高二数学开学考(含答案).doc

高二开学考试数学试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B　
2．已知f(α)＝，则f的值为(　　)
A. B．－
C． D．－
答案：A　
3．函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位后是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：A　
4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
答案：B　
5．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案：D　
6.已知函数f(x)＝＋asin cos的最大值为2，则常数a的值为(　　)
A. B．－
C．± D．±
答案：C　
7．在△ABC中，＝2，＝m＋n，则的值为(　　)
A．2 B．
C．3 D．
答案：B
8．已知平面向量a＝(1，x)，b＝，若a与b共线，则y＝f(x)的最小值是(　　)
A．－ B．－4
C．－ D．－3
答案：C
9.已知△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
答案：D　
10．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为(　　)
A．9 B．18
C．27 D．36
答案：B　

11.对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其回归直线方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数的值是(　　)
A. B．
C. D．
答案：B
12．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A. B．
C． D．1
答案：C　

二、填空题（每小题5分，共20分）
13．(2015·辽宁五校二联)已知sin x＝，cos x＝，且x∈，则tan x＝________.
答案：－　
14．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．
答案：－　
15．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，＝16，|＋|＝|－|.
则||＝________.
答案：2　
16．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：

喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
则在犯错误的概率不超过________的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．(请用百分数表示)
附表：
P(χ2≥k0)
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
5.024
6.635
7.879
10.828
答案：0.5%　
三、解答题
17（本小题10分）．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α.
(1)由题意，得解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
(2)解法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l·2r
≤2＝×2＝4，
当且仅当2r＝l＝4，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
解法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝r(8－2r)
＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
18（本小题12分）．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
19（本小题12分）．设函数f(x)＝sin－2cos2.
(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，当x∈[0,1]时，求函数y＝g(x)的最大值．
解：(1)由题意知，
f(x)＝sin－cos －1＝sin－1，
所以y＝f(x)的最小正周期T＝＝6.
由2kπ－≤－≤2kπ＋，k∈Z，
得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，
所以y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最大值即为x∈[3,4]时y＝f(x)的最大值．
当x∈[3,4]时，
x－∈，
sin∈，
f(x)∈，
即当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值为.
20（本小题12分）.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解：(1)∵ m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n，
∴ m·n＝sin x－cos x＝0，
即sin x＝cos x，∴ tan x＝＝1.
(2)由题意知，|m|＝＝1，
|n|＝＝1，
m·n＝sin x－cos x＝sin.
而m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉＝cos ＝，
∴ sin＝.
又∵ x∈，x－∈，
∴ x－＝，∴ x＝.
21（本小题12分）.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2015年11月11日的网购金额，所得数据如图①：
网购金额(单位：千元)
频数
频率
[0,1]
16
0.08
(1,2]
24
0.12
(2,3]
x
p
(3,4]
y
q
(4,5]
16
0.08
(5,6]
14
0.07
合计
200
1.00
①

②
已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为3∶2.
(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图②)；
(2)营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中抽取5人进行问卷调查．若需从这5人中随机选取2人进行访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？
解：(1)根据题意，
得解得
∴p＝0.4，q＝0.25.
补全频率分布直方图如图所示．

(2)根据题意，“网购金额在(1,2]”的群体中应抽取×5＝3(人)，记为a，b，c，“网购金额在(4,5]”的群体中应抽取×5＝2(人)，记为A，B.
在此5人中随机选取2人，有以下可能情况：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种情况．
设“此2人来自不同群体”为事件M，包含了(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种可能，
∴P(M)＝＝，即此2人来自不同群体的概率是.
22（本小题12分）．一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字，现随机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.
(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；
(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．
解：(1)因为随机抛掷两次，所以基本事件(b，c)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
当z＝4时，(b，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，共2个．
所以P(z＝4)＝＝.
(2)∵Δ＝b2＋4c>0恒成立，
∴方程必有两根．
∴①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0，
即b＋c＝1，不成立．
②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，
即2b＋c＝4，所以
③若方程一根为x＝3，则9－3b－c＝0，
即3b＋c＝9，所以
④若方程一根为x＝4，则16－4b－c＝0，
即4b＋c＝16，所以
由①②③④知，(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．
所以方程为“漂亮方程”的概率为P＝.

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