资源描述
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)
2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)
一、情景导入
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
(1)x2－2x＝0；
(2)x2＋3x－4＝0；
(3)x2－5x＋6＝0.
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的根与系数的关系
利用根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积．
解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．
解：这里a＝3，b＝6，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1＋x2＝－2，x1·x2＝－.
方法总结：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用
【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值
设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x1＋2)(x2＋2)； (2)＋.
解析：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．
解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－.
(1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－＋2×(－2)＋4＝－；
(2)＋＝＝＝＝－.
方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．
【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根
已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．
解析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值．
解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－，
∴x1＝－.又∵x1＋2＝－，
∴－＋2＝－，∴k＝－7.
方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．
【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用
已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，求m的值．
解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由＋＝－1建立方程，求解m的值．
解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，
∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.
又∵＋＝＝＝－1，
化简整理，得m2－2m－3＝0.
解得m＝3或m＝－1.
当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，
此时Δ＝12－4＜0，方程无解，
∴m＝－1应舍去．
当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0，
此时Δ＝92－4×9＞0，
方程有两个不相等的实数根．
综上所述，m＝3.
易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．
三、板书设计
让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考
的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.
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