数学物理方法傅里叶变换法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,积分变换法,积分变换在数学物理方程中也有广泛用途，变换后，,方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微,方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程解，,同时，积分变换还可能得到有限形式解，分离变数,法或者傅里叶级数发往往不能。,本章主要介绍,傅里叶变换法,在求解偏微分方程中应用。,第1页,1,傅里叶变换,（,1,）导数定理,（,2,）积分定理,（,3,）相同性定理,第2页,2,（,4,）延迟性定理,（,5,）位移性定理,（,6,）卷积性定理,第3页,3,第一节 傅里叶变换法,用分离变数法求解有界空间定解问题时，得到本征值是,例,1,求解无限长弦自由振动,解：,应用傅里叶变换，即用,同乘方程和定解条件,中各项，并对空间变量,x,积分，,t,看做参数，则,分,，对于无界空间定解问题，适合用于傅里叶变换法求解。,连续,，所求解可表示为对连续本征值求积分,傅里叶积,无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到本征值是,离散，所求解可表为对本征值求和,傅里叶级数,，对于,第4页,4,定解问题变换成：,其中,分别是,傅里叶变换，这么原来,定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：,代入初始条件可得：,故,对,U,作逆傅里叶变换，可得最终结果以下：,第5页,5,达朗贝尔公式,例,2,求解无限长细杆热传导问题,解：,作傅里叶变换，定解问题变为：,此常微分方程初始问题解为,进行傅里叶逆变换可得：,第6页,6,交换积分次序,积分公式：,第7页,7,例,3,求解无限长细杆有源热传导问题,解：,作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：,令,利用上述公式可得,第8页,8,用,同乘方程各项，可得：,对,t,积分一次，并考虑零初始值可得：,进行傅里叶逆变换,交换积分次序可得：,第9页,9,是单位面积硅片,表层原有杂质总量,.,并利用积分公式可得最终结果为：,例,4,限定源扩散,在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可,硅片，这里求解是半无界空间,x0,中定解问题,:,有杂质向硅片内扩散，但不让新杂质穿过硅片表面进入,以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已,第10页,10,解,:,没有杂质穿过硅片表面,即,:,第二类齐次边界条件,这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题,则,引用例,2,结果可得,高斯函数,第11页,11,硅片表面,右图描述了杂质浓度,u(x,t),在硅片中,即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处切线都是水平,例,5,恒定表面浓度扩散,在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体,中含有大量杂质原子,源源不停穿过硅片表面向内部扩散,由,即硅片表面浓度梯度为零,表明没有新杂质进入硅片,.,度趋于均匀,曲线下面积为,2,3,依次对应越来越晚时刻,杂质浓,分布情况,曲线,1,对应于较早时刻,是半无界空间,x0,中定解问题,于杂质分子充分,硅片表面杂质浓度保持某个常数,N,0,这里所求,第12页,12,解,首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令,则化为关于,w,定解问题,:,这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即,引用例,2,结果可得,第13页,13,第一个积分中令,第二个积分中令,则有,被积函数是偶函数,故,误差函数,记做,erfx,则,w,可写为,:,所求解以下,:,第14页,14,余误差函数,记做,erfcx,则有,硅片表面,右图描述了杂质浓度,u(x,t),在硅片中,例,6,泊松公式,求解三维无界空间中波动问题,显著,假如扩散连续进行下去,则浓度分布最终将为常数,N,0,(,虚线,),时刻,杂质浓度趋于均匀趋势很,刻,2,对应于较晚时刻,3,对应于更晚,分布情况,曲线,1,对应于某个较早时,第15页,15,解,做傅里叶变换,问题变换为,常微分方程,初始值问题,这个方程解为,再进行傅里叶逆变换,第16页,16,利用,5.3,例,1,结果,第17页,17,应用延迟定理,出现,对,积分只要在球面,上进行,以,r,为球心,(,矢径,r),半径为,at,为球面 面积元,此即,泊松公式,.,第18页,18,三维无界空间中波动,只要知道初始情况,就能够用泊松公式,然后拿初始扰动,按泊松公式在球面 上积分,波动以速度,a,传输,只有跟点,r,相距,at,那些点初始扰动恰好在时刻,t,传到,r,r,d,D,T,0,初始扰动只限于区域,T,0,如图,取一定点,r,与,T,0,跟,T,0,不相交,按泊松公式,u(r,t)=0,表示扰动前锋,没有抵达,r,当,d/atD/a,包围了,T,0,但跟,T,0,不相交,u(r,t)=0,表明,球心,以,at,为半径作球面,求以后任一时刻情况,详细说,为求时刻,t,在,ru(r,t),应以,r,为,扰动已经过去,.,最小距离为,d,最大距离为,D,当,td/a,跟,T,0,总有重合,积分普通不为零,在点,(x,y),总有扰动,能够看成某种三维波动剖面,.,第24页,24,例,1,计算,三重傅里叶变换，,r,是球坐标中极径,C,为正实数,解,三重傅里叶变换为,化成极坐标计算，以,k,方向作为球坐标系极轴方向,第25页,25,