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二次函数（一）
二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中数学的主要内容之一，它在中学数学中起着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次不等式知识的综合运用，是初中是初中代数的重点和难点之一.另外，二次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用．通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力．正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键．
【知识点清单】
一、二次函数的定义：形如（，，，均为常数）的函数叫二次函数。
注意要点：（1）解析式为整式；（2）自变量最高次数为2；（3）
几种常见的特殊表达形式：（1）；（2）；（3）；
（4）（顶点式）；（5）（交点式）。
二、画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线；
三、二次函数的图像及其性质：二次函数的图像是一条抛物线；是轴对称图形。

函数的增减性以对称轴为界分别讨论。
四、二次函数图像的平移：左加右减，上加下减。
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考点一：二次函数的定义
例1、 已知函数（为常数）。
（1）为何值时，这个函数为二次函数？
（2）为何值时，这个函数为一次函数？

例2、 下列函数中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1、下列函数中，关于的二次函数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、已知是二次函数，则
3、已知函数.
(1)若这个函数是一次函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，则的值应怎样？

考点二：二次函数的图像，理解开口方向及大小、对称轴、顶点坐标、最大（小）值、增减性。
例3、 分别画出下列函数的图像，写出其开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值。
（1）、① ② ③

④ ⑤

（2）、① ② ③

④ ⑤

（3）、① ②

感悟：（顶点式）的二次函数的画法，着重理解开口方向及大小、对称轴、顶点坐标、最大（小）值、增减性。
例4、 直接写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值；
（1） （2） （3）

例5、 （1）（2011甘肃兰州）抛物线的顶点坐标是( )
A． B． C． D．
（2）已知抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是( )
、(,) 、(，) 、(，) 、(，)
例6、 （1）用配方法求抛物线的顶点坐标，对称轴方程及最值。

（2）（2011山东济宁）将二次函数化为的形式，则 ．
考点三：二次函数的平移法则——左加右减，上加下减
例7、 （2011四川乐山）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是
A． B． C． D．
例8、 （1）（ 2011重庆江津）将抛物线向上平移个单位,再向右平移个单位等到的抛物线是
（2）把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，则所得的抛物线的表达式是 ；
（3）二次函数的图象可由的图象（ ）
、向左平移个单位，再向下平移个单位得到 、向左平移个单位，再向上平移个单位得到
、向右平移个单位，再向下平移个单位得到 、向右平移个单位，再向上平移个单位得到
专题四：二次函数图像的基本计算
（1）与坐标轴的交点坐标、顶点坐标
（2）函数解析式的求法
（3）简单图形的面积
例9、 已知抛物线。求：（1）顶点坐标；（配方法、公式法） （2）与轴、轴的交点坐标；（3）求（1）、（2）中四点围成的四边形的面积；

例10、 已知二次函数（为常数）的图象经过原点，则= ；
例11、 已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，那么过、两点的直线表达式是 。
例12、 已知二次函数，如果函数图象关于轴对称，
求：（1）函数关系式；
（2）此函数图象的顶点和它与轴的两个交点所构成的三角形面积。

例13、 若抛物线与直线只有一个公共点，则的取值范围是 ；若有两个公共点，则的取值范围是 ；若没有公共点，则的取值范围是 ；
例14、 如图：已知抛物线（、是常数，，）的顶点是，抛物线的顶点是.
（1）判断点是否在抛物线上，为什么？
（2）如果抛物线经过点。①求的值；
②这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点能否构成直角三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由。