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九年级上相似三角形的性质应用参考资料沪科版.doc

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资源描述
沪科版.九年级上.相似三角形的性质应用.参考资料 相似三角形具有许多重要性质:对应边成比例,对应角相等,对应线段(角平分线、中线和高)的比以及周长之比都等于相似比,面积比等于相似比的平方. 这些性质在解题中有着广泛的应用.现举例说明如下,供同学们参考. 一、求线段长或线段比 例1 如图1,在 等边△ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=600,BP=1,CD=,求△ABC的边长. A 解析: 设△ABC的边长为x,则PC=x -1. D 在△APB和△PDC中,因为∠APB=∠C+∠PAC=600+∠PAC, ∠PDC=∠APD+∠PAC=600+∠PAC, 故∠APB=∠PDC. 又∠B=∠C, B P C 所以△APB∽△PDC,则=,即=,解得x=3. 图1 例2 如图2,在△ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD上一点,CF的延长线交AB于点E.若AF: FD=1:3,则AE: EB=_____; 若AF: FD=1:n (n>0),则AE: EB=_____. 解析: 过D作DG∥AB交AB于点E. 由D是BC的中点知,DG是△BCE的中位线,故DG=BE. 由DG∥AE得△AEF∽△DGF,则==,而DG=BE,所以=. 同理,当AF: FD=1: n (n>0)时, AE: EB=1:2n. A A D C E F G D E F O B D C B C A E B 图2 图3 图4 G 二、求面积或面积比 例3 如图3,△ABC中,DE∥BC, AD: DB=2:1,梯形DBCE的面积是10cm2,求△ABC的面积. 解析: 由DE∥BC知△ADE∽△ABC,则S△ADE:S△ABC=(AD:AB)2. 又由AD:DB=2:1,得AD:AB=2:3. 于是有= ()2 = . 解得S△ABC=18(cm2). 例4 如图4, ABCD中,E是AB的中点,F是AD的中点,EF交AC于点O, FE的延长线交CB的延长线于G点,那么S△AOF:S△COG=_______. 解析: 易证△AEF≌△BEG, 得AF=BG, 则有===. 又∵△AOF∽△COG, ∴S△AOF:S△COG =(AF:CG)2= 1:9. 三、证明角相等 例5 如图5,在Rt△AOD中,∠AOD=900,AO=OB=BC=CD. A (1)∠3与∠4有何关系?证明你的结论; 4 (2)计算∠1+∠2+∠3的度数. 1 2 3 解析: (1)仔细观察图形,可发现△ABC∽△DBA,则可 O B C D 探索出∠3=∠4. 设AO=OB=BC=CD=1,则DB=2,AB=. 图5 ∵===, ∠ABC=∠DBA(公共角), A ∴△ABC∽△DBA, ∴∠3=∠4. (2)易知∠1=450, 又∠2+∠3=∠2+∠4=∠1, P E F ∴∠1+∠2+∠3=2∠1=900. 四、证明线段成比例 B D C 例6 如图6,已知△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一 图6 点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F. 求证: BP2=PE·PF. 分析: 待证式中的三条线段在同一直线上,不能确定相似三角形,故考虑利用相等线段进行代换.由题设,依据等腰三角形的性质知,AD垂直平分BC,则有PB=PC,结论转化为证PC2= PE·PF,这可确定△PCE∽△PFC.易证△ABP≌△ACP,得∠ACP=∠ABP,而∠ABP=∠F(因为FC∥AB),故有∠ACP=∠F.又∠FPC是公共角,从而△PCE∽△PFC,于是结论获证.
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