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课时作业39 直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题
1．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线( )．
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
2．空间中，下列命题正确的是( )．
A．若a∥α，b∥a，则b∥α
B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α
C．若α∥β，b∥α，则b∥β
D．若α∥β，a⊂α，则a∥β
3．下列命题中正确的个数是( )．
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑤平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．(2012天津模拟)如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )．
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值．
A．① B．①② C．①②③ D．②③
6．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )．
A．EH∥FG
B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台
7．“直线a∥平面β”是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”的( )．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
8．(2012山西晋城模拟)已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中所有真命题的序号为__________．
9．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝__________.
10．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是__________．(填所有正确条件的代号)
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；
③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；
⑤x，y，z为直线．
三、解答题
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－ABC的体积V.
参考答案
一、选择题
1．C 解析：过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条．
2．D 解析：A项，若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α；
B项，只有在a和b是相交直线时才成立；
C项，若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β.
3．B 解析：a∩α＝A时，aα，故①错；
直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；
l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；
l∥α，l与α无公共点，所以l与α内任一条直线都无公共点，④正确；
长方体中的相交直线A1C1与B1D1都与面ABCD平行，所以⑤正确．
4．B 解析：①由平面ABC∥平面MNP，可得AB∥平面MNP.
④由AB∥CD，CD∥NP，得AB∥NP，所以AB∥平面MNP.
5．C 解析：①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，
∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．
②∵BC∥DE，∴BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积取最大值．
6．D 解析：∵EH∥A1D1，A1D1∥BC，
∴EH∥BC.∴EH∥平面BCGF.
∵FG⊂平面BCGF，
∴EH∥FG，故A对．
∵B1C1⊥平面A1B1BA，EF⊂平面A1B1BA，
∴B1C1⊥EF.
则EH⊥EF.由上面的分析知，四边形EFGH为平行四边形，故它也是矩形，故B对．
由EH∥B1C1∥FG，故Ω是棱柱，故C对．
7．B 解析：直线a∥平面β，则“直线a至少平行于平面β内的一条直线”一定成立．反之不能成立．
二、填空题
8．③ 解析：①中α可能与β相交；②中直线l与m可能异面；③中结合线面平行的判定和性质可以证明，m∥n.
9．a 解析：如图所示，连接AC，
易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.
又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.
又∵AP＝，
∴＝＝＝.
∴PQ＝AC＝a.
10．①③④
三、解答题
11．证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC.
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1GEB，∴四边形A1EBG是平行四边形．∴A1E∥GB.
∵A1E平面BCHG，GB⊂平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
12．(1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD.
又∵AD⊂平面PAD，EF平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)解：连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，
则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA.
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝，EG＝.
∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝.
∴VE－ABC＝S△ABC·EG
＝××＝.
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