资源描述
27.2.1 相似三角形的判定 第二课时
一、教学目标
1．核心素养
通过图形相似的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力．
2．学习目标
（1）初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
（2）能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
3．学习重点
掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．
4．学习难点
（1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1 三边成比例的三角形相似吗？如何证明？
任务2 两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？如何证明？
2．预习自测
1．三边__________的两个三角形相似．
2．两边_________且夹角_______的两个三角形相似．
3．不能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是( )
A． B． ，且∠A＝∠A′
C．，且∠B＝∠A′ D． ，且∠B＝∠C′
（二） 课堂设计
1．知识回顾
1．三角形全等的判定方法：SSS、SAS
2．相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3．全等三角形与相似三角形的关系：相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．
2．问题探究
问题探究一 三边成比例的两个三角形相似吗？ 重点、难点知识★▲
●活动1 提出问题，引导学生探究
引入：判定两个三角形全等我们有SSS的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？
探究:任意画ΔABC和ΔA′B′C′，使ΔA′B′C′的各边长都是ΔABC各边长的k倍，△ABC∽ΔA′B′C′吗？
1．操作： 度量这两个三角形的对应角，这两个三角形的对应角相等，对应边成比例．
2．猜想：在ΔABC和ΔA′B′C′中，如果，那么ΔABC∽△A′B′C′．
3．证明：分析：这时可在A′B′上截取A′D=AB，再过D作DE//B′C′，由△A′DE∽△A′B′C′，再证明△ABC≌△A′DE，则可得到△ABC∽△A′B′C′．
4．归纳：三角形相似的判定方法1：三边成比例的两个三角形相似．
5．推理格式：∵，∴△ABC∽△A′B′C′．
●活动2 例题讲解，相似三角形判定1的应用
例：下面图中小正方形的边长均为1，则左面图中的三角形(阴影部分)与右面图中的△ABC相似的是（ ）
让学生讨论解决。
解：由勾股定理知AC＝，BC＝2，AB＝
选项A中，三角形的三边长分别为1，，；
选项B中，三角形的三边长分别为1，，；
选项C中，三角形的三边长分别为，，3；
选项D中，三角形的三边长分别为2，，。
∴选项B中的三角形与△ABC相似．
点拨：这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判定方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的判定方法中的 “三边”要求的是“比相等”． 三边的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”．本题主要体现“代数计算解决几何问题”的思想方法，这里具体地结合图形，利用勾股定理来证明．
●活动3 应用练习
1．若△ABC和△满足下列条件，其中使△ABC与△相似的是( )
A．AB＝2．5 cm，BC＝2 cm，AC＝3 cm；＝3 cm，＝4 cm，＝6 cm
B．AB＝2 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm；＝3 cm，＝6 cm，＝4．5 cm
C．AB＝10 cm，BC＝AC＝8 cm；＝cm，＝＝cm
D．AB＝1 cm，BC＝cm，AC＝3 cm；＝cm，＝cm，＝cm
【知识点：相似三角形判定1】
解：B
2．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7．5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边是下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
【知识点：相似三角形判定1】
解：C
问题探究二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似吗？ 重点、难点知识★▲
●活动1 导入问题，合作探究
导入：判定两个三角形全等我们有SAS的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？
探究：利用刻度尺和量角器画ΔABC和ΔA′B′C′，使∠A=∠A′，．ΔABC∽△A′B′C′吗？
1．操作：量出BC和B′C′，它们的比值等于k吗？∠B=∠B′，∠C=∠C′吗？
2．改变∠A的大小，结果怎样？改变k的值呢？
3．猜想：在ΔABC和ΔA′B′C′中，如果，∠A=∠A′，
那么ΔABC∽△A′B′C′．
4．证明：在A′B′上截取A′D=AB,作DE∥B′C′交A′C′于点E．
∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′．
∴．
又∵,A′D=AB,
∴A′E=AC．∴△ABC≌△A′DE．
∴△ABC∽△A′B′C′．
5．结论：三角形相似的判定方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
6．推理格式：∵,∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′．
●活动2 举反例探究
思考：在ΔABC与ΔA′B′C′中，如果，∠B=∠B′，那么ΔABC与ΔA′B′C′一定相似吗？如果一定相似，给予证明；如果不一定相似，举一反例(画图)．
教师可与引导学生回顾“两边对应相等，且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等”时所举出的反例，使学生能轻松地过渡到判别它们不一定能相似时可能存在的一种情形．
用多媒体投放学生画出的反例图形：
观察上面图形，如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，那么，这两个三角形一定相似吗？
投影演示
注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似哦．
●活动3 例题讲解，相似三角形判定2的应用
例1：根据下列条件，判断 ∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，
∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。
（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，
∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。
解析: （1）==,∠A=∠A1＝1200 ∆ABC∽∆A1B1C1；
（2） ==，∠B=∠B1＝1200，但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，所以∆ABC与∆A1B1C1不相似。
点拨：两边成比例，它们的夹角相等才相似．
例2：如图：D，E分别是△ABC的边AC,AB边上的点。AE=1．5，AC=2，BC=3，求DE的长？
解：∵AE=1．5， AC=2，
∴
∵
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC．
∴
∵BC=3，
∴
点拨 两三角形有一个角相等，要证明它们相似，可考虑夹这个角的两边是否成比例．
●活动4 应用练习
1．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )
解：A
2．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
解：C
3．课堂总结
【知识梳理】
（1）三角形相似的判定方法1：三边成比例的三角形相似；
（2）三角形相似的判定方法2：两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似．
【重难点突破】
（1）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边，相等的角所对的边是对应边．
（2）判定方法2一定要注意区别“夹角相等” 的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似．
（3）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似．
（4）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1．
（5）两对应边成比例中的比例式既可以写成如的形式，也可以写成的形式．
（6）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供．利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似的方法：首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似．特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等．
（7）相似三角形的判定定理的作用：①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等、线段域比例；③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件．
4．随堂检测
1．下列各组图形中不一定相似的是（ ）
A．各有一个800的两个等腰三角形 B．各有一个角是1000的等腰三角形
C．各有一个角是1300的等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
【知识点：相似三角形的判定2】
2．有甲、乙两块三角形木板，甲三角形木板的三边长分别为，乙三角形木框的三边长分别为，则甲、乙两个三角形( )
A．不一定相似 B．一定不相似 C．一定相似 D．无法判断
【知识点：相似三角形的判定1】
3．如图，下列三角形的顶点都在正方形网格的格点上，则与△ABC相似的三角形所在的格图形是( )
【知识点：相似三角形的判定1；数学思想：数形结合】
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若，则下列两个三角形中一定相似的是( )
A．ΔAOB与ΔAOD B．ΔAOB与ΔCOD
C．ΔAOB与ΔCOB D．ΔAOD与ΔCOB
【知识点：相似三角形的判定2】
5．如图，下列条件中，能使△ACD∽△ABC的是( )
A．＝ B．＝
C．CD2＝AD·BD D．AC2＝AD·AB
【知识点：相似三角形的判定2】
（三）课后作业
基础型 自主突破
1．一个钢筋三脚架三边长分别是20 cm、50 cm、60 cm．现在再做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则下列截法：①将30 cm截出5 cm和25 cm；②将50 cm截出10 cm和25 cm；③将50 cm截出12 cm和36 cm；④将50 cm截出20 cm和30 cm．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识点：相似三角形的判定1】
2．如图，下列都是2×3的正方形网格图，图中三角形的顶点都在正方形网格的格点上，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（ ）
【知识点：相似三角形的判定1；数学思想：数形结合】
3．如图，∠DAB＝∠CAE，AB·AD＝AE·AC，则∠D＝____．
【知识点：相似三角形的判定2】
4．在△ABC和△A′B′C′，若∠B＝∠B′，AB＝18，BC＝24，A′B′＝12，则当B′C′＝______时，△ABC∽△A′B′C′
【知识点：相似三角形的判定2】
5．如图，已知＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的大小．
【知识点：相似三角形的判定1】
6．如图，在△ADE中，点B、C在边DE上，连接AB、AC,已知AB＝AC，AC2＝DB·CE．求证：△ADB∽△EAC．
【知识点：相似三角形的判定1】
能力型 师生共研
7．如图，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，图中与△ABC相似的三角形是（ ）
A． △BCD、△BDE、△BFG B．△BDE、△BFG、△FGH
C．△BFG、△FGH、△EFK D．△BCD、△BDE、△EFK
【知识点：相似三角形的判定1；数学思想：数形结合】
8．如图，ΔABC为等边三角形，D，E分别在AC，AB上，且，E为AB中点，则有( )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
【知识点：相似三角形的判定2；数学思想：数形结合】
9．如图，在△ABC中，AB＝28，AC＝14，点D在AC上，AD＝6，点E在AB上，当△ADE和△ABC相似时，求AE的长．
【知识点：相似三角形的判定2；数学思想：数形结合；分类讨论】
10．如图，在正方形ABCD中，E为AD中点，点F在CD上，CF=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为8，求BG的长．
【知识点：相似三角形的判定2，正方形性质；数学思想：数形结合】
探究型 多维突破
11．如图，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB＝8，CD＝12，BC＝28，P为BC边上一点，试问BP为何值时，以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似？
【知识点：相似三角形的判定2；数学思想：数形结合；分类讨论】
12．如图，在△ABC中，AC＝20厘米，BC＝24厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以2 cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以3cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
【知识点：相似三角形的判定2；数学思想：数形结合；分类讨论】
自助餐
1．△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于( )
A． B．2 C． D．2
【知识点：相似三角形的判定1】
2．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①BC2＝BP·BA；②CP2＝BP·PA；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB．其中能满足△APC和△ACB相似的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识点：相似三角形的判定2】
3．如图，在6×6的正方形网格中，靠边的四个三角形与中间△ABC相似的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【知识点：相似三角形的判定1，勾股定理；数学思想：数形结合】
4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DAB=90°，AB＝16，AD＝6，BC＝8，点P为AB边上一动点．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点：相似三角形的判定1；数学思想：数形结合】
5．如图，BC⊥CD于点C，DE⊥BE于点E，AC＝6，BC＝8，AE＝4，则AD＝_______．
【知识点：相似三角形的判定2，勾股定理；数学思想：数形结合】
6．在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，AB=50，AD=30．在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长为________．
【知识点：相似三角形的判定2的应用，平行四边形性质；数学思想：数形结合】
7．如图，点D、F分别在△ABC的边BC、AB上，连接AD、CF交于点E，且BC=3BD，AE:DE=2．则的值为 ．
【知识点：平行线分线段成比例定理，相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】
8．已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与A点重合)，使以B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为______________________________．
【知识点：相似三角形判定，一次函数；数学思想：数形结合，分类讨论】
9．如图，在四边形ABCD中，AB=12，BC=8，AC=10，CD=15，∠B=∠ACD，求AD的长．
【知识点：相似三角形的判定2；数学思想：数形结合】
10. 如图，在ΔADB和ΔAEC中，∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE．
求证：△ABC∽△ADE．
【知识点：相似三角形的判定2】
11．如图，在△ABC中，D为AC上一点，连接BD．已知AB=AC=2，AD=BC=．
（1）求证：AD2=AC•CD；
（2）求∠ABD的度数．
【知识点：相似三角形的判定2,等腰三角形性质；数学思想：数形结合】
12．如图，点O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，点E、F是边AD的三等分点．BE、BF分别交AC于点G、H．
（1）求EG：BG的值；
（2）求证：AG=OG；
（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值．
【知识点：相似三角形判定的预备定理，平行四边形性质，线段的比；数学思想：数形结合】
五．参考答案
预习自测
1．成比例
2．成比例 相等
3．D
随堂检测
1. A
2. C
3. B
4. B
5. D
课后作业
基础型
1. B
2. B
3. ∠B
4. 16
5．∵＝＝，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，
又∠DAC是公共角，∴∠CAE＝∠BAD＝20°
6．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE．∵AC2＝DB·CE，
∴＝，即＝，∴△ADB∽△EAC．
能力型
7． B 计算出6个三角形的三边长，看②～⑥中三角形与三角形①三边是否成比例．
设第个小正方形的边长为1，则ΔABC的各边长分别为1、、．则
②ΔBCD的各边长分别为1、、；
③ΔBDE的各边长分别为2、、（为ΔABC各边长的2倍）；
④ΔBFG的各边长分别为5、、（为ΔABC各边长的倍）；
⑤ΔFGH的各边长分别为2、、（为ΔABC各边长的倍）；
⑥ΔEFK的各边长分别为3、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．故选B．
8． B ∵AD：AC=1：3，∴AD：DC=1：2；
∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=AC；
∵AE=BE，∴AE：BC=AE：AB=1：2，∴AD：DC=AE：BC；
∵∠A为公共角，∴△AED∽△CBD；故选B．
9． 设AE的长为x．∠A是公共角，
当△ADE和△ABC相似时，有
即， 解得x＝12或x＝3．所以AE的长为12或3．
10．（1）∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，∴，∵CF=3DF，∴DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，
又∵DF=CF，正方形的边长为8，∴ED=4，CG=12，∴BG=BC+CG=20．
探究型
11．分两种情况：
①当＝时，△ABP∽△DCP．
设BP＝x，则CP＝28－x．∴，
解得x＝11．2． 即当BP＝11．2时，△ABP∽△DCP．
②当＝时，△ABP∽△PCD．
设BP＝x，则CP＝28－x．∴，
解得x1＝4，x2＝24．
综上所述，当BP＝11．2或BP＝4或BP＝24时，以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似．
12．设经过x秒后，△PQC与△ABC相似，
则AP＝2x，CQ＝3x，CP＝20－2x．
①当△CPQ∽△CAB时，＝，则，解得．
②当△CPQ∽△CBA时，＝，则，解得．
综上所述，当经过秒或秒时，△PQC和△ABC相似．
自助餐
1．C
2．A
3．C
和△ABC对应成比例的是下边的和右边的三角形，所以有两个．故答案为：2．
4. C ∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=16，AD=6，BC=8，
设AP的长为x，则BP长为16-x．
若AB边上存在P点，使ΔPAD与ΔPBC相似，那么分两种情况：
①若ΔAPD∽ΔBPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（16-x）=6：8，解得x=，
②若ΔAPD∽ΔBCP，则AP：BC=AD：BP，即x：8=6：（16-x），解得x=4或x=12．
∴满足条件的点P的个数是3个， 故选：C．
5．
6． 9
7．如图，作DG∥AB交CF与G，则＝＝，，
设GE＝k，EF＝2k，FG＝3k，GC＝6k，
∴CE＝7k，∴＝＝
8．(1，0)或(－1，0)或(－4，0)
点拨：①当△BOC∽△AOB时，
OB2＝OC·OA，OC＝＝，OC＝1，∴C(1，0)或(－1，0)．
②当△BOC∽△BOA时，△BOC≌△BOA，此时OC＝OA＝4，
但点C不与点A重合，∴C(－4，0)．
9．∵AB=12，BC=8，AC=10，CD=15，
∴，且∠B=∠ACD，
∴ΔABC∽ΔDCA,
∴,,∴AD=．
10．∵∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE,
∴△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE．
又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE．∵△ABD∽△ACE，∴＝．
在△ABC和△ADE中，
∵∠BAC＝∠DAE，＝，∴△ABC∽△ADE．
11．（1）∵AD=BC=，∴DC=2﹣（）=．
∴AD2=，AC•CD=2×（）=．
∴AD2=AC•CD．
（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．
又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．
12．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC，AD=BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴==．
∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，∴GC=3AG，GB=3EG，∴EG：BG=1：3；
（2）∵GC=3AG（已证），∴AC=4AG，∴AO=AC=2AG，∴GO=AO﹣AG=AG；
（3）∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，AF=2AE．
∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴===，∴=，即AH=AC．
∵AC=4AG，∴a=AG=AC，b=AH﹣AG=AC﹣AC=AC，
c=AO﹣AH=AC﹣AC=AC，
∴a：b：c=：：=5：3：2．
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