九年级数学下册《何时获得最大利润》教案 北师大版.doc

何时获得最大利润教材：北京师范大学出版社 九年级下册第二章二次函数的第六节课时：1课时授课教师：成都七中育才学校 程智娟一、教材分析（教材地位及作用）教材中的函数是从探索具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，用于刻画变量之间关系的常用数学模型函数的学习可以使学生感受事物是互相联系和有规律地变化着的，体会数形结合的思想方法在本章前，教材通过探索变量之间关系，探究一次函数和反比例函数，已经逐渐让学生建立了函数的基础知识，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验在本章的学习中，教材已研究了二次函数及其图象和性质，让学生初步了解了求特殊二次函数最大（小）值的一些方法本节课在巩固二次函数性质及识图能力的同时，进一步让学生掌握利用二次函数知识求一些简单实际问题最大（小）值的方法，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力本节知识具有承上启下的作用，既是前面所学知识的具体应用，又为学生在高中阶段进一步学习二次函数，以及用二次函数研究二次多项式、二次方程、二次不等式等知识奠定基础 二、教学目标：知识与技能：(1).能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题(2).由具体到抽象，进一步理解二次函数图象的顶点坐标与函数最大（小）值的关系，并明确当时函数取得最大值，当时函数取得最小值数学思考：(1).体会二次函数是一类最优化问题的数学模型(2).经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法解决问题：能将生活中的某些简单实际问题转化为二次函数模型，并能熟练运用二次函数知识解决这些实际生活中的最大（小）值问题情感与态度：(1).通过对实际生活中最大（小）值问题的探究，认识到二次函数是解决实际问题的重要工具(2).积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣三、教学重难点教学重点：(1).探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义(2).引导学生将简单的实际问题转化为数学问题，并运用二次函数知识求出实际问题的最大（小）值，从而得到解决某些实际生活中最大（小）值问题的思想方法教学难点：从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题 四、教学方式：引导探究发现 五、学情分析：九年级学生已初步掌握函数的基础知识，积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的初步经验由于年龄特征，他们借助直观图象更容易理解抽象的函数问题我班学生思维较为活跃，在“引导探究发现”式的课堂教学中能积极参与讨论问题,大胆发表自己的见解和看法；但同样也存在审题不仔细、考虑问题不全面等不足六、课前准备：教具：教材，课件，电脑学具：教材，练习本，铅笔，三角板七、教学过程：教学环节教师活动学生活动活动说明创设生活情境 从生活中“T恤衫销售”情景引入“何时获得最大利润”问题某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件若设销售单价为x（20x35的整数）元，该商店所获利润为y元请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？ 学生观看情景动画 用多媒体对教材进行再创造，再现生活中“T恤衫销售”情景，并对教材上的数据进行了修改，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情探索思考探索思考探索思考探索思考1教师提问： (1).此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量，哪个是因变量 (2).销售量可以表示为 ；销售额（销售总收入）可以表示为 ； 教师进行点评，得出答案，强调结果要化为最简形式. 所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为 ；(3).当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 元 在解决第(3)问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义2探索求该二次函数最大值的方法教师鼓励学生大胆猜想，发表不同意见 (1).将a=200，b=11600，c=152000代入顶点坐标公式（）得： =29 当x=29时，y的值最大，最大值为16200 (2).y=-200x2+11600x-152000 =-200(x-29)2+16200当x=29时，y的值最大，最大值为16200xyo5000102030401000015000y = -200x2+11600x-15200016200(29,16200) (3).如果学生提出利用图象求此二次函数最大值，教师利用多媒体课件作出此二次函数图象： 教师提问：在此函数图象上怎样体现销售单价x为的整数？xyo500010203040100001500016200y = -200x2+11600x-152000(20x35)(29,16200)教师对学生的回答作出补充或纠正 教师讲解：我们只是利用此二次函数图象帮助分析，图象上的点并不全满足题意xyo500010203040100001500016200(29,16200)y = -200x2+11600x-152000(20x35的整数) 教师对这三种求此二次函数最大值的方法都给予肯定（根据学生回答情况调整探索三种方法的顺序） 学生独立思考回答第(1)问：销售单价为自变量，所获利润为因变量 同桌两人在独立思考完成后，通过相互交流结果回答第(2)问，将不同结果写在黑板上. 7600200x； 7600x200x2； 学生根据题意，列出此实际问题的函数关系式：y=-200x2+11600x-152000(20x35的整数) 学生观察函数关系式，独立思考后讨论得出“何时获得最大利润”就是求在自变量x (20x35的整数)取何值时二次函数的y值最大 学生可能会提出利用顶点坐标公式求y的最大值； 学生也有可能会利用配方法将此二次函数化为顶点式，求y的最大值； 学生还可能提出画出图象求y的最大值的方法 学生思考并作出回答：受自变量取值范围的限制，该题的图象应为二次函数图象的一部分 如果学生提到：结合此题的实际背景，销售单价为整数，对应的利润值也为整数，此题的图象应由二次函数图象上一些不连续的点构成 为了让学生明确研究的是哪两个变量之间的关系，补充第(1)问 此问建立在学生已有知识基础上,学生回答较为容易,鼓励学生独立思考完成 第(2)问，为了更容易找到两个变量间的函数关系式，先列代数式，要求学生独立思考完成然后同桌两人讨论，允许学生间有不同意见 再让学生列出利润与单价的函数关系式，将实际问题转化为数学模型 使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题 在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大（小）值的方法鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法 由于研究y=x2，y=x2的最大（小）值时，教材是利用图象让学生分析理解的，因此学生很可能会提到利用图象来求y的最大值的方法 通过此问题的设置，让学生体会实际问题中自变量通常有取值范围的限制，因此函数图象往往是相应二次函数图象的一部分 由于结合此题的实际背景，自变量x的取值范围为20x35的整数，图象应由此二次函数图象上一些不连续的点构成，对于此问题，如果学生提出给予简单讲解，若未提出，则不提此问题 通过探索求此二次函数最大值方法的过程，进一步让学生明确此二次函数的最大值就是顶点的纵坐标值问题解决 解决问题： 当销售单价x是 元时，可以获得最大利润y，最大利润y是 元 学生验证： 根据实际问题的意义，检验自变量的这一取值是否在取值范围内 当销售单价是29元时，可以获得最大利润是16200元 让学生明确在运用数学知识解决实际问题时，要注意与实际背景相结合 通过“提出问题解决问题”的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型归纳求二次函数最值的一般方法 同学们利用已学过的知识解决了“何时获得最大利润”问题教师进一步提出：怎样来求一般二次函数的最值呢？观察y=ax2+bx+c (a0)的图象顶点1xyo1 xyo11观察y=ax2+bx+c (a0)的图象 顶点 在此过程中鼓励学生相互补充 学生观察二次函数图象，验证归纳得出：当a0时，二次函数的最小值也是顶点的纵坐标值 最后归纳出求二次函数最大（小）值的方法：(1).配方化为顶点式求最大（小）值；(2).直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；(3).利用图象找顶点求最大（小）值 由于前面研究的是a0的二次函数，因此先观察此类函数图象 有了a0的二次函数最小值也是顶点的纵坐标值 通过对一般二次函数最大（小）值问题的探究归纳，让学生再次明确二次函数的最大（小）值就是顶点的纵坐标值，使学生明确求二次函数最大（小）值的三种方法知识运用知识运用1在本章第一节“种多少棵橙子树”的问题中，我们得到表示增种橙子树的数量x（棵）与橙子总产量y（个）的二次函数表达式为，也曾用列表的方法得到一个猜想：当x=10时，橙子的总产量最多现在请你验证一下你的猜想是否正确你是怎样做的？与同伴交流2如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是15米， AB边为x米，所围成矩形的面积为y平方米ABCD (1).写出y与x的关系式； (2).利用函数图象描述篱笆所围成的矩形面积与AB的长之间的关系； (3).当AB为多少米时，可以使篱笆所围成的矩形面积在50平方米以上？结合图象进行分析 教师利用多媒体展示该二次函数大致图象3某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似于一次函数：y=x+1000(500x800，x为整数)设公司获得毛利润（毛利润=销售总价成本总价）为S元(1).使用销售单价x表示毛利润S；(2).若你是试销员，要使公司获得最大的毛利润，销售单价应定为多少元？此时最大毛利润是多少元，销售量是多少件？ 学生回答：1y=-5(x-10)2+60500,当x=10时，y=60500 此外，学生还可以利用顶点坐标公式、图象求该二次函数最大值2(1).y=-x2+15x(0x15) (2).引导学生分析图象得到当x7.5时，所围成矩形的面积随着AB的增大而减小(3).当5cm AB 10cm时，可以使篱笆所围成的矩形面积在50平方米以上3(1)S=-x2+1500x-500000 (500x800，x为整数)(2).S=-(x-750)2+62500当x=750时，S最大值=62500，此时y=250（件） 第1题运用求二次函数最大值的方法解决橙子最大产量问题，验证本章第一节所提出的问题中猜想的正确性 第2题第(2)问，教师利用多媒体课件绘制该二次函数图象，学生利用图象直观分析，体会数形结合的思想方法，再次感受二次函数的最大值是图象顶点的纵坐标值 第(3)问通过设置由函数值求自变量取值的问题培养学生的逆向思维 针对我班学生能力较强，思维比较活跃的特点，补充了一题综合利用一次函数和二次函数知识求最大毛利润的练习，进一步培养学生的数学阅读能力和知识综合运用能力 S与x之间无直接联系，必须通过中间变量y进行代换，因此确定S与x之间的函数关系是解决此题的关键知识小结 教师在学生小结的基础上作点评或补充1求二次函数最大（小）值的方法：(1).利用顶点坐标公式，求最大（小）值；(2).利用配方化为顶点式，求最大（小）值；(3).利用图象，找顶点，求最大（小）值2利用二次函数知识解决实际问题的步骤：建立二次函数模型实际背景提出最值问题求出最值问题解决检验结果使购合理舍 去合理不合理 学生小结求二次函数最大（小）值的方法和利用二次函数知识解决生活中最大（小）值问题的步骤 通过小结，使学生这节课所学的知识系统化，感性认识上升为理性认识 在归纳解题步骤中适当渗透简单的数学建模和算法思想（课 外 探 究）知识拓展在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm点P从A点开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度运动，点M从点B开始沿BC边向C点以每秒2cm的速度运动如果P、M分别同时从A、B出发，设S表示 PDM的面积，x表示运动的时间 (1).求出S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围(2).求出何时S的值最小，S最小ABCDPM值为多少？ 学生讨论并做出回答：(1).S=x2-6x+36(0x6) (2).当时，有最小值 为满足不同学生的学习要求设计此题若时间允许，课堂上完成若时间不允许，鼓励学生课外探究 第(2)问涉及到最小值，对本节课内容进行拓展的同时，为下节课最大面积是多少作铺垫课后作业教材60页 随堂练习第1题习题27 第1、2题 学生完成作业 巩固课堂知识，提高知识运用的熟练程度板书设计： 习题解析：对各个习题的解答和分析何时获得最大利润1求二次函数最大（小）值的方法：学生活动:记录学生讨论结果2利用二次函数知识解决实际问题的步骤：八、教学设计说明本节课根据新课标中提出的“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念设计教学，主要体现在以下几个方面1教学内容本节课以生活场景引入问题，通过探索思考解决问题，前后呼应体现了学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程的理念2教学方法打破传统教学模式，采用“引导探究发现”的教学方式，结合T恤衫销售、橙子产量、试销产品等实际问题的探究，希望通过师生互动、生生互动，共同解决问题，提高课堂教学效率，也体现教师是数学学习的组织者、引导者、合作者的理念3学习方式本节课采用学生独立思考探索与合作交流的学习方式，通过积极主动的学习活动，使学生成为数学学习的主体在学习的活动中培养学生分析推理、交流合作和解决问题的能力，并体会到在解决问题过程中与他人合作的重要性4评价方式根据新课标的评价理念，教师既要关注学生学习结果，又要关注他们学习的过程，还要关注学生数学学习的水平和学生在数学活动中所表现出来的情感与态度因此在本课教学中，我应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励5教学设计反思：(1).本节课之前的学习内容中，学生已初步了解求特殊的二次函数最大（小）值的方法，但教材上没有求一般二次函数最大（小）值的方法在学生探索“何时获得最大利润”的过程中，对求一般二次函数最大（小）值的方法，我引导学生进行了归纳总结，使感性认识上升为理性认识(2).由于二次函数的最大（小）值还可能是自变量取值范围所在闭区间的端点所对应的函数值，按照新课标的要求，本节课只研究在二次函数顶点处取得最大（小）值的情况结合我班学生实际，学生有可能提到闭区间上的最大（小）值问题，如果提出，我打算在课外辅导简单讲解，否则就不提此问题(3).在引例中，若学生提到用图象来求最大利润问题，结合实际背景，图象应由一些不连续点构成，教材上没有给出此题图象若学生提到此问题，我打算简单讲解，否则就不提此问题(4).在小结利用二次函数知识解决生活中实际问题的步骤时，为渗透简单的数学建模和算法的思想，我给出了一个解决生活中实际问题的框架图，以帮助学生理解和总结以上就是我对这节课的设计和思考，请各位专家指导，谢谢！