高等数学-定积分教案.doc

第五章 定积分
§5.1 定积分的概念与性质
1.曲边梯形的面积: 设在上非负、连续.由直线、、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，其面积记为.
①把区间分成个小区间:
，，…，，
，
.
②在每个小区间上任取一点，
，
.
③.
.
2.变速直线运动的路程: 设速度是时间间隔上的连续函数， 路程记为.
①把区间分成个小区间:
，，…，，
，
.
②在每个小区间上任取一点，
，
.
③.
.
3.定积分定义: 设在上有界.
①把区间分成个小区间:
，，…，，
.
②在每个小区间上任取一点，
.
③.
如果

存在，且此极限不依赖于对区间的分法和在上点的取法，则称此极限为在上的定积分，记为
.
注意：定积分只与被积函数﹑积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即
.
4.(必要条件). 如果在上可积，则在上有界.
5.(充分条件):
①如果在上连续，则在上可积.
②如果在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.
6.定积分的几何意义：
①如果在上连续，且，则
(是曲边梯形的面积).
②.如果在上连续，且，则
(是曲边梯形的面积).
③如果在上连续，且的值有正有负，则等于轴上方的曲边梯形面积减去轴下方的曲边梯形面积.
7.规定:
①当时，.
②当时，.
7.定积分的性质：
①.
②.
③.
④如果在上，则
.
⑤如果在上，则
.
如果在上，则
，
.
⑥设，则
.
⑦(积分中值定理) 如果在上连续，则在上至少存在一点，使得
.
证:由于在上连续，所以存在最大值和最小值，使得
，
，
，
故在上至少存在一点，使得

即 .
称为在上的平均值.
.证: 对任意实数，有
，
，
所以
，
即 .
练习1.设在上连续， 且，证明:
.
§5.2微积分基本公式
1.积分上限的函数(变上限积分): 在上连续，称

为积分上限的函数.
2.如果在上连续，则可导，且
.
例1.求的导数.
解: .
例2.
.
例3.

.
3.
.
例4.
.
例5.
.
例6. 设在上连续，且单调增加，证明:

在内单调增加.
证: 当时，

().
由于在上单调增加，而，所以
，
故在内单调增加.
4.微积分基本公式(牛顿—莱布尼茨公式): 如果在上连续，且是的一个原函数，则
.
证: 因为、都是的原函数，所以.
由于
，
，
得 ，
，
，
即

.
例7.

.
例8.

.
例9.设

求在上的表达式.
解:

例10.求

在上的表达式.
解:

§5.3 定积分的换元法和分部积分法
1.定积分的换元法:

其中连续，有连续的导数，，，.
例1.

.
例2.

.
例3.

.
例4.

.
例5.

.
2.设在上连续且为偶函数，则 .
证: .

.
所以
.
3.设在上连续且为奇函数，则 .
例6.求.
解: 由于是奇函数，所以 .
例7.求
.
解: 原式.
由于是奇函数，是偶函数，所以
原式

.
例8.设在上连续，证明:
.
证:

.
例9.若在上连续，证明:
.
证:

.
例10.若在上连续，证明:
.
证:

.
解得 .
例11.若为连续函数，且，求的表达式.
证:

.
所以，得
.
将上式两边对求导数，得
，
即 .
4.定积分的分部积分法:
.
例12.

.
例13.

.
例14.若是以为周期的连续函数，证明:

其中为常数.
证:

.
所以

.
例15.设在上连续，证明:

证: 设的一个原函数为，则

.
§5.4 反常积分
1.无穷限的反常积分:
①设在上连续，，如果存在，则称反常义积分收敛，且
.
否则称反常积分发散.
②设在上连续，，如果存在，则称反常义积分收敛，且
.
否则称反常积分发散.
③设在上连续，如果与都收敛，则称反常积分收敛，且

.
否则称反常积分发散.
2.引入记号:
，
.
若在上，则当存在时，

.
若在上，则当存在时，

.
若在上，则当与都存在时，

.
例1.判断反常积分

是否收敛，若收敛求其值.
解: 原式

.
例2. 判断反常积分

的敛散性.
解: 原式
.
由于不存在，所以反常积分发散.
例3. 讨论反常积分

的敛散性.
解:

所以反常积分，当时收敛，当时发散.
例4.判断反常积分

的敛散性.
解:

.
例5.判断反常积分

的敛散性.
解:

.
3.如果在点的任一邻域内都无界，那么称点为的瑕点.
4.无界函数的反常积分(瑕积分):
①设在上连续，点为的瑕点，. 如果存在，则称反常积分收敛，且
.
否则称反常积分发散.
②设在上连续，点为的瑕点，. 如果存在，则称反常积分收敛，且
.
否则称反常积分发散.
③设在上除点 ()外连续，点为的瑕点. 如果两个反常积分、都收敛，则称反常积分收敛，且
.
否则称反常积分发散.
5.引入记号:
①设为在上的一个原函数，为的瑕点，则

.
②设为在上的一个原函数，为的瑕点，则

.
例6.判断反常积分的敛散性.
解:

.
例7.讨论反常积分的敛散性.
解:

所以反常积分，当时收敛，当时发散.
例8. 判断反常积分的敛散性.
解:

由于

，
所以反常积分发散.
例9. 若，那么，故

.
问错在何处？
*§5.5 反常积分的审敛法 函数
1.函数:
.
函数是收敛的反常积分.
2.函数的性质:
①.
(为非负整数).
②.
③余元公式:
.
.
④概率积分:
.
例1.

.
例2..
例3.

.
例4.

.
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