABC中，如果，B=B，那么ABC与ABC一定相似吗？如果一定相似，给予证明；如果不一定相似，举一反例(画图) 教师可与引导学生回顾“两边对应相等，且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等”时所举出的反例，使学生能轻松地过渡到判别它们不一定能相似时可能存在的一种情形 用多媒体投放学生画出的反例图形：观察上面图形，如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，那么，这两个三角形一定相似吗？投影演示注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似哦活动3 例题讲解，相似三角形判定2的应用例1：根据下列条件，判断 ABC与A1B1C1是否相似，并说明理由：（1）A1200，AB=7cm，AC=14cm， A11200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。（2）B1200，AB=2cm，AC=6cm， B11200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。解析: （1）=,A=A11200ABCA1B1C1；（2） =，B=B11200，但B与B1不是AB AC A1B1 A1C1的夹角，所以ABC与A1B1C1不相似。点拨：两边成比例，它们的夹角相等才相似例2：如图：D，E分别是ABC的边AC,AB边上的点。AE=15，AC=2，BC=3，求DE的长？解：AE=15， AC=2，又EAD=CAB，ADEABCBC=3， 点拨 两三角形有一个角相等，要证明它们相似，可考虑夹这个角的两边是否成比例活动4 应用练习1如图，已知ABC，则下列4个三角形中，与ABC相似的是( )解：A2如图，在ABC与ADE中，BACD，要使ABC与ADE相似，还需满足下列条件中的( )A B C D解：C3课堂总结【知识梳理】（1）三角形相似的判定方法1：三边成比例的三角形相似；（2）三角形相似的判定方法2：两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似【重难点突破】 （1）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边，相等的角所对的边是对应边（2）判定方法2一定要注意区别“夹角相等” 的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似（3）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似（4）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1（5）两对应边成比例中的比例式既可以写成如的形式，也可以写成的形式（6）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似的方法：首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等（7）相似三角形的判定定理的作用：可以用来判定两个三角形相似；间接证明角相等、线段域比例；间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件4随堂检测1下列各组图形中不一定相似的是（ ）A各有一个800的两个等腰三角形 B各有一个角是1000的等腰三角形C各有一个角是1300的等腰三角形 D两个等腰直角三角形【知识点：相似三角形的判定2】2有甲、乙两块三角形木板，甲三角形木板的三边长分别为，乙三角形木框的三边长分别为，则甲、乙两个三角形()A不一定相似 B一定不相似 C一定相似 D无法判断【知识点：相似三角形的判定1】3如图，下列三角形的顶点都在正方形网格的格点上，则与ABC相似的三角形所在的格图形是()【知识点：相似三角形的判定1；数学思想：数形结合】4如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O若，则下列两个三角形中一定相似的是()AAOB与AOD BAOB与COD CAOB与COB DAOD与COB【知识点：相似三角形的判定2】5如图，下列条件中，能使ACDABC的是()A B CCD2ADBD DAC2ADAB【知识点：相似三角形的判定2】（三）课后作业基础型 自主突破1一个钢筋三脚架三边长分别是20 cm、50 cm、60 cm现在再做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则下列截法：将30 cm截出5 cm和25 cm；将50 cm截出10 cm和25 cm；将50 cm截出12 cm和36 cm；将50 cm截出20 cm和30 cm其中正确的有( )A1个 B2个 C3个 D4个【知识点：相似三角形的判定1】2如图，下列都是23的正方形网格图，图中三角形的顶点都在正方形网格的格点上，则下列图中的三角形与ABC相似的是（）【知识点：相似三角形的判定1；数学思想：数形结合】3如图，DABCAE，ABADAEAC，则D_【知识点：相似三角形的判定2】4在ABC和ABC，若BB，AB18，BC24，AB12，则当BC_时，ABCABC【知识点：相似三角形的判定2】5如图，已知，BAD20，求CAE的大小【知识点：相似三角形的判定1】6如图，在ADE中，点B、C在边DE上，连接AB、AC,已知ABAC，AC2DBCE求证：ADBEAC【知识点：相似三角形的判定1】能力型 师生共研7如图，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，图中与ABC相似的三角形是（ ） A BCD、BDE、BFG BBDE、BFG、FGHCBFG、FGH、EFK DBCD、BDE、EFK【知识点：相似三角形的判定1；数学思想：数形结合】8如图，ABC为等边三角形，D，E分别在AC，AB上，且，E为AB中点，则有()AAEDBED BAEDCBD CAEDABD DBADBCD【知识点：相似三角形的判定2；数学思想：数形结合】9如图，在ABC中，AB28，AC14，点D在AC上，AD6，点E在AB上，当ADE和ABC相似时，求AE的长【知识点：相似三角形的判定2；数学思想：数形结合；分类讨论】10如图，在正方形ABCD中，E为AD中点，点F在CD上，CF=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为8，求BG的长【知识点：相似三角形的判定2，正方形性质；数学思想：数形结合】探究型 多维突破11如图，ABBC于点B，CDBC于点C，AB8，CD12，BC28，P为BC边上一点，试问BP为何值时，以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似？【知识点：相似三角形的判定2；数学思想：数形结合；分类讨论】12如图，在ABC中，AC20厘米，BC24厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以2 cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以3cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒PQC和ABC相似？【知识点：相似三角形的判定2；数学思想：数形结合；分类讨论】自助餐1ABC的三边长分别为、2，ABC的两边长分别为1和，如果ABCABC，那么ABC的第三边的长应等于( )A B2 CD2【知识点：相似三角形的判定1】2如图，在ABC中，点P在AB上，下列四个条件：BC2BPBA；CP2BPPA；AC2APAB；ABCPAPCB其中能满足APC和ACB相似的条件有() A1个 B2个 C3个 D4个【知识点：相似三角形的判定2】3如图，在66的正方形网格中，靠边的四个三角形与中间ABC相似的有()A4个 B3个 C2个 D1个【知识点：相似三角形的判定1，勾股定理；数学思想：数形结合】4如图，在四边形ABCD中，ABCDAB=90，AB16，AD6，BC8，点P为AB边上一动点若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是()A1 B2 C3 D4【知识点：相似三角形的判定1；数学思想：数形结合】5如图，BCCD于点C，DEBE于点E，AC6，BC8，AE4，则AD_【知识点：相似三角形的判定2，勾股定理；数学思想：数形结合】 6在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，AB=50，AD=30在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长为_【知识点：相似三角形的判定2的应用，平行四边形性质；数学思想：数形结合】7如图，点D、F分别在ABC的边BC、AB上，连接AD、CF交于点E，且BC=3BD，AE:DE=2则的值为 【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】8已知直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与A点重合)，使以B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，则点C的坐标为_【知识点：相似三角形判定，一次函数；数学思想：数形结合，分类讨论】9如图，在四边形ABCD中，AB=12，BC=8，AC=10，CD=15，B=ACD，求AD的长【知识点：相似三角形的判定2；数学思想：数形结合】10. 如图，在ADB和AEC中，ADB=AEC，ABD=ACE求证：ABCADE【知识点：相似三角形的判定2】11如图，在ABC中，D为AC上一点，连接BD已知AB=AC=2，AD=BC=（1）求证：AD2=ACCD；（2）求ABD的度数【知识点：相似三角形的判定2,等腰三角形性质；数学思想：数形结合】12如图，点O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，点E、F是边AD的三等分点BE、BF分别交AC于点G、H（1）求EG：BG的值；（2）求证：AG=OG；（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值【知识点：相似三角形判定的预备定理，平行四边形性质，线段的比；数学思想：数形结合】五参考答案预习自测1成比例2成比例 相等3D随堂检测1. A2. C3. B4. B5. D课后作业基础型1. B2. B3. B4. 165，ABCADE，BACDAE，又DAC是公共角，CAEBAD206ABAC，ABCACB，ABDACEAC2DBCE，即，ADBEAC能力型7 B 计算出6个三角形的三边长，看中三角形与三角形三边是否成比例设第个小正方形的边长为1，则ABC的各边长分别为1、则BCD的各边长分别为1、；BDE的各边长分别为2、（为ABC各边长的2倍）；BFG的各边长分别为5、（为ABC各边长的倍）；FGH的各边长分别为2、（为ABC各边长的倍）；EFK的各边长分别为3、根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形相似的是故选B 8 B AD：AC=1：3，AD：DC=1：2；ABC是正三角形，AB=BC=AC；AE=BE，AE：BC=AE：AB=1：2，AD：DC=AE：BC；A为公共角，AEDCBD；故选B 9 设AE的长为xA是公共角， 当ADE和ABC相似时，有 即， 解得x12或x3所以AE的长为12或310（1）ABCD为正方形，AD=AB=DC=BC，A=D=90，AE=ED，CF=3DF，DF=DC，ABEDEF；（2）ABCD为正方形，EDBG，又DF=CF，正方形的边长为8，ED=4，CG=12，BG=BC+CG=20探究型11分两种情况：当时，ABPDCP设BPx，则CP28x，解得x112 即当BP112时，ABPDCP当时，ABPPCD设BPx，则CP28x，解得x14，x224综上所述，当BP112或BP4或BP24时，以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似12设经过x秒后，PQC与ABC相似，则AP2x，CQ3x，CP202x当CPQCAB时，则，解得当CPQCBA时，则，解得综上所述，当经过秒或秒时，PQC和ABC相似自助餐1C2A3C 和ABC对应成比例的是下边的和右边的三角形，所以有两个故答案为：24. C ADBC，ABC90，PAD=PBC=90AB=16，AD=6，BC=8，设AP的长为x，则BP长为16-x若AB边上存在P点，使PAD与PBC相似，那么分两种情况：若APDBPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（16-x）=6：8，解得x=，若APDBCP，则AP：BC=AD：BP，即x：8=6：（16-x），解得x=4或x=12满足条件的点P的个数是3个， 故选：C 56 9 7如图，作DGAB交CF与G，则，设GEk，EF2k，FG3k，GC6k，CE7k，8(1，0)或(1，0)或(4，0)点拨：当BOCAOB时，OB2OCOA，OC，OC1，C(1，0)或(1，0)当BOCBOA时，BOCBOA，此时OCOA4，但点C不与点A重合，C(4，0)9AB=12，BC=8，AC=10，CD=15，且B=ACD，ABCDCA,AD=10ADB=AEC，ABD=ACE,ABDACE，BADCAE又BACBADDAC，DAEDACCAE，BACDAEABDACE，在ABC和ADE中，BACDAE，ABCADE11（1）AD=BC=，DC=2（）=AD2=，ACCD=2（）=AD2=ACCD（2）AD=BC，AD2=ACCD，BC2=ACCD，即又C=C，BCDACB，DBC=ADB=CB=ADA=ABD，C=BDC设A=x，则ABD=x，DBC=x，C=2xA+ABC+C=180，x+2x+2x=180解得：x=36ABD=3612（1）四边形ABCD是平行四边形，AO=AC，AD=BC，ADBC，AEGCBG，=AE=EF=FD，BC=AD=3AE，GC=3AG，GB=3EG，EG：BG=1：3；（2）GC=3AG（已证），AC=4AG，AO=AC=2AG，GO=AOAG=AG；（3）AE=EF=FD，BC=AD=3AE，AF=2AEADBC，AFHCBH，=，=，即AH=ACAC=4AG，a=AG=AC，b=AHAG=ACAC=AC，c=AOAH=ACAC=AC，a：b：c=：=5：3：2