九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数第3课时 反比例函数的应用教案（新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级上册数学教案.doc

第3课时 反比例函数的应用

【知识与技能】
1.综合运用一次函数、反比例函数的知识解决有关问题.
2.掌握反比例函数中比例系数k的几何意义.
【过程与方法】
经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.
【情感态度】
能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.
【教学重点】
理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.
【教学难点】
学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.

一、情景导入，初步认知
1.正比例函数有哪些性质？
2.一次函数有哪些性质？
3.二次函数有哪些性质？
4.反比例函数有哪些性质？
【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.
二、思考探究，获取新知
1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P（-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.
解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为,其中，k1,k2是常数，且均不为0.
由于这两个函数的图象交于P（-3,4），则P（-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.

函数图象如下图：

【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.
2.在反比例函数的图象上取两点P（1，6），Q（6，1），过点Ｐ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1= ；过点Ｑ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2= ；S1与S2有什么关系？为什么？
【归纳结论】反比例函数（k≠0）中比例系数k的几何意义：过双曲线（k≠0）上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.
【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.
三、运用新知，深化理解
1.已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是（ C ）

A.3 B.-3 C.6 D.-6
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|.
解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝3，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则k＝6.
故选C.
2.反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ A ）

A. B.2 C.3 D.1
【分析】分别过B、A作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论.
解：分别过B、A作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足.

∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=，
∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-=.
故选A.
3.已知直线y＝x＋b经过点A(3,0)，并与双曲线y=kx的交点为B(－2，m)和C，求k、b的值.
解：点A(3,0)在直线y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝－3.
一次函数的解析式为：y＝x－3.
又因为点B(－2，m)也在直线y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即B(－2,－5).
而点B(－2,－5)又在反比例函数上，所以k＝-2×(-5)＝10.
4.已知反比例函数的图象与一次函数y＝k2x－1的图象交于A(2,1).
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.
【分析】（1）因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值.
（2）把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上.
解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2.
1＝2k2－1，k2＝1.
所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：y＝x－1.
（2）点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1).
把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y==-1，所以点A′在反比例函数图象上.
把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝-2－1＝-3，所以点A′不在一次函数图象上.
5.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的的图象上.
(1)求a的值.
(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象.
(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围.
(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小.
【分析】(1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值.
(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象.
(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题.
解：(1)反比例函数的图象过点B(a,－3a)，-3a=-，a＝±1，因为a＜0，所以a＝－1.B(－1,3).
（2）又因为一次函数图象过点A(0,1)和点B(-1,3).

即：一次函数的解析式为y＝－2x＋1.

一次函数的图象为：

(3)从图象上可知，当一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的值为：
－1≤x≤1.
(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m＋1＞m，所以y1＞y2.
或解：当x1＝m时，y1＝-2m＋1；当x2＝m＋1时，y2＝-2×(m＋1)＋1＝-2m－1
所以y1－y2＝(－2m＋1)－(－2m－1)＝2＞0，即y1＞y2.
6.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点.
(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.

【分析】(1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式.
(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.
解：(1)观察图象可知，反比例函数的图象过点A(－2,1)，m＝－2×1＝－2.
所以反比例函数的解析式为：.又点B(1,a)也在反比例函数图象上，a=.即B(1,－2).
因为一次函数图象过点A、B.所以

一次函数解析式为：y＝－x－1.
(2)观察图象可知，当x＜－2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数值.
【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，基本题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题21.5”中第7、8题.

通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：
1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往运用待定系数法.
2.观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.