1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,积分变换法,积分变换在数学物理方程中也有广泛用途，变换后，,方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微,方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程解，,同时，积分变换还可能得到有限形式解，分离变数,法或者傅里叶级数发往往不能。,本章主要介绍,傅里叶变换法,在求解偏微分方程中应用。,第1页,1,傅里叶变换,（,1,）导数定理,（,2,）积分定理,（,3,）相同性定理,第2页,2,（,4,）延迟性定理,（,5,）位移性定理,（,
2、6,）卷积性定理,第3页,3,第一节 傅里叶变换法,用分离变数法求解有界空间定解问题时，得到本征值是,例,1,求解无限长弦自由振动,解：,应用傅里叶变换，即用,同乘方程和定解条件,中各项，并对空间变量,x,积分，,t,看做参数，则,分,，对于无界空间定解问题，适合用于傅里叶变换法求解。,连续,，所求解可表示为对连续本征值求积分,傅里叶积,无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到本征值是,离散，所求解可表为对本征值求和,傅里叶级数,，对于,第4页,4,定解问题变换成：,其中,分别是,傅里叶变换，这么原来,定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：,代入初始条件可得：,故,对,U,作逆傅里叶变
3、换，可得最终结果以下：,第5页,5,达朗贝尔公式,例,2,求解无限长细杆热传导问题,解：,作傅里叶变换，定解问题变为：,此常微分方程初始问题解为,进行傅里叶逆变换可得：,第6页,6,交换积分次序,积分公式：,第7页,7,例,3,求解无限长细杆有源热传导问题,解：,作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：,令,利用上述公式可得,第8页,8,用,同乘方程各项，可得：,对,t,积分一次，并考虑零初始值可得：,进行傅里叶逆变换,交换积分次序可得：,第9页,9,是单位面积硅片,表层原有杂质总量,.,并利用积分公式可得最终结果为：,例,4,限定源扩散,在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，
4、可,硅片，这里求解是半无界空间,x0,中定解问题,:,有杂质向硅片内扩散，但不让新杂质穿过硅片表面进入,以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已,第10页,10,解,:,没有杂质穿过硅片表面,即,:,第二类齐次边界条件,这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题,则,引用例,2,结果可得,高斯函数,第11页,11,硅片表面,右图描述了杂质浓度,u(x,t),在硅片中,即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处切线都是水平,例,5,恒定表面浓度扩散,在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体,中含有大量杂质原子,源源不停穿过硅片表面向内部扩散,由,即硅片表面浓度梯度为零,表明没有新杂质进入硅片,
5、度趋于均匀,曲线下面积为,2,3,依次对应越来越晚时刻,杂质浓,分布情况,曲线,1,对应于较早时刻,是半无界空间,x0,中定解问题,于杂质分子充分,硅片表面杂质浓度保持某个常数,N,0,这里所求,第12页,12,解,首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令,则化为关于,w,定解问题,:,这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即,引用例,2,结果可得,第13页,13,第一个积分中令,第二个积分中令,则有,被积函数是偶函数,故,误差函数,记做,erfx,则,w,可写为,:,所求解以下,:,第14页,14,余误差函数,记做,erfcx,则有,硅片表面,右图描述了杂质浓度,u(x,t),在硅片中,
6、例,6,泊松公式,求解三维无界空间中波动问题,显著,假如扩散连续进行下去,则浓度分布最终将为常数,N,0,(,虚线,),时刻,杂质浓度趋于均匀趋势很,刻,2,对应于较晚时刻,3,对应于更晚,分布情况,曲线,1,对应于某个较早时,第15页,15,解,做傅里叶变换,问题变换为,常微分方程,初始值问题,这个方程解为,再进行傅里叶逆变换,第16页,16,利用,5.3,例,1,结果,第17页,17,应用延迟定理,出现,对,积分只要在球面,上进行,以,r,为球心,(,矢径,r),半径为,at,为球面 面积元,此即,泊松公式,.,第18页,18,三维无界空间中波动,只要知道初始情况,就能够用泊松公式,然后拿
7、初始扰动,按泊松公式在球面 上积分,波动以速度,a,传输,只有跟点,r,相距,at,那些点初始扰动恰好在时刻,t,传到,r,r,d,D,T,0,初始扰动只限于区域,T,0,如图,取一定点,r,与,T,0,跟,T,0,不相交,按泊松公式,u(r,t)=0,表示扰动前锋,没有抵达,r,当,d/atD/a,包围了,T,0,但跟,T,0,不相交,u(r,t)=0,表明,球心,以,at,为半径作球面,求以后任一时刻情况,详细说,为求时刻,t,在,ru(r,t),应以,r,为,扰动已经过去,.,最小距离为,d,最大距离为,D,当,td/a,跟,T,0,总有重合,积分普通不为零,在点,(x,y),总有扰动,能够看成某种三维波动剖面,.,第24页,24,例,1,计算,三重傅里叶变换，,r,是球坐标中极径,C,为正实数,解,三重傅里叶变换为,化成极坐标计算，以,k,方向作为球坐标系极轴方向,第25页,25,
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