九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法教案 （新版）华东师大版-（新版）华东师大版初中九年级上册数学教案.doc

222一元二次方程的解法222.1直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法 【知识与技能】1理解一元二次方程降次的转化思想2会用直接开平方法解形如(xb)2n(n0)的一元二次方程【过程与方法】1会用直接开平方法解简单的一元二次方程2会根据平方根的意义解缺一次项的一元二次方程ax2c0，然后迁移到解a(xf)2c0型的一元二次方程【情感态度】1通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯2感受数学的严谨性以及数学结论的确定性 【教学重点】运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程；领会解一元二次方程的基本思想通过降次转化为一元一次方程求解 【教学难点】通过根据平方根的意义解形如x2n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm)2n(n0)的方程一、创设情境，导入新知1叙述平方根的定义2求适合x24的x的值说明：学生不难得出本题的解x2或x2.教师可引导学生观察这个方程的特点，探索解这个方程与已学知识(第11章“数的开方”中的平方根)的联系在求出方程x24的解以后，教师总结：解这样的方程就是“要求一个数，使它的平方等于4”，即求4的平方根，可用直接开平方的方法从而引出新课直接开平方法解一元二次方程二、合作探究，理解新知问题1：怎样解形如x2b的方程？教师用上面的例子说明这类一元二次方程的解法，当b0时，方程解为x.问题2：怎样解方程ax2c0(a0)?(1)教师可用x220；2x280；2x280等方程为例，由学生把它们变形为x2的形式，再用平方根的定义来求解，并指出方程的解不存在在此基础上给出直接开平方法的定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程根的方法叫直接开平方法(2)引导学生归纳方程ax2c0(a0)的解法：当a、c异号时，方程ax2c0的根为x；当a、c同号时，方程无实数根(3)对于下列方程你能用直接开平方法解吗？(y1)22；(3x1)240；2x230；x24x41.例题讲解例1：解方程：(x2)25.解：原方程两边开平方，得x2.所以原方程的解为x12，x22.【教学说明】在讲此题时，可说明：(1)在这里我们把(x2)看作一个整体，就可以转化为x2n(n0)的形式解，这里渗透了换元的思想(2)在对(x2)25两边同时开平方后，原方程就可转化为两个一元一次方程，这时可向学生指出，这种变形就是降次，解一元二次方程的实质就是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程“降次”也是一种常用的数学方法例2：解下列方程：(1)(x)2(2)2；(2)(x)(x)7；(3)x24x41.解：(1)方程两边直接开平方，得x(2)所以原方程的解是x12，x22；(2)原方程变形为x257，即x212.两边开平方，得x2 .所以原方程的解为x12 ，x22 ；(3)原方程变形为(x2)21，所以x21.所以原方程的解为x13，x21.【教学说明】凡是能化成(xm)2n形式的方程都能用直接开平方的方法求解例3：解方程：(x3)24(2x1)2.解：方程两边直接开平方，得x32(2x1)所以x32(2x1)，或x32(2x1)所以原方程的解为x1，x2.【教学说明】形如(axb)2(cxd)2(ac0)的方程也可用直接开平方的方法求解三、尝试练习，掌握新知请同学们完成探究在线高效课堂“随堂练习”部分四、课堂小结，梳理新知本节课你有什么收获或困惑？1直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：(1)x2n(n0)；(2)(xb)2n(n0)解法的根据是平方根的定义2解一元二次方程的实质是降次，在解题过程中要注意换元方法的渗透五、深入练习，巩固新知请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”部分教材第23页练习第(1)、(2)、(3)题第2课时因式分解法 【知识与技能】1了解因式分解法的概念2会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程【过程与方法】1能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性2体会运用转化的数学思想【情感态度】积极探索不同的解法，并和同伴进行交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最优方法，在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心 【教学重点】应用因式分解法解一元二次方程 【教学难点】将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解一、创设情境，导入新知1将下列各式分解因式：(1)y23y；(2)4x29；(3)(3x4)2(4x3)2；(4)x22 x2.2解一元二次方程的基本思想是什么？3判断下列原命题与逆命题是否正确？(1)原命题：若a1或b1，则ab1；逆命题：若ab1，则a1或b1.(2)原命题：若a0或b0，则ab0；逆命题：若ab0，则a0或b0.(3)原命题：若x20或x30，则(x2)(x3)0；逆命题：若(x2)(x3)0，则x20或x30.二、合作探究，理解新知问题1：试用不同的方法把方程x210转化为两个一次方程方法1：直接开平方法：x210，移项，得x21，开平方，得x11，x21.方法2：因式分解法：将方程左边分解因式，得(x1)(x1)0.这里方程的左边是两个因式的积，而右边为零，这两个因式中至少有一个为零，即x10或x10；反过来，如果两个因式有一个等于零，那么它们的积等于零这就是说，解方程(x1)(x1)0，就相当于解方程x10或x10.所以原方程可化为x10或x10.问题2：(1)你能求出方程x210的解吗？试试看学生独立完成，教师归纳并指出这种利用分解因式来解一元二次方程的方法叫因式分解法(2)快速回答：下列各方程的根分别是多少？x(x2)0；(y3)(y2)0；(2x1)(x2)0；x2x.例题讲解例1：解下列方程：(1)3x22x0；(2)x23x.解：(1)方程左边分解因式，得x(3x2)0.所以x0或3x20.得x10，x2.(2)移项，得x23x0.方程左边分解因式，得x(x3)0.所以x0或x30.得x10，x23.【教学说明】可先让学生完成在讲解此题过程中师生共同归纳出用因式分解法解一元二次方程的步骤为：方程右边化为零；将方程左边分解成两个一次因式的乘积；令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解例2：解下列方程：(1)3x(x2)5(x2)；(2)(3x1)250.解：(1)移项，得3x(x2)5(x2)0.(x2)(3x5)0，所以x20或3x50.得x12，x2.(2)原方程变形为(3x1)(3x1)0.所以3x10或3x10.得x1，x2.【教学说明】第(2)题可用直接开平方法解三、尝试练习，掌握新知1教材第23页练习第(4)、(5)、(6)题2请同学们完成探究在线高效课堂“随堂练习”部分四、课堂小结，梳理新知能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？先由学生自由发言，教师再投影演示：1能用因式分解法来解的一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积2用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边化为零；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；(3)令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解3用因式分解法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.4用因式分解法解一元二次方程的注意点：(1)必须将方程的右边化为零；(2)方程两边不能同时除以含有未知数的代数式五、深入练习，巩固新知请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”部分教材第36页习题22.2第1题222.2配方法 【知识与技能】理解配方法，会用配方法解简单数字系数的一元二次方程【过程与方法】1经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会转化的数学思想2在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程，培养学生用转化的数学思想解决问题的能力【情感态度】启发学生学会观察、分析，寻找解题的途径，提高他们分析问题、解决问题的能力 【教学重点】理解并掌握配方法，能够运用配方法解一元二次方程 【教学难点】用配方法解一元二次方程的过程一、创设情境，导入新知1回顾完全平方公式：(1)a22abb2(ab)2；(2)a22abb2(ab)2.2填空：(1)x28x_(x4)2；(2)x24x_(x_)2；(3)x2_x9(x_)2.让学生做，然后交流：你是如何进行配方的？结论：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方3利用开平方法我们已经求过(x1)24这样方程的解，你会解下面的方程吗？x22x14，x22x3，x22x30.让学生做，并指定学生板演教师小结这种解一元二次方程的基本思路，介绍配方法二、合作探究，理解新知探究一：1.解方程：x26x70.这个方程显然不能用直接开平方法解，能否把这个方程化成可用开平方法来解的形式？即(xm)2n的形式？我们可以这样变形：把常数项移到右边，得x26x7，对等号左边进行配方，得x26x32732，(x3)22.这样，就把原方程化为与上面方程一样的形式了像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后(即化为(xm)2n形式)，再用开平方来解的方法叫配方法(板书)用配方法解一元二次方程2用配方法解下列方程：(1)x26x70；(2)x23x10.解：(1)移项，得x26x7.方程左边配方，得x22x332732，即(x3)216.所以x34.得x17，x21.(2)移项，得x23x1.方程左边配方，得x22x()21()2，即(x)2.所以x，所以x1，x2.【教学说明】可先让学生做，并指定学生板演思考：用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？让学生进行充分的探讨，然后交流探究二：解方程：2x23x10.引导学生将二次项系数化为1，再让学生自己完成：解：化二次项系数为1，得x2x0.移项，得x2x，下面的过程由学生补充完整：_解完此题后，让学生进一步思考：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？学生讨论、回答，教师补充归纳三、尝试练习，掌握新知1教材第27页练习第2题(1)2补充练习：解下列方程：(1)4x24x10；(2)x22x50；(3)x22x50.【教学说明】设计补充练习，是为了强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识3请同学们完成探究在线高效课堂“随堂练习”部分四、课堂小结，梳理新知本节课你有哪些收获？1把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法2用配方法解一元二次方程的一般步骤是：(1)化1：方程两边同除以二次项的系数；(2)移项：把常数项移到方程的右边；(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)开方：根据平方根意义，方程两边开平方；(5)求解：解一元一次方程；(6)定解：写出原方程的解五、深入练习，巩固新知请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”部分1教材第27页练习第2题(2)2习题22.2第4题(6)、(7)3补充作业：(1)解方程：3x22x40；(2)用配方法解方程x2pxq0(p24q0)222.3公式法 【知识与技能】1理解一元二次方程求根公式的推导过程2会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程【过程与方法】经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯【情感态度】通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习中获得成功的体验，建立学好数学的自信心 【教学重点】掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程 【教学难点】一元二次方程求根公式的推导过程一、创设情境，导入新知1用配方法解下列方程：(1)4x212x10；(2)3x22x30.2用配方法解一元二次方程的步骤是什么？说明：教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤，为本节课的学习做好铺垫3你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2bxc0(a0)吗？二、合作探究，理解新知问题1：你能用配方法把一般形式的一元二次方程ax2bxc0(a0)转化为(xm)2n的形式吗？【教学说明】教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识，最后化成(x)2.a0，方程两边都除以a，得x2x0，移项，得x2x，配方，得x2x()2()2，即(x)2.问题2：当b24ac0，且a0时，大于等于零吗？教师让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当b24ac0时，因为a0，所以4a20，从而得出0.问题3：在问题2的条件下，直接开平方你得到什么结论？让学生讨论可得x.【教学说明】若有必要，可让学生讨论为什么成立？问题4：由问题1、问题2、问题3，你能得出什么结论？让学生讨论、交流，从中得出结论，当b24ac0时，一般形式的一元二次方程ax2bxc0(a0)的根为x，即x.由以上研究结果，得到了一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式：x(b24ac0)说明和建议：(1)求根公式x(b24ac0)是专指一元二次方程的求根公式，b24ac0是一元二次方程ax2bxc0(a0)求根公式的重要条件(2)用公式法(求根公式)解一元二次方程，实际上就是给出a、b、c的数值(或表示式)，然后对代数式进行求值由于这样的计算比较复杂，所以要提醒学生计算时注意a、b、c的符号例题讲解例1：解下列方程(教材例6)(1)2x2x60；(2)x24x2；(3)5x24x120；(4)4x24x1018x.解：(1)这里a2，b1，c6，b24ac1242(6)14849.所以x.即x12，x2.(2)将方程化为一般形式，得x24x20.因为b24ac24，所以x2.即x12，x22.(3)因为b24ac256，所以x.即x1，x22.(4)整理，得4x212x90.因为b24ac0，所以x，即x1x2.讲解要点：(1)对于(2)、(4)首先要把方程化成一般形式；(2)提醒学生注意符号，如(3)题中b4，公式中的b，应为(4)；(3)先计算b24ac的值，再代入公式求解；(4)对于第(4)题不要写成x.例2：解方程x25x80.解：因为a1，b5，c8，b24ac5241870，所以方程无实数解说明：当b24ac0时，不用代入求根公式，直接写出方程无实数解即可三、尝试练习，掌握新知1教材第30页练习(1)、(3)2教材习题22.2第4题(1)、(2)、(3)、(6)3请同学们完成探究在线高效课堂“随堂练习”部分四、课堂小结，梳理新知本节课你学到了什么？还有什么不足？用公式法解一元二次方程ax2bxc0(a0)的一般步骤：(1)把方程整理成一般形式，进而确定a、b、c的值(包括符号)；(2)求出b24ac的值(若b24ac0，方程无实数解)；(3)在b24ac0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，最后写出方程的根，当b24ac0，b24ac0，b24ac0时，方程ax2bxc(a0)有两个不相等的实数根；当b24ac0时，方程有两个相等的实数根；当b24ac0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，b24ac0；当一元二次方程没有实数根时，b24ac0，即16k90，k；(2)若方程有两个相等的实数根，则b24ac0，即16k90，k；(3)若方程没有实数根，则b24ac0，即16k90，k时，方程有两个不相等的实数根；当k时，方程有两个相等的实数根；当k0，解得：m0，解得：m0Bb24ac0 Cb24ac0 D以上都不对2已知a、b、c分别是ABC的三边，若关于x的一元二次方程(ab)x22cx(ab)0有两个相等的实数根，则ABC是( B ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定3k取什么值时，方程kx22x10有两个相等的实数根？求这时方程的根(答案：k1，x1x21)4已知关于x的方程mx22x10有两个不相等的实数根，求m的取值范围(答案：由(2)24m0且m0，解得：m1且m0.)5请同学们完成探究在线高效课堂“随堂练习”部分四、课堂小结，梳理新知1通过本节课的学习，你有哪些收获？2你还有什么疑惑？说给大家听听五、深入练习，巩固新知请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”部分教材每36页习题22.2的第79题*22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 【知识与技能】1熟练掌握一元二次方程根与系数的关系2灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题3提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力【过程与方法】通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现，不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程【情感态度】通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析和综合、判断的能力激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神 【教学重点】一元二次方程根与系数的关系 【教学难点】对根与系数的关系的理解和推导一、创设情境，导入新知一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为这个定理是16世纪法国杰出的数学家韦达发现的聪明的同学们，你能发现这个定理吗？教师出示问题，引出课题学生倾听、思考，初步了解本节课所要研究的问题二、合作探究，理解新知1思考从因式分解法可知，方程(xx1)(xx2)0的两根为x1和x2，将方程化为x2pxq0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系：x1x2p，x1x2q.(p为一次项系数，q为常数项)教师适时点拨：把方程(xx1)(xx2)0化为一般形式后，得到x2(x1x2)xx1x20的形式，与x2pxq0对比易知p(x1x2)，qx1x2.学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，分析总结得到x1x2p，x1x2q.2探究一般的一元二次方程ax2bxc0(a0)中，二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数分别有怎样的关系？(1)你可以通过具体方程试一试由2x23x10，得x11，x2，于是x1x2，x1x2.这就是说，此方程的两根的和等于一次项系数3与二次项系数2的比的相反数，两根的积等于常数项1与二次项系数2的比(2)对于一般形式为ax2bxc0(a0)又有怎样的关系呢？结论：方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1x2，x1x2.教师出示探究问题，让学生通过特殊的例子入手，再通过一般形式推导试验教师引导学生根据求根公式进行探究，把结论说给同学听听学生小组合作，交流完成学生观察试验交流归纳3例题讲解例1：不解方程2x2x60，求出其两根之和与两根之积分析：方程的两根之和与两根之积应利用韦达定理来确定解：设方程的两根分别为x1、x2.a2，b1，c6，根据韦达定理得：x1x2，x1x23.变式训练若方程2x2x60的两根分别为x1、x2.试求下列代数式的值： (1)xx2x1x；(2)(x12)(x22)分析：由于两个代数式稍作变形就可表示成x1x2和x1x2的形式，故本题可利用韦达定理来解题解：由韦达定理得：x1x2，x1x23.(1)xx2x1xx1x2(x1x2)(3).(2)(x12)(x22)x1x22(x1x2)4(3)242.拓展提高 例2：已知方程x23xm0的一个根为1，求另一个根以及m的值分析：由于方程中的二次项系数和一次项系数已知，并且知道了方程的一个根，故可利用韦达定理求出另一个根，进而由韦达定理再求出m.解：设另一个根为x2，则x11，由韦达定理得：即解得：x24，m4.另一个根为4，m的值为4.【教学说明】进一步巩固新知识，使学生灵活运用新知识解决问题三、尝试练习，掌握新知1不解方程，写出下列方程的两根和与两根积(1)x25x30；(2)9x2x2；(3)6x23x20.(答案：(1)x1x25，x1x23；(2)x1x29，x1x22；(3)x1x2，x1x2.)2已知方程2x24x50的两根为x1和x2，试求代数式的值(答案：由韦达定理得：x1x22，x1x2.)3教材第35页练习第2、3题4教师指导学生完成探究在线高效课堂“随堂练习”内容四、课堂小结，梳理新知1通过本节课的学习，你有哪些收获？2你还有什么疑惑？说给大家听听五、深入练习，巩固新知学生完成探究在线高效课堂“课时作业”1关于x的方程2x25xk10两根互为倒数，求k的值(答案：设方程的两根为x1和x2.由题意得：x1x21.解得：k1.)2已知矩形的长和宽是方程mx232x130的两根，且该矩形的周长为16，试确定m的值以及该矩形的面积(答案：解：设方程的两根为x1和x2.由题意得：x1x28.解得：m4.矩形的面积x1x2.)3教材第36页习题22.2的第10、11题