全等三角形提高32题(含答案).doc

全等三角形提高32题（含答案）
1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
A
D
B
C

2. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
B
A
C
D
F
2

1
E
A
B
C
D
E
F
2
1

3. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

4. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A
C

D
B

5. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

7. 已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
D
C
B
A
F
E

8．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

9．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA

10．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

11．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

13．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，
（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

14．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE．

15、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。

16、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

17、如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

18. .公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

19．已知：点A、F、E、C 在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．

A
C
B
D

E
F
20．已知：如图，AB=AC，BD^AC，CE^AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
求证：BE=CD．

21 . 已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,
D
C
B
A
E
求AD 的长？

22．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC
23．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①≌；②；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

24．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
A
E
B
M
C
F

25．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

26．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF

27．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请证明。

28、 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

29、已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．
A
D
E
C
B

F
求证：．

A
C
E
D
B
30、 如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明

31、 如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.
A
B
E
C
D

32．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
A
B
C
D
E
F
图9

答案
1.延长AD到E,使DE=AD,则△ADC≌△EBD ∴BE=AC=2 在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE ∴10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD是整数,则AD=5
2.证明：连接BF和EF。∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。∴ △BCF≌△EDF(边角边)。∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。连接BE。在△BEF中,BF=EF。∴∠EBF=∠BEF。
又∵ ∠ABC=∠AED。∴ ∠ABE=∠AEB。∴ AB=AE。在△ABF和△AEF中，
AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。∴ △ABF≌△AEF
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3.证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2
又∵CD=DE∴△ADC≌△GDE（AAS）∴EG=AC∵EF∥AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2
∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC
4.证明：在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD
又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BD
AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C
5.证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC
又∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
6.证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.
∵∠ABE=∠FBE,BE=BE,∴ ⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;
AB平行于CD, ∴∠A+∠D=180°;又∵∠EFB+∠EFC=180°, ∴∠EFC=∠D;
又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE, ∴⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.∴BC=BF+FC=AB+CD.
7.∵AB∥ED, AE∥BD ∴AE=BD,又∵AF=CD, EF=BC∴△AEF≌△DCB，
∴∠C=∠F
8.延长AD至H交BC于H;BD=DC;∴∠DBC=∠DCB;∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;∴AB=AC;△ABD≌△ACD;∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线∴AD⊥BC
9.∵AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB∴MA=MB
∴∠MAB=∠MBA∵∠OAM=∠OBM=90度∴∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA
∴∠OAB=∠OBA
10.证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA∥BC
∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形
在△ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线∴△FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在△DEF与△BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴△DEF≌△BEC，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
11.证明：在AB上找点E，使AE=AC∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD
∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE
∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B
12.分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．
解：（1）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF；
（2）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF．
13.(1) ∵DC∥AE，且DC=AE，∴四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，∴△AED≌△EBC。
（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
14.证明：延长BA、CE，两线相交于点F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中 ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC ∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC ∴CF=2CE ∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF 在△ABD和△ACF中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE
15.证明：∵BE∥CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.
16.证明：在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC
∠BDF=∠FD C DF=DF∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC
17.∵AB=DC AE=DF CE=FB CE+EF=EF+FB∴△ABE≌△CDF
∵ ∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE∴△ABF≌△CDE ∴AF=DE
18.证：∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵M在BC的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME和△CMF中
BE=CF（已知） ∠B=∠C（已证） EM=FM（已证）△BME全等与△CMF（SAS）
∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）∴E，M，F在同一直线上
19.证明：∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC
又∵BE=DF ∴△ABE≌△CDF（SAS）
20.证明：∵ AB=AC， ∴ ∠EBC=∠DCB∵ BD⊥AC，CE⊥AB ∴ ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边)∴△EBC≌△DCB∴ BE＝CD
21.∠C=∠E=90度∠B=∠EAD=90度-∠BAC BC=AE△ABC≌△DAE AD=AB=5
22.证明∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC
23.（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；
24.（1）证明∵AE⊥AB∴∠EAB=∠EAC+∠CAB=90度∵AF⊥AC∴∠CAF=∠CAB+∠BAF=90度∴∠EAC=∠BAF∵AE=AB AF=AC∴△EAC≌△FAB∴EC=BF∠ECA=∠F
（2）(2)延长FB与EC的延长线交于点G∵∠ECA=∠F(已证）∴∠G=∠CAF
∵∠CAF=90度∴EC⊥BF
25.证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN
（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90°∴AM⊥AN
26.连接BF、CE，证明△ABF≌△DEC（SAS）然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC平行于EF
27.在AB上取点N ,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD
28.证明：∵AD是中线∴BD=CD∵DF=DE，∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD∴BE∥CF
29.证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴∠C=∠A，∴AB∥CD．
30.结论：CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。
证明：过D作AE平行线与AC交于F，连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF∵AB=CE AF=DE∴CE>DE
31.先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DE
32.证明：作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG= ∠DCG=45°
∵∠ACB=90° AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG
∵CF⊥AD∴∠ACF+∠DCF=90° ∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF
∵ AC=CB ∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE
∵∠DCG=∠B CD=BD∴△CDG ≌△BDE∴∠ADC=∠BDE

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